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1.6《解三角形》课堂训练
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则( )
A. B. C. D.
2.在中， 、 、 分别是内角 、 、 所对的边，若，，，则边 ( )
A. B. 或 C. 或 D.
3.在中，，则( )
A. B.
C. D. 或
4.如图，在海面上有两个观测点，相距，点在的正南方向，某天观察到某航船在点西南方向的处，距离点也为，分钟后该船行驶至处，此时测得，，则该船行驶的距离( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共1小题，共6分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
5.在中，角所对的边分别是且，则下列说法正确的是( )
A.
B. 若，且有一解，则的取值范围为
C. 若，且，为的内心，则
D. 若，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
6.在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为 ．
7.如图，已知矩形，，为线段边上的点，现将沿翻折至，使得点在平面上的投影在上，且直线与平面所成角为，则线段的长为 ．
8.的三个内角、、满足：：：：，则最小角的余弦值为______．
四、解答题：本题共13小题，共156分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
9.本小题分
记的内角的对边分别为，且．
求角；
若的面积为，求的周长．
10.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，的面积和周长分别为，，且．
若，，求；
若且，求的最大值．
11.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且．
Ⅰ求角
Ⅱ若，求面积的最大值．
12.本小题分
已知函数，
求的最小正周期以及单调递增区间；
在中，三个角，，所对的边分别为，，，若，、，判断的形状并求的外接圆面积．
13.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，其中，且C.
求角的大小
若，外接圆的半径为，求的面积．
14.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知，．
求
若的面积为，求．
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若为上一点，且，
若，求的值；
若，求的周长．
16.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，已知，．
Ⅰ求证：；
Ⅱ求的值；
Ⅲ求的值．
17.本小题分
三角形中，角，，的对边分别为且．
求；
求三角形面积的最大值．
18.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且C.
证明：为钝角三角形．
若的面积为，求，．
19.本小题分
锐角的角，，的对边分别为，，，若．
求证：；
若，求边的取值范围．
20.本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
求角；
若的面积为为的中点，求长度的最小值．
21.本小题分
在中，角、、的对边分别为、、，已知，，．
求角的大小；
求的值；
求的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：在中，，，，
利用正弦定理：，
整理得：．
故选：．
直接利用正弦定理和三角函数的值求出结果．
本题考查的知识点：三角函数的值，正弦定理，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
根据余弦定理可得出关于 的等式，解之即可．
【解答】
解：因为 ， ， ，由余弦定理可得 ，
即 ，即 ，解得 或 ．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：由余弦定理，，
即，解得．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：由题意得为直角，故，
因为，所以四点共圆，
因为，所以，，
在中，由正弦定理得，
所以．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】利用正弦定理边化角，结合和角的正弦判断；利用余弦定理，结合一元二次方程根的判别式求得的范围判断；利用正弦定理求出角及，由等面积法求得内切圆半径，进而求出的面积判断；由正弦定理得，再求出角的范围判断．
【详解】对于，由，得，
即，而，因此，A正确；
对于，由余弦定理得，整理得，
由关于的一元二次方程只有一个正数解，得或
解得或，B正确；
对于，由，得，又，则，
即，
而，解得，由，得为锐角，则，
因此，为直角三角形，设其内切圆的半径为，
则，，
因此，C错误；
对于，由正弦定理可得，，即，
在中，，解得，，则，D正确．
故选：
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查解三角形，属于基础题．
利用余弦定理求，由三角形的面积公式即可求解．
【解答】
解：由题意，得 ，
解得 ，
故 的面积为 ．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与平面所成角，属于中档题．
过作平面，垂足为，连接，则在上，，过作，垂足为，设，进而可得，，在直角三角形与直角三角形中利用几何关系即可求解线段的长．
【解答】
解：过作平面，垂足为，连接，则在上，且，
，，，
过作，垂足为，则，
设，则，，
，
，解得．
故答案为：．
8.【答案】
【解析】解：因为：：：：，
由正弦定理得：：：：，设，，，
则是最小角，由余弦定理得．
故答案为：．
利用正弦定理、余弦定理可得答案．
本题主要考查了正弦定理及余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
9.【答案】解：因为，所以，
根据正弦定理，得，
因为，所以，
又，所以
在中，由已知，
因为，
由余弦定理可得，即，
即，又，所以．
所以的周长周长为．

【解析】本题考查了正弦定理与余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于基础题．
根据二倍角公式，结合正弦定理边角互化，即可求解，
根据面积公式可得的值，结合余弦定理即可求解．
10.【答案】解：在中，由，可得．
若，即，得．
由正弦定理，可得．
又因为，所以，
因此有，
化简可得，又因为，解得或．
由，可得．
若时，，可得，符合题意．
若时，，可得，不符合题意．
故此时．
由正弦定理可得，为外接圆半径，
则：，，，
又，故
则由，
可得，
即，
又，
可得，
化简可得 ，
又，得：，
则，，
因此，
又因为，，
所以，其中，
则，当且仅当时取等号，
故的最大值为．
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
11.【答案】解：因为，
所以由正弦定理得，整理得，
由余弦定理得，
因为，所以；
由余弦定理得，由知，且，
所以，当且仅当时等号成立，即，
所以，
即当为正三角形时，面积最大值为．
【解析】本题考查了正弦定理、余弦定理及三角形的面积，基本不等式求最值，属于中档题．
由条件及正弦定理可得，由余弦定理得，即可求得；
由余弦定理得，结合基本不等式可得，根据三角形的面积公式可得面积的最大值．
12.【答案】解：，
所以周期，
令，
解得，
所以单调递增区间为
由于在中，三个角所对的边分别为，，
，
，，，
，在中由正弦定理得，，
又有，
，，
，，为的内角，且，，
，，
所以是正三角形，
可知正外接圆的半径为，的外接圆面积．

【解析】【分析】本题考查二倍角公式，两角和与差的正弦公式，三角函数的图像与性质以及正余弦定理的应用，属于中档题；
函数化简为的形式，进而求出最小正周期以及单调递增区间即可
先由，求得，再由用正弦定理，再将代入展开化简即可得，故为等边三角形，再由，即可求的外接圆面积．
13.【答案】解：因为在中，，所以．
由，得，
得，即，
因为，所以，为内角，所以．
由外接圆的半径为，及正弦定理，得，
由余弦定理得，所以，由，得，
所以．
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
14.【答案】解：因为，所以由余弦定理得，
而，因此．
又因为，所以，即，解得，
而，因此．
由知：，，因此．
因为的面积为，所以，即，解得．
又因为由正弦定理得，，所以，
即，
即，解得舍去．
【解析】本题考查了利用余弦定理解三角形，利用正弦定理解三角形，三角形面积公式与两角和与差的正弦公式，属于中档题．
利用余弦定理解三角形得，再利用题目条件，计算得结论；
利用三角形面积公式得，再利用正弦定理解三角形，结合的结论得，再利用两角和的正弦公式，计算得结论．
15.【答案】；
；．
【解析】因为，
由正弦定理可得，
整理得，
由余弦定理得，
可得，
又，
所以；
在中，
，所以，，
，
在中，由正弦定理得，，而，
即，即，
则可得；
因为，
可得，
两边平方可得
，
即，
解得，则，
由得，，
所以，
故的周长为．
用正弦定理对变形，再结合余弦定理算出的值，根据的范围确定大小；
在和中分别用正弦定理表示出和，进而求出比值；
先将用与表示，再对展开，结合的值和得出的边关系求出、，最后用算出，三边相加得周长．
本题考查正弦定理，余弦定理的应用，向量的运算性质的应用，属于中档题．
16.【答案】解：Ⅰ证明：，
由余弦定理得，
，
，，
．
Ⅱ由Ⅰ及正弦定理得，
，，
，．
Ⅲ由Ⅱ知，
，，
，
，，
还可以为，此时．
【解析】Ⅰ利用余弦定理，结合三角函数性质能证明．
Ⅱ由正弦定理得，由此能求出的值．
Ⅲ推导出，从而，，由此能求出结果．
本题考查正弦定理、余弦定理、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】；
．
【解析】三角形中，角，，的对边分别为且，
由正弦定理得，
则，
所以，
根据得：；
余弦定理：，
所以三角形面积为，
当且仅当时，即为等边三角形时，三角形面积取最大值．
利用正弦定理边换角并利用两角和的正弦公式展开化简即可得到答案；
利用余弦定理和基本不等式即可得到的最大值，再利用三角形面积公式即可得到答案．
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．
18.【答案】解：证明：由，结合正弦定理得，
所以，结合，可知为钝角，可得为钝角三角形．
根据题意得的面积，解得．
由知，所以，
根据余弦定理，得，
整理得，结合，解得．
【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理、三角形的面积公式等知识，属于基础题．
根据正弦定理化简已知等式，可得，进而算出，由此证出角为钝角，即可证出结论；
由三角形的面积公式列式算出，然后根据余弦定理，代入数据推导出，进而算出、的值．
19.【答案】证明见解析；
．
【解析】证明：因为，
由正弦定理整理可得：，
整理可得：，
在中，，
可得，
即，
在中，，，
可证得；
解：由正弦定理可得：，，
可得
，
在锐角三角形中，可得，
解得，，
所以．
根据正弦定理，结合三角恒等变换，即可求解；
结合正弦定理表示，再根据的结果化简函数，最后根据锐角三角形，求角的范围，根据角的范围求函数的值域．
本题考查正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题．
20.【答案】；
．
【解析】已知的内角，，所对的边分别为，，，且，
由正弦定理得，
又，
则
，
而，则，
又，所以；
依题意，，由知，得，
在中，由余弦定理得，
当时取到等号，
所以的最小值为．
利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简求解；
由的结论，利用余弦定理及基本不等式求解即得．
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．
21.【答案】；
；
．
【解析】解：因为，，，
由余弦定理可得：，
因为，
所以；
在中，由正弦定理得，
又因为，，，
即，
解得，
在中，；
因为，，，
所以．
利用余弦定理计算即可求解；
利用正弦定理结合的结论计算即可；
利用三角形的面积公式求解即可．
本题考查正弦定理，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，属于中档题．

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