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4.4两个相似三角形的判定（2）
基础练习
1．下列各组条件中，能判定△ABC与△A'B'C'相似的是（　　）
A． B．，且∠A=∠C'
C．，且∠B=∠A' D．，且∠B=∠B'
2．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列四个条件中：①；②；③；④，能满足的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，已知，，，．将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，要使图中的两个三角形相似，需要添加一个条件，这个条件可以是　 　．（写一个即可）
5．、分别是的边，上的点，如果，，，，那么要使和相似，则　 　．
6．已知：如图，△ABC中，AB=2，BC=4，D为BC边上一点，BD=1．
（1）求证：△ABD∽△CBA．
（2）若△ABC的周长为11，请求出AD的长．
7．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB AD，∠ADC＝90°，E为AB的中点．
（1）求证：△ADC∽△ACB；
（2）若AD＝4，AB＝6，求的值．
提高练习
8．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD为∠BAC的角平分线，交BC于点D．过点D作交AC于点E，点P在EC上，且∠EDP＝∠EDA，若EP＝1，PC＝4，则BD的长为（　　）
A． B． C． D．
9．在正方形 ABCD中，AB＝4，点 E是边 AD的中点，连接 BE，将△ABE 沿 BE翻折，点 A落在点 F处，BF 与 AC交于点 H，点 O 是 AC 的中点，则 OH的长度是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．如图，的顶点B在反比例函数的图象上，顶点C在x轴负半轴上，轴，AB，BC分别交y轴于点D，E．若，，则　 　．
11．如图，在中，，，点从点出发沿方向向终点以的速度移动；同时，点从出发沿方向向终点以的速度移动．设运动时间为，当　 　时，与相似．
12．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝ ，则BD的长为　 　．
13．如图，双曲线经过斜边的中点，交直角边于点，连接，点A的坐标为．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求直线的解析式；
（3）求证：．
14．如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在CD上，且CF=3FD．
（1）求证：△ABE∽△DEF．
（2）△ABE与△BEF相似吗 为什么
15． 综合与实践
主题：X型晒衣架稳固性检测
步骤：如图甲是晒衣架的实物图，图乙是晒衣架侧面示意图，经测量得到立杆，，现将晒衣架完全稳固张开，横扣链成一条线段，测得.
证明与计算：
（1）连接，证明：；
（2）利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？
16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE CA．
（1）求证：BC＝CD；
（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB＝OB，CD＝，求DF的长．
参考答案
1．C
2．B
3．D
4．或（答案不唯一）
5．或
6．（1）证明：∵，
∴，
且，
∴．
（2）解：∵△ABC的周长为11，，，∴AC=5，
∵，
∴
∴AD=2.5
7．（1）证明：平分，
，
∵
∴
；
（2）解：由（1）可得
点为边的中点，，
，
∴
平分，
，
∴
，
，
，
，
，
．
8．A
9．A
10．18
11．或
12
13．（1）解：的中点是，点的坐标为，
．
双曲线经过点；
，
．
（2）解：为直角三角形，
∴轴，
，两点的纵坐标相等，均为4，代入反比例函数解析式得：，
．
设直线的解析式为，
，
解得：．
直线的解析式为；
（3）证明：，点的坐标为，
，，，
，，
，
又，
．
14．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A=∠D=90°，AB=AD=CD，
设AB=AD=CD=4a，
∵E为边AD的中点，CF=3FD，
∴AE=DE=2a，DF=a，
∴=2，=2，
∴
又∵∠A=∠D=90°，
∴△ABE∽△DEF．
（2）证明：∵△ABE∽△DEF，
∴，
∴∠AEB=∠DFE，∠ABE=∠DEF，
∵∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠BEF=90°，
∵，∠A=90°．
∴，∠A=∠BEF=90°，
∴△ABE∽△EBF．
15．（1）证明：连接，
∵立杆相交于点，
.
又，
，
，
同理可得AC∥BD
（2）解：如图，过点作于点，过点作
，由（1）已证
，
是等腰三角形.
，
是边上的中线，
.
在中，根据勾股定理，得
.
，即，
解得，
答：晒衣架上的连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上.
16．（1）证明：∵DC2＝CE CA
∴
∴ △CDE∽△CAD
∴ ∠CDB=∠DAC
∵ 四边形ABCD内接于，
∴ BC=CD
（2）解：如图，连接OC
∵BC=CD
∴∠DAC=∠CAB
又∵AO=CO
∴∠CAB=∠ACO
∴∠DAC=∠ACO
∴AD∥OC
∴
∵PB=OB，
∴
∴
又∵
∴
∴ OB=4，即AB=2OB=8，PA=3OB=12
在Rt△ACB中，
∵ AB是直径
∴ ∠ADB=∠ACB=90°
∴ ∠FDA+∠BDC=90°，∠CBA+∠CAB=90°
∵ ∠BDC=∠CAB
∴ ∠FDA=∠CBA
又∵ ∠AFD=∠ACB=90°
∴ △AFD∽△ACB
∴
在Rt△AFP中，设FD=x，则，
∴ 在Rt△APF中有
解得，即．
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