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1.7《平面向量的应用举例》课堂训练
一、单选题：本题共14小题，每小题5分，共70分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图所示，支座受两个力的作用，已知，与水平线成角，，沿水平方向，两个力的合力的大小，则( )
A. B. C. D.
2.在中，，，则
A. B. C. D.
3.空间中一个静止的物体用三根绳子悬挂起来，已知三根绳子上的拉力大小分别为，，，且三根绳子中任意两根绳子的夹角均为，则该物体的重力大小为( )
A. B. C. D.
4.有一艘船以每小时海里的速度向正东方向行驶，在处测得灯塔在该船的东北方向，该船行驶小时后到达处，测得灯塔在该船的东偏北方向上，则( )
A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里
5.已知为的重心，且，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知三个角，，所对的边分别为，，，向量与满足，且，则边上的中线长为( )
A. B. C. D.
7.已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
8.已知满足，，，则点依次是的( )
A. 重心，外心，垂心 B. 重心，外心，内心 C. 外心，重心，垂心 D. 外心，重心，内心
9.已知三个角，，所对的边分别为，，，向量与满足，且，则边上的中线长为( )
A. B. C. D.
10.四边形中， ， ，则四边形是( )
A. 矩形 B. 菱形 C. 平行四边形 D. 正方形
11.河水的流速为，一艘小船想沿垂直于河岸方向以的速度驶向对岸，则小船的静水速度为( )
A. B. C. D.
12.定义：，其中为向量与的夹角若，，，则( )
A. B. C. D.
13.在中，，，点，分别在线段，上，且为中点，，若，则直线经过的( )
A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心
14.设四边形中，有且，则这个四边形是( )
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 等腰梯形 D. 菱形
二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
15.设非零向量，的夹角为，定义运算下列说法正确的是( )
A. 若，，则
B.
C. 若，则
D.
16.下列说法正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，则
C. 已知，，若，则
D. 若是的重心，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
17.已知，，，，的夹角为，则三角形的边上中线的长为__________．
18.若平面上的三个力、、作用于一点，且处于平衡状态已知，，与的夹角为，则与夹角的大小为________．
19.某人在静水中游泳，速度为若此人沿垂直于水流的方向游向河对岸，水的流速为，则此人实际的速度为
四、解答题：本题共1小题，共12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.本小题分
如图，支座受，两个力的作用，已知与水平线成角，，沿水平方向，，与的合力的大小为．
求．
求与的夹角的余弦值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：依题意，，则，
即，所以．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的线性运算及向量的几何运用，考查分析与计算能力，属于基础题．
根据向量的运算法则，即可得到结果．
【解答】
解：平行四边形中，，，
，
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查向量在物理中的应用，向量的数量积的概念及其运算，属于基础题．
根据题意，该物体的重力大小等于三根绳子上的三个力的合力大小，因此利用向量的数量积与模的公式加以计算，可得答案．
【解答】
解：设三根绳子上的拉力分别为、、，
且，，，
、、中任意两个向量的夹角都是，
所以，
，
，
因为
，
所以，
即该物体的重力等于．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用正弦定理解决距离问题，属于基础题．
由题意画图，再利用正弦定理求解．
【解答】
解：由题意作图，
可知，
海里，
在中，由正弦定理可得，
则海里．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面向量的运算，属于基础题．
应用重心的性质，以及平面向量的线性运算即可求解．
【解答】
解：设的中点为，
根据重心的性质可得，
，
．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：由，得，化简整理得得，
则，即．
所以是以为斜边的直角三角形，
由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得边上的中线长为，
故选A．
7.【答案】
【解析】解：由已知，
，
，
，
点的坐标为．
故选：．
根据已知条件，结合向量的坐标运算法则，即可求解．
本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量在平面几何中的应用，属于基础题．
根据到三角形三个顶点的距离相等，得到为外心；根据中线的性质，可得为重心；根据向量垂直，即得到是垂心．
【解答】
解：因为，
即到的三个顶点的距离相等，
所以为的外心；
设中点为，
，
，
所在直线经过中点，与边的中线共线，
同理可得，分别与，边的中线共线，
是三角形中三条中线的交点，
为的重心；
，
，
，
，
同理可得，，
所以为的垂心．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：由，得，化简整理得得，
则，即．
所以是以为斜边的直角三角形，
由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得边上的中线长为，
故选A．
10.【答案】
【解析】解：在四边形中，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形．
故选A．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量在物理中的应用，属于基础题．
根据题意，设河水的流速为 ，小船在静水中的速度为 ，船的实际速度为 ，得到 ，结合向量的运算，即可求解．
【解答】
解：设河水的流速为 ，小船在静水中的速度为 ，船的实际速度为 ，
则 ， ，所以 ，
所以 ，即小船在静水中的速度大小为 ．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：因为，故，
而，故，故，
故选：
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的加减与数乘混合运算，以及向量在平面几何中的应用，属于较易题．
由题意判断四边形是菱形，直线为角的内角平分线即可得．
【解答】
解：在中，，，
点，分别在线段，上，且为中点，，
，
，
四边形是菱形，
直线为角的内角平分线，
故直线经过的内心．
故选A．
14.【答案】
【解析】解因为，所以且，
所以四边形是梯形．
又，
所以四边形是等腰梯形．
故选．
15.【答案】
【解析】解：对于，，所以，所以，
所以，故A正确；
对于，因为，所以，故B错误；
对于，若，则，所以或，
所以，故C正确；
对于，若，则，
，故D错误．
故选：．
16.【答案】
【解析】解：若，则与不一定平行，故A错误
若两向量相等，则模一定相等，故B正确
由向量垂直可知，故C错误
若是的重心，则点满足，即，故D正确．
故选BD．
17.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量在几何中的应用，向量加减法及数量积运算，属基础题．
设为的中点，依题意，，结合向量加减法及数量积运算求解即可．
【解答】
解：设为的中点，则，
所以，所以，
所以．
即三角形的边上中线的长为．
18.【答案】
【解析】解：三个力平衡，
，
，
设与的夹角为，
得，
因为，所以．
故答案为：．
19.【答案】
【解析】解：将此人的游泳速度与水的流速平移至共同起点，作出其和速度，
由此人的游泳速度为，水的流速为，
可得此人实际速度为，且与水流方向成，
故答案为：
20.【答案】解：，
即．
，
解得．
，
，即，
，
解得．

【解析】本题考查向量的物理应用，属于基础题．
根据利用向量加法可得，再进行数量积运算可得．
利用，再进行数量积运算可得．

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