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1.1《向量》课堂训练
一、单选题：本题共13小题，每小题5分，共65分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在下列结论中，正确的是( )
A. 若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B. 模相等的两个平行向量是相等向量
C. 若和都是单位向量，则
D. 两个相等向量的模相等
2.下列命题正确的个数为( )
对于任意向量、、，若，，则；
若向量与同向，且，则；
；
向量与是共线向量，则、、、四点一定共线．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3.已知向量与是两个不平行的向量，若且，则等于( )
A. B. C. D. 不存在这样的向量
4.以下命题：与是否相等与，的方向无关两个具有公共终点的向量，一定是平行向量两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小单位向量都是平行向量其中，正确命题的个数是
A. B. C. D.
5.设是单位向量，，则四边形一定是( )
A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形
6.下列说法中正确的是( )
A. 时间能称为向量 B. 所有单位向量都是相等向量
C. 模为的向量与任一非零向量平行 D. 若，则
7.下列命题中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
8.下列命题中正确的是( )
A. 若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B. 模相等的两个平行向量是相等向量
C. 零向量没有方向
D. 若，是两个平行向量，则，也是共线向量
9.已知向量，则与( )
A. 互为相等向量 B. 互为相反向量 C. 互为共线向量 D. 均为零向量
10.下列结论正确的是( )
A. 若与都是单位向量，则
B. 方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量
C. 直角坐标平面上的轴，轴都是向量
D. 若与是平行向量，则
11.下列关于向量的叙述不正确的是( )
A. 向量的负向量是
B. 模为的向量是单位向量，其方向是任意的
C. 若，，，四点在同一条直线上，且，则
D. 若向量与满足关系，则与平行
12.以下说法中，正确的是( )
A. 两个具有公共终点的向量一定是共线向量
B. 零向量的长度为，没有方向
C. 单位向量都是共线向量
D. 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小
13.已知向量、、，下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若与共线，与共线，且为非零向量，则与共线
C. 单位向量都平行
D. 若，则、中至少有一个是零向量
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
14.多选题下列命题为真命题的是( )
A. 若与为非零向量，且 ，则必与或平行
B. 若为单位向量，且 ，则
C. 已知两个非零向量，，若，则与共线且反向
D. “两个向量平行”是“这两个向量相等”的必要不充分条件
15.下列结论正确有( )
A. 若与都是单位向量，则
B. 方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量
C. 直角坐标平面上的轴轴都是向量
D. 若用有向线段表示的向量与不相等，则点与不重合
16.下列说法不正确的是( )
A. 数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B. 由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行
C. 模为的向量都是相等向量
D. 向量的模可以比较大小
17.关于向量，，下列命题中正确的是( )
A. 若，则． B. 若，则．
C. 若，则． D. 若，，则．
三、填空题：本题共1小题，每小题5分，共5分。
18.与向量方向相反的单位向量为 ．
四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
是正方形对角线的交点，四边形，都是正方形，在如图所示的向量中：
分别找出与，相等的向量；
找出与共线的向量；
找出与模相等的向量；
向量与是否相等？
20.本小题分
如图，已知与的夹角为，，，，，与相交于点．
求；
求与的夹角的余弦值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的有关概念，向量相等，平行向量，单位向量，向量的模，属于基础题．
只要两个向量的方向相同，模长相等，这两个向量就是相等向量，模长相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，两个单位向量的模一定相等，相等向量的模一定相等．
【解答】
解：只要两个向量的方向相同，模长相等，这两个向量就是相等向量，故A不正确；
模长相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故B不正确；
两个单位向量模长相等，故C不正确；
向量相等则模长相等，故D正确．
故选D．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面向量共线的条件及数量积运算，属于基础题．
逐一判断即可．
【解答】
解： 对于，如果，则不能得，所以错误
对于，向量不能比较大小，所以错误；
对于，是与共线的向量，是与共线的向量，所以与不一定相等，所以错误
对于，向量与是共线向量，则，，，四点一定共线，显然不正确，可能，即错误．
故选D．
3.【答案】
【解析】解：由零向量与任意向量平行，故满足条件；
若，由且，得，这与条件矛盾，故排除；
综上所述，．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
略
【解答】
解：两个向量模是否相等与这两向量的方向无关，故本命题正确
有公共终点的向量，但是当夹角不为零角和夹角时，这两个向量就不是平行向量，故本命题不正确
两个向量不能比较大小，但是它们的模能比较大小，故本命题正确
单位向量只说明向量的模为，不能说明向量的方向，所以本命题不正确，
故选：
5.【答案】
【解析】解：由，得，
又，
所以四边形一定是菱形．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是向量相关的概念，属于基础题．
根据向量相关的概念逐项判断可得出答案．
【解答】
解：时间只有大小，没有方向，不是向量， A错误
所有单位向量的模都为，但方向不一定相同，所以不一定是相等向量， B错误
模为的向量是零向量，零向量与任何一个向量平行， C正确
相等向量要求大小和方向都相同，D错误．
故选C．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的定义、向量的模的定义，关键是要特别注意构成向量的个因素大小、方向缺一不可，属于基础题．
根据向量的相关概念对选项一一判断即可．
【解答】
解：A 正确，因为当向量的模等于时，此向量必定是零向量，其方向是任意的；
不对，若，而、方向不定，故B错误；
不对，两个向量的模相等，不能得出它们的方向相同或相反，因此，不能得出两个向量共线；
两向量平行，不表示两向量相等，故D错误 ．
故选 A．
8.【答案】
【解析】解：只要两个向量的方向相同，模相等，这两个向量就是相等向量，起点和终点不一定重合，故A不正确，
模相等的两个平行向量有可能方向相反，故B不正确，
零向量与任意向量都是共线向量的，并不是没有方向，故C不正确，
平行向量也是共线向量，故D正确，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：由，可得，故A错误；
由，可得，故B错误；
由，可得，
所以互为共线向量，故C正确；
由，可得，
可知，故D错误．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：：由于两个单位向量只是模长相等，但方向不一定相同，故不一定成立，错；
：如下图，上北下南左西右东，则南偏西的向量，北偏东的向量，
显然它们是方向相反的向量，即为共线向量，对；
：直角坐标系中，、轴有方向，但长度无法度量，与向量的概念不符，错；
：与是平行向量，也有可能是方向相反的情况，故不一定成立，错．
故选：
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查相等向量、负向量、单位向量等基本知识，是基础题．
直接利用单位向量的定义，向量平行与相等的关系判断选项即可．
【解答】
解：向量的负向量是 ，正确；
B. 模为的向量是单位向量，其方向是任意的，正确；
C. 若，，，四点在同一条直线上，且，
则不正确，因为与可能方向相反；
D. 若向量与满足关系，，则与平行，正确．
故选C．
12.【答案】
【解析】解：对于选项，如果两个向量的起点，终点不在同一直线上，它们不是共线向量，故A错；
对于选项，零向量的长度大小为，方向是任意的，错；
对于选项，单位向量可以垂直，它们不一定是共线向量，错；
对于选项，向量既有大小又有方向，因此两个向量不能比较大小，
而它们的模是表示它们的有向线段的长度，是非负实数，可以比较大小，D正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】解：对于选项A：若，无法得到，如，，
显然满足，但是，故A错误；
对于选项B：因为与共线且为非零向量，
若为零向量，又与共线，所以与共线；
若不为零向量，则存在非零实数，使得，又与共线，
所以，所以，所以与共线；
综上可得与共线，故B正确；
对于选项C：如，均为单位向量，但是与不共线，故C错误；
对于选项D：如，，则，但是、均不是零向量，故D错误．
故选：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查相等向量、共线向量，向量的三角不等式、充分条件，必要条件的判断，属于基础题．
利用向量共线的概念判断；利用向量共线以及单位向量的概念判断；利用向量的三角不等式判断；利用平行向量，相等向量的概念以及充分条件，必要条件的判断方法判断．
【解答】
解：若与为非零向量，且，则存在非零实数使得，
则，
则必与或平行，故正确；
B.若为单位向量，且，则，因此不正确；
C.由向量的三角不等式可知该说法是正确的；
D.两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，该命题是正确的．
故选ACD．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的有关概念，单位向量、共线向量及相等向量，属于基础题．
利用向量的有关概念逐项判断即可．
【解答】
解：A错误：因为与都是单位向量，模相等，但方向不一定相同，故不一定相等．
B正确：如图，方向为南偏西的向量与北偏东的向量，它们是方向相反的向量，所以是共线向量．

C错误：直角坐标平面上的轴、轴有方向，但没有大小；
D正确：有向线段表示的向量与不相等，则点与不重合．
16.【答案】
【解析】解：对于，向量既有大小又有方向，因此向量不能比较大小，故A错误；
对于，由于零向量的方向不确定，因此零向量与任意向量平行，故B错误；
对于，长度相等且方向相同的向量相等，模为的向量只规定了长度相等，方向不一定相同，故C错误；
对于，向量的模是数量，故可以比较大小，故D正确，
故选：．
17.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了向量的定义，相等向量的定义，共线向量的定义，考查推理能力，属于基础题．
利用向量知识，逐一判断求解即可．
【解答】
解：对于：向量的长度相等，方向不一定相同，
从而得不出，即该选项错误；
对于：若，则，故该选项正确；
对于：向量有方向不能比较大小，故该选项错误；
对于：因为，，所以，则该选项正确．
故选BD．
18.【答案】
【解析】解：向量方向相反的单位向量．
故答案为：．
19.【答案】解： ，；
与 共线的向量有： ， ， ；
与 模相等的向量有： ， ， ， ， ， ，；
向量 与 不相等，因为它们的方向不相同．

【解析】本题考查向量共线，向量的模，以及向量相等的概念，属基础题，掌握有关概念即可解决．
由向量相等的概念得结论；
由向量共线的概念得结论；
由向量的模的概念得结论；
由向量相等的概念得结论．
20.【答案】解：根据题意，，即是的中点，则，
则，则；
设与的夹角为，则与的夹角也是，
，
则，
，
则．
【解析】根据题意，分析可得，由数量积的运算性质计算可得答案；
根据题意，设与的夹角为，则与的夹角也是，分析有，求出、的值，由向量夹角公式计算可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于中档题．

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