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2.1《两角和与差的三角函数》课堂训练
一、单选题：本题共11小题，每小题5分，共55分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.己知，，则( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.已知锐角的终边过点，则( )
A. B. C. D.
6.已知，，则( )
A. B. C. D.
7.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形或等腰三角形
8.将顶点在原点，始边为轴非负半轴的锐角的终边绕原点顺时针旋转后，交单位圆于点，那么( )
A. B. C. D.
9.已知，则( )
A. B. C. D.
10.已知，且，，则的值为
A. B. C. D.
11.已知，，则( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.已知，，且，， ； ．
14.已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，已知是半径为圆心角为的扇形，是该扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形，记为．
若的周长为，求的值；
求的最大值，并求此时的值．
16.本小题分
设的内角，，所对的边长分别为，，，且．
求角的大小；
若角，边上的中线的长为，求的面积．
17.本小题分
求函数的最小正周期、最大值，并求出取得最大值时所有的值．
18.本小题分
已知的顶点在轴上，，，且边的中点在轴上，设的轨迹为曲线．
求的方程
若正三角形的三个顶点都在上，且直线的倾斜角为，求．
19.本小题分
中，角，，所对的边分别为，，已知．
Ⅰ求角的大小；
Ⅱ设，，求和的值．
20.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，．
求；
若的面积为，边上的高为，求的周长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用正弦定理解决范围与最值问题两角和与差的正弦公式，求正弦型函数的最值，属于中档题．
由已知结合正弦定理、三角形内角和可得值，将所求经三角恒等变换为，可得最大值．
【解答】
解：由正弦定理，
则，，，
因为，
所以，
又因为，所以，
所以
，
所以
，
所以，
，，
所以，
所以，
所以，
所以，所以，
所以
，
所以当且仅当时，有最大值为．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角函数求值问题，属于基础题．
求出，利用即可求解．
【解答】
解：因为，
则，
则，即，
则．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两角和的余弦公式、诱导公式的应用，考查三角函数的化简求值，属于中档题．
由，可得，进而可得，再根据两角差的余弦公式化简求出的关系，即可得解．
【解答】解：因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
可得．
故选：．
利用两角和与差的正切公式求解即可．
本题考查了两角和与差的正切公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查逆用两角和与差的余弦公式，任意角的三角函数的定义，属于基础题．
根据三角函数定义求得，再结合余弦的和角公式，即可求得结果．
【解答】
解：根据题意可得，
故．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：依题意，，
若，则，而，不符合题意；
故，，
所以，
则，即．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：在中，角，，所对的边分别为，，，
若，
由正弦定理得，
因为，，
所以，
所以，
化简得，即，
则或，
若，因为，，，所以，
若，因为，所以，
故为等腰三角形或直角三角形．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查任意角三角函数的定义，同角三角函数基本关系式，诱导公式及两角和与差的三角函数公式，属于中档题．
先得出和的值，由展开计算可得结果．
【解答】
解：由题意，，
因为为锐角，
所以，
所以，
则
．
故选D．
9.【答案】
【解析】【分析】
先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解．
【解答】
解：因为，
所以，，
所以，
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式．
化简已知式子为，，再求出， ，利用，即可求出结果．
【解答】
解：因为，
所以，即，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
，
所以
．
故选A．
11.【答案】
【解析】解：因为，，
所以．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：由两角差的正弦公式可知：
，
又，
，则，
故答案为：．
13.【答案】

【解析】解：因为，，所以，故，
所以，
所以，解得，
所以，故，
因为，所以，故，
因为，
所以．
故答案为：；．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角函数求值问题，属于一般题．
令利用同角基本关系和两角和的正弦即可求解．
【解答】
解：令
则
因为，
所以
．
15.【答案】解：扇形的圆心角为，故，
，，
则若的周长为，
，
即，
平方得，
即，
解得或．
，．
由知在中，
，，
在中，
，
，
则
，
，
，
当，即时，有最大值．
【解析】本题主要考查三角函数在几何图形中的应用，直角三角形中的边角关系，三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，考查学生的运算和推理能力．
本小题考查了倍角公式化简求值，由条件利用直角三角形中的边角关系求出三角形的周长，利用三角函数的倍角公式进行化简进行求解．
本小题考查两角和与差的正弦公式及倍角公式，首先用恰当表示，利用三角公式化简，结合正弦函数图象求最值．
16.【答案】解：，
．
即
则，则．
由知，所以，，
设，在中由余弦定理得，
解得，
故．

【解析】本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．
利用正弦定理将已知条件边化角，使用和角公式化简即可得出；
使用余弦定理解出等腰三角形的腰长，代入面积公式计算．
17.【答案】最小正周期，最大值为，当，时取得最大值．
【解析】解：由于，
函数的最小正周期，函数的最大值为，
当，即，时取得最大值．
利用二倍角公式及辅助角公式化简函数式，再利用正弦函数的性质求解．
本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，三角函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：设，依题意，设，，
则，，
因为，点为边的中点，
所以，
所以，即，
所以的方程为．
设，，，
则，
同理可得，．
因为直线的倾斜角为，
所以直线的倾斜角为，
直线的倾斜角为．
所以，
，
所以，
，，，．
因此，．

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
19.【答案】解：Ⅰ在中，由正弦定理得，得，
又，
，
即，
，
又，．
Ⅱ在中，，，，
由余弦定理得，
由，得，
，
，
，
，
．
【解析】本题考查两角和与差的三角函数公式，考查正余弦定理的运用．
Ⅰ由正弦定理得，结合，由此能求出．
Ⅱ由余弦定理得，由，得，，由此能求出．
20.【答案】解：因为，
由正弦定理，得，
即，
即B.
因为在中，，
所以．
又因为，所以．
的面积为，即，即，
，．
由余弦定理，得，即，
得，所以，
所以周长为．
【解析】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和方程思想，属于中档题．
由已知利用正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理可得B.结合，可求，进而可求的值．
由已知利用三角形面积公式可求，，再利用余弦定理可求，即可得解．

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