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1.5《向量的数量积》课堂训练
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.中，内角，，的对边分别是，，，已知，，，则等于( )
A. B. C. D.
2.设为单位向量，在方向上的投影向量为，则( )
A. B. C. D.
3.设为单位向量，，当和夹角最大时，( )
A. B. C. D.
4.已知单位向量满足，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
5.已知向量在向量上的投影向量为，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知为单位向量，且在上的投影向量为，则( )
A. B. C. D.
7.已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
8.设向量，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 与的夹角为 D.
二、多选题：本题共5小题，共30分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，设，，则下列说法正确的是( )
A. 若与垂直，则 B. 若与平行，则
C. 若与的夹角为钝角，则 D. 若，则，
10.若过作的垂线，垂足为，则称向昰在上的投影向量为如图，已知四边形，均为正方形，则下列结论正确的是( )
A. 在上的投影向量为 B. 在上的投影向量为
C. 在上的投影向量为 D. 在上的投影向量为
11.下列结论正确的是( )
A. 若向量，，，则共面
B. 若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则
C. 若向量，，则在上的投影向量为
D. 已知平面，不重合，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则
12.如图，为边长为的等边三角形以的中点为圆心，为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 的最大值为
D. 若，则的最大值为
13.已知是边长为的等边三角形，是上的点，，是的中点，与交于点，那么( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。
14.如图，在平行四边形中，，，，点为中点，，点为边上的点若点满足，且，则 ______；若点为线段上的动点，则的取值范围为______．
15.已知，，三点在单位圆上运动，且，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知，，是同一平面内的三个向量，其中．
若，且，求的坐标；
若，且，求与的夹角．
17.本小题分
在中，，，，分别为边、上的点，且，．
用向量方法求证：；
求．
18.本小题分
已知向量与的夹角为，且，．
若与共线，求；
求与的夹角的余弦值
19.本小题分
在中，，，，，设，．
用，表示，
若，，，则当时，求的值．
20.本小题分
已知向量，，，．
求函数的单调递增区间和对称中心；
在锐角中，内角，，的对边分别为，，，若，，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，，
根据题意，，
所以，
则．
故选：．
根据余弦定理可得，再根据计算得到结果．
本题主要考查了余弦定理及向量数量积的应用，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为为单位向量，所以，因为，所以，
所以．
故选：．
由投影向量的计算，求得数量积，利用数量积的运算律，可得答案．
本题考查投影向量，平面向量的模，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由为单位向量，设，
又，
则终点的位置在直线上，如图示，
其中，则，
设，
则，
而，
显然，
所以，则，
又，
可得，
所以，
要最大，即最小，
而，当且仅当时取等号，
所以当和夹角最大时，．
故选：．
设，则终点的位置在直线上，设，应用数量积的定义及坐标表示、余弦定理、三角形面积公式得、，结合最大，即可得目标向量的数量积．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，属中档题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用向量的模求向量的数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于中档题．
根据 两边平方 展开求解即可得，再利用向量夹角计算公式即可．
【解答】
解：因为，所以 ，
即，所以，即．
又，所以．
又，所以．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：已知向量在向量上的投影向量为，
所以，
所以，
且，所以，
所以
又；
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查利用向量的数量积求向量的模，投影向量，属于基础题．
根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
【解答】
解：，为单位向量，
且在上的投影向量为，
则，
故，
．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：因为向量，，且，则，解得．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的模、夹角及数量积，考查平面向量垂直、平行的判断，属于基础题．
根据向量坐标计算向量的模、数量积，即可求夹角，判断垂直、平行关系．
【解答】
解：向量，，
所以，故A错误；
因为，，
所以与不平行，故B错误；
因为，，
所以，
即与的夹角为，故C错误；
因为，，
所以，
即，故D正确．
故选D．
9.【答案】
【解析】解：因为向量，，，，
所以，，
因为与垂直，
所以，
解得，所以A错误
若与平行，
由，解得，B正确
若与的夹角为钝角，
所以，解得，
又因为时与平行，
所以，所以C错误
若，则，，
所以，，
所以，，
因为，，
所以，，
所以，，D正确．
故选BD．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，设正方形和正方形的边长都是，
则有，，则，，
，
故在上的投影向量为，故A正确，B错误；
，则，
则在上的投影向量，则C正确，D错误．
故选：．
根据题意，由投影向量的计算公式求出在上的投影向量和在上的投影向量，分析选项可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及投影向量的计算，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，，所以共面，选项A正确；
对于，，所以或，选项B错误；
对于，因为，，
所以，
所以在上的投影向量为，选项C错误；
对于，因为，即共线，所以，选项D正确．
故选：．
利用空间向量的共面定理判断选项A；
根据向量与平行的关系判断选项B；
利用投影向量的定义求解选项C；
利用法向量判断两平面的平行关系确定选项D．
本题考查了空间向量的共面定理和投影向量的应用问题，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：对于，由题，，故A正确；
对于，由知，，
则
，故B错误；
对于，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，
设，
所以，
当时，的最大值为，故C正确；
对于，当，，三点共线时，，，，
所以，又，
所以，所以，
所以，故D正确．
故选：．
由向量的线性运算可判断；由数量积的定义可判断；以为坐标原点，建立平面直角坐标系，结合三角函数的性质可判断；由共线向量定理求出，可判断．
本题考查了平面向量数量积的性质及运算，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：以为原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，，
，
，即选项D正确；
设，则点，
、、三点共线，
不妨设，即，
，
解得，，
，即点为的中点，故选项A正确；
为等边三角形，且为的中点，，即，故选项B错误；
为的中点，为的中点，
，
，即选项C正确．
故选：．
以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，写出、、、、的坐标，可得的坐标，从而判断选项D；
设，由、、三点共线，可设，解得和的值，进而确定点的坐标，可判断选项A和；
由为等边三角形，可判断选项B．
本题考查平面向量在几何中的应用，遇到规则图形，一般通过建立坐标系，借助平面向量的坐标运算可简化试题，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：由题意，
所以，则；
若点为线段上的动点，
设，
又，
，
所以
，
由于，
则函数在上单调递增，则，
则的取值范围为．
故答案为：；．
根据平面向量的加法法则和平面向量数量积公式即可求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：设的中点为，因为，，
所以，，
则
，
因为，所以，
则的取值范围为．
故答案为：．
设的中点为，通过数量积运算，可得，结合，可求得的取值范围．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，属中档题．
16.【答案】解：因为，，
所以可设，．
又，
所以，解得
或；
与垂直，
，
即，
．
则，
，
，．
【解析】本题考查平面向量的数量积运算，平面向量的共线，是基础题．
可设，结合已知列式求解；
由与垂直，可得与的数量积为，代入数量积公式求解．
17.【答案】证明见解析；
．
【解析】证明：在中，，分别为边、上的点，
因为，则为的中点，
所以根据平面向量的加法法则可得，
又因为，
所以根据平面向量的减法法则可得，
因为，
所以根据平面向量垂直的向量关系可得，
又，
所以，
根据平面向量垂直的向量关系可得，得证；
解：在中，，，
则，
，
由勾股定理可得，
根据两向量的夹角公式可得．
要证，只需证；
由向量数量积的变形公式即可求得答案．
本题考查了平面向量数量积公式和两向量的夹角公式，属于中档题．
18.【答案】解：若与共线，
则存在，使得，
即，
又因为向量与不共线，
所以，解得，所以．
，
，
．

【解析】本题考查了向量的模、向量的夹角、向量的数量积和平面向量共线的充要条件，是中档题．
设存在，使得，得出方程组解出即可；
直接由向量的数量积得出，由展开计算得出；直接由向量夹角公式得出结果．
19.【答案】解：，
．
当时，，即．
因为，，，所以，
故
【解析】本题主要考查了向量的运算，以及数量积的运算，属于基础题．
利用向量加法，减法运算即可求出结果；
利用数量积运算得，即可求出．
20.【答案】递增区间是；对称中心为．
．
【解析】由题意得，
令，，解得，
可得函数的单调递增区间为，
设，，可得，，
所以函数图象的对称中心为．
由得，即，
结合，可得，故，解得，
所以
，
在锐角中，，则，解得，
所以，可得，所以．
综上所述，的取值范围是．
根据平面向量数量积的坐标运算法则，结合三角恒等变换公式化简得，然后根据正弦函数的单调性与对称性列式，进而算出的递增区间和对称中心；
由，结合为锐角算出，然后根据正弦定理与三角恒等变换公式化简，得到关于的表达式，运用二次函数的性质，结合的取值范围算出的取值范围，可得答案．
本题主要考查平面向量数量积的坐标表示、两角和与差的三角函数公式与二倍角公式、正弦定理、二次函数的性质等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．

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