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2.2《二倍角的三角函数》课堂训练
一、单选题：本题共15小题，每小题5分，共75分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.计算等于( )
A. B. C. D.
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.设，，，则有( )
A. B. C. D.
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.已知( )
A. B. C. D.
7.在中，若，则此三角形一定是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角 D. 既非等腰三角形也非直角三角形
8.已知，则( )
A. B. C. D.
9.若，则( )
A. B. C. D.
10.已知，，则( )
A. B. C. D.
11.已知，则( )
A. B. C. D.
12.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
13.若钝角满足，则等于( )
A. B. C. D.
14.已知等腰三角形顶角的余弦值为，则底角的正弦值是( )
A. B. C. D.
15.若，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
16.已知，，则下列各式正确的有( )
A. B.
C. D.
17.已知，则可能是( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。
18.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称，若，则 ．
19.函数最大值为 ．
四、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.本小题分
记的内角的对边分别为，且．
求角；
若的面积为，求的周长．
21.本小题分
已知函数，
求的最小正周期以及单调递增区间；
在中，三个角，，所对的边分别为，，，若，、，判断的形状并求的外接圆面积．
22.本小题分
已知中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且．
求 ；
若， 为 边上一点，，，求的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：
．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二倍角公式，属于基础题．
利用二倍角公式计算可得．
【解答】
解：．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角函数求值问题，属于基础题．
利用诱导公式和二倍角公式即可求解．
【解答】
解：由题意，得
，B正确．
4.【答案】
【解析】解：因为，
，
，
因为在上单调递增，所以，
所以．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：依题意，，
若，则，而，不符合题意；
故，，
所以，
则，即．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：由，解得，
则
．
故选A．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角形形状的判断，为基础题．
解法：利用正弦定理，两角和与差的三角函数公式和二倍角公式求解即可；
解法：利用余弦定理即可求解．
【解答】
解：解法：，有，
，
，
三角形中则有，
而又，故，则三角形一定为等腰三角形．
解法：，
则有，则，可得三角形一定为等腰三角形．
8.【答案】
【解析】解： ，

．
故答案为．
9.【答案】
【解析】解：，则，
所以．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两角和与差的正弦公式以及二倍角公式，属于基础题．
利用两角和与差的正弦公式先求出的值，从而可以得到的值，再结合二倍角的余弦公式即可得出结果．
【解答】
解： ，，
．
，
，故选B．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了二倍角公式的应用，属于基础题．
利用降幂公式，化简求值．
【解答】
解：因为，
则．
12.【答案】
【解析】解：因为，
所以
．
故选：．
13.【答案】
【解析】解：因为，且为钝角，所以等号左边分子分母同时除以，
所以，所以，
又为钝角，所以，则，
所以．
故选：．
14.【答案】
【解析】解：依题意，设该等腰三角形的底角为，结合题意得，
则，即，解得．
故选：．
15.【答案】
【解析】解：依题意得，解得或．
因为，所以，
所以．
故选：．
16.【答案】
【解析】解：由已知：，因此，故A项正确
因为，且，所以，因此．
又因为，因此，故B项错误
，故C项错误
由方程组解得于是，故D项正确．
17.【答案】
【解析】解：因为，即，
所以，
即，所以，
所以是第二象限角或第四象限角．
故选：．
18.【答案】
【解析】解：由已知得，即，
所以
．
19.【答案】
【解析】解：依题意，，
而，所以当时，取得最大值．
故答案为：．
20.【答案】解：因为，所以，
根据正弦定理，得，
因为，所以，
又，所以
在中，由已知，
因为，
由余弦定理可得，即，
即，又，所以．
所以的周长周长为．

【解析】本题考查了正弦定理与余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于基础题．
根据二倍角公式，结合正弦定理边角互化，即可求解，
根据面积公式可得的值，结合余弦定理即可求解．
21.【答案】解：，
所以周期，
令，
解得，
所以单调递增区间为
由于在中，三个角所对的边分别为，，
，
，，，
，在中由正弦定理得，，
又有，
，，
，，为的内角，且，，
，，
所以是正三角形，
可知正外接圆的半径为，的外接圆面积．

【解析】【分析】本题考查二倍角公式，两角和与差的正弦公式，三角函数的图像与性质以及正余弦定理的应用，属于中档题；
函数化简为的形式，进而求出最小正周期以及单调递增区间即可
先由，求得，再由用正弦定理，再将代入展开化简即可得，故为等边三角形，再由，即可求的外接圆面积．
22.【答案】解：因为，由正弦定理得，
因为，可得，又因为，可得，
所以，即，
又因为，可得，所以，所以，可得．
由知，
则，
即化简得
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
而，所以，则，
即
由得，
由于，得，代入得，
所以的面积为．
【解析】本题考查二倍角正弦公式、正余弦定理及三角形面积公式，属于中档题．
因为，可得，得到，可得，所以，即．
由角已求出，则面积可用表示，用向量方法表示，得，由余弦定理得，求得与的值，即可求解．

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