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第一届“学为杯”数学竞赛联考
考生须知
1.请在答题卡的指定答题区域内答题，试题和草稿纸上的内容将不会作为评分参考，不可
申请答题卡加页：
2.若发现试题存在问题，请向领队（教练）反映，由其转达至学为命题小组：
3.试题答案及相关分析讲解视频均会在阅卷完成后公开发布：
4.本次考试定位难度为高联模拟。
一试
考试时间：80分钟
试卷满分：120分
一、填空题：共8道题，每道题8分，满分64分
1、设p是给定的奇质数，正整数k使得√k-pk也是一个正整数，则k=
2、在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3),直线I:y=2x-4.设圆C的半径为1，圆心在直线I上，
若C上存在点M,使得MA=2MO,则圆心C的横坐标的取值范围是
3、正四棱柱ABCD-ABC,D,中，AA=4,AB=√5，点N为侧面BCC,B上一动点（不含边界），且
满足D,N⊥CN.记直线DN与平面BCC,B所成的角为O,则tanB的取值范围为
4、已知互不相等的三个实数a,b,c成等比数列，且log。a,log c,.log。b构成公差为d的等差数列，则
d=
5、方程(x26+1)1+x2+x4+…+x224)=2026x2025的实数解的个数为
6、已知x∈R,集合A={1,5},B={x2-3x,C={x2-4x+5引，若AUBUC的元素个数为3，则实数x
的所有不同取值之和为
7、设f(x)=
F+2，则fan1+ftan2+…+f(tan89)=
8、如图，一电路中，S,(=1,2,3,4,5,6,7)为未闭合的开关，L,(j=1,2,3)为能
sys/S/
L
正常工作的灯泡，现每次等可能地闭合一个未闭合的开关，直到7个开关全
/./
L
部闭合，则L最先亮起的概率为
E
二、解答题：共3道题，其中第9题16分，第10题20分，第11题20分，
共56分.
9、已知复数乙，乙2满足条件1乙=2，|乙2=3,3z1-2z2=2-i,求z乙2的值
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10,设a.b.ce(1,为实数，使得gA≥+0-o01-b0-o)恒成，立求2的最大值
a+b+c
11、求抛物线y2=2px(p≠0)内接正三角形中心的轨迹方程.
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二试
考试时间：170分钟
试卷满分：180分
第一、二题40分，第三、四题50分.
一、给定正整数n≥4，实数a,a,,a满足a,≥-1i=1.2,,m）,并且∑4=0，求∑max{a,4,l
的最大值
二、己知D是△ABC底边BC上任意一点，分别延长AB至E、AC至F,使得BE=BD,
CF=CD,又设I,是△ABC位于BC边外的旁心.
(1)求证：A,E,L,F四点共圆：
(2)设上述所共圆与△ABC外接圆的另一交点为P,求证：PE×PF=PI-DI
三、是否存在常数c,使得对任意充分大的模4余3的素数p,存在平面上一个面积为p的正方形，使
得每个顶点到距离最近的整点（横纵坐标均为整数）距离不超过￡？证明你的结论
p
注：本题无需证明模4余3的素数p有无穷多个，作答时可默认这一点.
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