资源简介

1.4《向量的分解与坐标表示》课堂训练
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若向量满足条件与共线，则的值为( )
A. B. C. D.
2.在中，为的中点，为线段上一点，若，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知，，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知向量，则( )
A. B. C. D.
5.已知点，，则( )
A. B. C. D.
6.向量，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
7.设，向量，，，且，则
A. B. C. D.
8.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，，则．
A. B. C. D.
10.已知向量是两个单位向量，则( )
A. 若不共线，则
B. 若，且，则
C. 若的夹角，则向量在向量上的投影向量是
D. 若，向量的夹角为，则的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.如图，在等腰直角中，分别为斜边的三等分点靠近点，过作的垂线，垂足为，若，则 。
12.一种糖果的包装纸由一个边长为的正方形和个等腰直角三角形组成如图，沿，将个三角形折起到与平面垂直如图，连接，，，，若点满足且，则的最小值为______．
13.在中，，过点的直线分别交直线、于点、，且，其中，，则的最小值为______．
14.已知向量，，那么
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且．
求 ；
若， 为 边上一点，，，求的面积．
16.本小题分
如图所示，在平面直角坐标系中，，，
求点，的坐标；
求证：四边形为等腰梯形．
17.本小题分
已知向量，．
当时，求的值；
当时，求向量与的夹角的余弦值；
当时，求．
18.本小题分
已知平面向量，
求的值；
若与垂直，求实数的值．
19.本小题分
已知抛物线焦点为，准线为，为上一点，，垂足为，且．
求的标准方程．
过点其中且斜率为的直线与交于，两点，，是上的两点异于，，且满足，．
(ⅰ)证明：，
(ⅱ)是否存在和，使得若存在，求和的所有取值若不存在，请说明理由．
20.本小题分
如图，在梯形中，，且为的中点，，．
求的值；
若，求．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量运算法则的合理运用．
先利用平面向量运算法则求出，再由向量共线的条件能求出
【解答】
解：向量，
，
与共线，
，解得．
故选B．
2.【答案】
【解析】解：如图，
为的中点，
，且为线段上一点，
，解得．
故选：．
根据条件可画出图形，并且可得出，根据，，三点共线即可得出，然后解出的值即可．
本题考查了向量数乘的几何意义，三点，，共线且时，可得出，考查了计算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平面向量共线的坐标表示问题，是基础题目．
根据平面向量共线的坐标表示，列出方程即可求出的值．
【解答】
解： ， ，且 ，
所以，解得．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面向量的坐标运算、模长公式，属于基础题．
根据向量加法以及模长的坐标计算公式，结合已知条件，计算即可．
【解答】
解：根据题意可得，，
故：．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量夹角的求法，考查向量的坐标运算，属于基础题．
利用向量夹角公式即可得出．
【解答】
解：，，
，，．
两向量的夹角的取值范围是，
，
与的夹角为．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查向量模的计算，向量垂直和向量平行的坐标公式，属于基础题．
根据向量垂直和向量平行的坐标公式求出，的值，结合向量模的公式进行计算即可．
【解答】
解：因为，，
所以，解得，，
所以，
所以．
故选D．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量平行共线关系的坐标表示，向量模的坐标表示，属于基础题．
先根据向量的平行求得的值，再求模即可．
【解答】
解：因为，
故，
解得，
．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面向量的坐标运算，考查向量平行与垂直的判定，考查运算求解能力，属于基础题．
由向量平行条件判断，由向量垂直条件判断，由向量相等条件判断．
【解答】
解：对于选项A，如果 ，必存在常数， ，即，显然此不存在，故 A错误
对于选项B，，，故，故B正确
对于选项C，，显然与的坐标不同，故它们不相等，故 C错误
对于选项D，，故D正确．
故选BD．
10.【答案】
【解析】解：由题意可得，且，，
则，则，故A正确；
由题意可得，，得，
因，则，则，故B错误；
因的夹角为，则，
则向量在向量上的投影向量是，故C正确；
因，则，得，
因，则，则的最小值为，故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是向量的综合运算．
可结合条件求出向量，进而求出，，即可得解．
【解答】
解：设，，
由已知得，
同理，
则，
又因为，
所以，
得，
由，对上式整理得，
解得，
所以，所以，
故答案为．
12.【答案】
【解析】解：点满足且，则四点共面，的最小值为点到平面的距离，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则有，令，有，即，
点到平面的距离，
故答案为：．
由题意，点在平面上，最小值为点到平面的距离，利用向量法求点到平面的距离．
本题考查了利用向量求点到平面的距离和空间想象能力，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：如图，
因为，所以，
因为，，三点共线，所以，
所以，当且仅当时取等号，
故的最小值为．
故答案为：．
根据，可得关于、的表达，转化为和，利用，，三点共线，可得，的关系式，再利用基本不等式可求的最小值．
本题主要考查平面向量基本定理和基本不等式的综合，属于中档题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面向量的坐标运算及平面向量模的运算，属基础题目．
根据题意运算的坐标，进一步求模即可．
【解答】
解： 因为向量，，
所以，
则，
故答案为．
15.【答案】解：因为，由正弦定理得，
因为，可得，又因为，可得，
所以，即，
又因为，可得，所以，所以，可得．
由知，
则，
即化简得
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
而，所以，则，
即
由得，
由于，得，代入得，
所以的面积为．
【解析】本题考查二倍角正弦公式、正余弦定理及三角形面积公式，属于中档题．
因为，可得，得到，可得，所以，即．
由角已求出，则面积可用表示，用向量方法表示，得，由余弦定理得，求得与的值，即可求解．
16.【答案】解：连接，设，
则由已知有
，
所以，
所以
证明：因为，
所以，即，
又与不平行，，
所以四边形为等腰梯形．

【解析】本题考查平面向量共线的条件及平面向量的几何运用．
利用已知求出的坐标，然后利用即可求解的坐标
利用向量共线的条件即可求解．
17.【答案】解：，，即．
，，．
向量与向量的夹角的余弦值为．
依题意，
，．
即，．
，．

【解析】本题主要考查平面向量的坐标计算，涉及向量垂直、平行的坐标表示，向量的夹角公式，以及向量模的公式，属于基础题．
由平面向量平行的坐标表示即可求得答案；
由平面向量数量积的坐标运算和夹角公式即可求得答案；
由平面向量垂直的坐标运算求出参数，进而求出向量的模．
18.【答案】解：，，
；
，，，
，即，
即，解得
【解析】本题考查平面向量的数量积、垂直和坐标表示，属于基础题．
利用数量积的坐标表示即可求解
利用向量垂直的坐标表示即可求解．
19.【答案】解：由抛物线的定义，得，
又，所以为正三角形
过作，垂足为，则，
所以正三角形的边长为，即．
由抛物线的定义，得，解得，即，
代入，得，解得或．
当时，，不满足，不符合题意．
故E的标准方程为．
由得，设，则，
由，得，即．
由，得，
再结合，，得，
整理，得，显然，于是．
所以，即．
同理可得．
显然，直线的斜率存在且不为，则的方程为，
由得．
依题意，有
解得，且，由韦达定理，得．
假设．
由，得，即，
同理，代入，得．
由抛物线的定义，得，，
再结合，，得，
整理，得，由，得，
而，所以，结合，解得．
代入，且，得，且
综上所述，当的取值为，且时，．

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
20.【答案】解：由，
由，又，结合图知同向共线，
所以；
由，
由，则，
，
，又因为，则．

【解析】详细解答和解析过程见【答案】

展开更多......

收起↑