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2.3《简单的三角恒等变换》课堂训练
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式的值为的是( )
A. B.
C. D.
2.已知函数在处取得最小值，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数为常数，，在处取得最小值，则函数( )
A. 是偶函数且它的图象关于点对称 B. 是奇函数且它的图象关于点对称
C. 是偶函数且它的图象关于点对称 D. 是奇函数且它的图象关于点对称
4.已知函数，若且，则的值是( )
A. B. C. D.
5.化为和差的结果是( )
A. B.
C. D.
6.函数的最大值为( )
A. B. C. D.
7.函数的单调减区间是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
8.已知函数，，则函数的值域是( )
A. B. C. D.
9.若，则( )
A. B. C. D.
10.设，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
11.下列各式的值为的是( )
A.
B.
C.
D.
12.下列各式中，值为的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
13.已知函数，，则的最小值为 ．
14.求值：_______．
15.已知，且，则 ．
16.若，则 ．
17.化简________．
四、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期及单调递增区间；
求函数在区间上的值域．
19.本小题分
已知向量．
若，求 的值；
若，且，求角．
20.本小题分
已知函数，．
求的最小正周期；
求的单调增区间．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：对于选项，
，不满足；
对于选项，，不满足；
对于选项，
，满足；
对于选项，，不满足．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：，
其中，，
由于在处取得最小值，则，
则，，，，
则，．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
由已知结合余弦函数的性质可知，从而可求，的关系，代入化简后根据余弦函数的性质可求
本题主要考查了余弦函数的定义及性质的简单应用，属于基础试题．
【解答】
解：在处取得最小值，
且，
，，
则
根据偶函数的定义可知是偶函数，且图象关于对称
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查二倍角公式以及辅助角公式的运用，属于基础题．
运用二倍角公式以及辅助角公式将函数化简可得，结合以及，即可求解．
【解答】
解：由题
，
则由，得，
又，
，
故选A．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查积化和差公式的应用，属于基础题．
利用积化和差公式化简即可．
【解答】
解：原式
．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二倍角公式及辅助角公式，以及三角函数的最值，属于基础题．
利用三角恒等变换化简得，从而根据正弦函数的性质可得答案．
【解答】
解：
，
所以当，，
即，时，函数取得最大值．
故选A．
7.【答案】
【解析】解：，
令，求得，，
故函数函数的单调减区间为，
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查三角函数的值域以及三角恒等变换，属于基础题．
利用三角恒等变换的相关公式化简可得，再利用正弦函数的性质求值域．
【解答】
解：
，
当时，
故选B．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查三角函数的和差公式，三角函数的二倍角公式，三角函数的辅助角公式和诱导公式，考查了考生的理解，计算能力，属基础题．
利用可求得，然后再利用二倍角公式和诱导公式即可再求出的值．
【解答】
解：因为，
则，
所以，
所以
．
故选D．
10.【答案】
【解析】解：因为，
可得，可得，
可得，，
则．
故选：．
由题意利用二倍角公式即可求解．
本题考查了二倍角公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于
，故A正确；
对于，
故B错误；
对于，故C正确；
对于，故D错误．
故选AC．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了二倍角公式以及两角和与差的三角函数公式的应用，属于基础题
根据二倍角公式以及两角和与差的三角函数公式对各选项求解即可确定正确答案．
【解答】
解：．，正确，
B.，正确，
C.，不正确，
D.，
那么，不正确．
故选AB．
13.【答案】
【解析】【分析】
利用辅助角公式化简，结合三角函数的性质即可求解最小值；
本题考查三角函数的有界性，最值的求解，考查转化思想以及计算能力．
【解答】
解：函数
，，
则的最小值为：．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】由，切化弦，再由辅助角公式即可化简求值；
【详解】
解：
．
故答案为：
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了同角三角函数的求值问题，属于基础题．
先求出，再根据求解即可．
【解答】
解：由题意，
所以，
得，
，
故答案为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题重点考查三角恒等变换，属于基础题．
根据辅助角公式简化出 ，即可求
【解答】
解：
，
故．
17.【答案】
【解析】本题考查两角差的三角函数公式以及二倍角公式，考查运算化简的能力．
通分后利用二倍角公式，逆用两角差的正弦公式计算．
解：
，
故答案为．
18.【答案】解：，
所以，函数的最小正周期为，
由得，
故函数的单调递增区间为．
解：当时，，，所以，，
即函数在区间上的值域为．

【解析】本题考查了两角和与差的三角函数公式，二倍角公式及应用，辅助角公式和函数的图象与性质，属于基础题
运用两角和差公式和二倍角公式，化简整理，再由周期公式和正弦函数的单调增区间，即可得到；
由的范围，可得的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可得到值域．
19.【答案】解：因为，所以，所以，即，
因为，所以．
，得，
即，即，
整理得，又因为，
所以，
所以或，
即或．
【解析】本题主要考查了向量平行与垂直，向量的坐标运算，三角函数恒等变形，属于中档题．
由向量垂直得出，利用三角函数公式求解；
由向量平行得出，利用三角函数公式以及三角函数的性质求解．
20.【答案】解：因为函数，
故函数的最小正周期为．
对于函数，
令，，
解得，，
可得函数的增区间为，．
【解析】本题给出三角函数表达式，求函数的最小正周期和单调增区间，考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识点，属于基础题．
首先利用二倍角公式和辅助角公式进行化简，再利用三角函数的周期公式即可求出函数的最小正周期；
根据正弦函数的单调增区间求出函数单调递增区间．

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