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4.1《空间几何体》课堂训练
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.用斜二测画法画水平放置的四边形的直观图为菱形，已知，，则四边形的面积为( )
A. B. C. D.
2.下列说法中正确的个数是( )
棱柱的所有面都是四边形
一个棱柱至少有个顶点、条棱、个面
过圆锥侧面上任意一点有无数条母线
水平放置的三角形用斜二测画法画出的直观图一定是三角形．
A. B. C. D.
3.高为的圆台内有一个半径为的球，球心在圆台的轴上，球与圆台的上底面、侧面都相切圆台内可再放入一个半径为的球，使得球与球、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点除球，圆台内最多还能放入半径为的球的个数是( )
A. B. C. D.
4.用斜二测画法画水平放置的边长为的正方形，所得直观图的周长为( )
A. B. C. D.
5.如图所示，是水平放置的的直观图，且，，则的面积是( )
A. B. C. D.
6.战国时期的铜镞是一种兵器，其由两部分组成，前段是高为、底面边长为的正三棱锥，后段是高为的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积为( )
A. B.
C. D.
7.如图，为的直观图，且为面积为，则中最长的边长为( )
A. B. C. D.
8.下列正确的是( )
A. 过球面是上两点与球心有且只有一个平面
B. 用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台
C. 底面是正多边形，侧棱与底面所成的角都相等的棱锥是正棱锥
D. 有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
9.底面是菱形的棱柱的侧棱垂直于底面，且侧棱长为，底面菱形的对角线的长分别是和，则这个棱柱的侧面积是( )
A. B. C. D.
10.一个腰长为的等腰直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转，形成的几何体的体积为( )
A. B. C. D.
11.在正方体中，相互平行的面不会是( )
A. 前后侧面 B. 上下底面 C. 左右侧面 D. 相邻的侧面
12.在长方体中，，分别为棱，的中点，则在该长方体的个面所在的平面中，与平行的平面有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
13.下列说法不正确的有( )
A. 有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
B. 以直角三角形直角边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
C. 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线
D. 过圆锥顶点的截面中，轴截面面积最大
14.下面说法正确的是( )
A. 多面体至少有四个面
B. 棱柱所有的面都是平行四边形
C. 棱台的侧面都是梯形
D. 以等腰梯形的一条腰所在的直线为旋转轴旋转一周，形成的几何体是圆台
15.在三棱台中，底面，，，则( )
A. 三棱台的体积为
B. 平面
C. 直线与直线的夹角的余弦值为
D. 存在两个以该三棱台的顶点为顶点的三棱锥，且它们的外接球的表面积都为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
16.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则该圆锥的体积为__________
17.如图所示，的三条边长分别为，，，现将此三角形以边所在直线为轴旋转一周，则所得几何体的表面积为______．
18.如图所示，在棱长为的正方体中，点是的中点，动点在正方体表面上移动，若平面，则的轨迹长为______．
19.现有甲乙两个形状完全相同的四棱台容器如图所示，已知，，现按一定的速度匀速往甲容器里注水，当水的高度是四棱台高度的一半时用时分钟，如果按照相同的速度匀速往乙容器里注水，当水的高度是四棱台高度的一半时用时__________分钟．
四、解答题：本题共1小题，共12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.本小题分
如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，，，三棱锥的体积为．
求圆柱的表面积；
求异面直线与所成角的余弦值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查斜二测画法，属于基础题．
根据斜二测画法中 ，计算即可
【解答】
解：因为，，
所以菱形的面积为 ，
又 ，
所以四边形的面积为 ．
故选D．
2.【答案】
【解析】解：三棱柱的底面为三角形，故说法错误
一个棱柱至少为三棱柱，即有个顶点、条棱、个面，故说法正确
过圆锥侧面上除顶点外的一点只有一条母线，故说法错误
根据斜二测画法知三角形的直观图一定是三角形，故说法正确．
故选：．
3.【答案】
【解析】作过的圆台的轴截面，过作垂直于圆台的轴，垂足为，则，，所以所求问题等价于在以为圆心、为半径的圆上，除外最多还能放几个点，使以这些点及为圆心、为半径的圆彼此至多有一个公共点．如图，过作圆的切线，切点分别为，，连接，，设，则，因为，所以所以最多还能放入个点，满足上述要求．因此，除球，圆台内最多还能放入半径为的球个．故选B．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查斜二测画法，属于基础题．
利用斜二测画法的性质即可求解．
【解答】
解：由题意，直观图为平行四边形，相邻两边的长度分别为和，
故直观图的周长为
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了斜二测法画直观图，属于基础题．
根据平面图形的斜二测画法，得出为直角三角形，求出两直角边，计算三角形的面积．
【解答】
解：根据平面图形的斜二测画法知，
原为直角三角形，且两直角边分别为，，
的面积为．
故选D．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查简单组合体的体积，属于基础题．
由正三角形的面积求出底面内切圆的半径，由棱锥体积与圆柱体积和得铜镞的体积．
【解答】
解：铜镞由两部分组成，前段是高为、底面边长为的正三棱锥，
正三棱锥的底面正三角形边长为，
设正三角形内切圆半径为，
由等体积法得：，
解得，
其内切圆半径为，
由三棱锥体积与圆柱体积公式得此铜镞的体积约为：
．
7.【答案】
【解析】解：设，则，
解得，，
中，，，且，
．
中最长的边长为．
故选：．
求出，，从而在中，，，且，由此能求出中最长的边长．
本题考查三角形中最长边长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面图形直观图的性质的合理运用．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查棱锥的结构特征和分类，棱台的结构特征和分类，圆台的结构特征辨析，属于基础题．
根据棱台、圆台的定义判断；根据正棱锥的定义判断；根据正棱锥的定义判断．
【解答】
解：对于当球面上的两点恰好是直径的两个端点时这三点共线，此时过这三点有无数个平面，故 A错误
对于用一个平行于底面的平面截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，故B错误
对于根据正棱锥的定义：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心．
所以底面是正多边形且侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥，符合定义，是正棱锥故C正确．
对于两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体中，侧棱延长不一定会相交，所以不一定是棱台，故 D错误
故本题选C．
9.【答案】
【解析】设直四棱柱中，对角线，，四边形为菱形，可得，互相垂直平分，所以，即菱形的边长等于因此，这个棱柱的侧面积故选D．
10.【答案】
【解析】将一个腰长为的直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转，所得几何体为一个圆锥的由题意得圆锥的底面半径为，高为，所以形成的几何体的体积为故选B．
11.【答案】
【解析】由正方体的模型知，前后面、上下面、左右面都相互平行，故选D．
12.【答案】
【解析】在长方体中，，分别为棱，的中点，，，，由直线与平面平行的判定定理得平面，平面，平面，则满足条件的平面有个故选C．
13.【答案】
【解析】解：斜四棱柱也可能有两个侧面是矩形，故A错误
以直角三角形直角边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，故B正确；
只有当这两点的连线平行于轴时才是母线，故C错误
过圆锥顶点的截面中，是否是轴截面面积最大，取决于圆锥的轴截面顶角是否小于，故D错误．
故选ACD．
14.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，多面体至少有四个面，A正确；
对于，棱柱的上底面和下底面不一定是平行四边形，B错误；
对于，棱台的侧面都是梯形，C正确；
对于，以等腰梯形的对称轴所在的直线为旋转轴旋转一周，形成的几何体是圆台，D错误．
故选：．
根据题意，由多面体的定义分析，由棱柱的定义分析，由棱台的定义分析，由圆台的定义分析，综合可得答案．
本题考查棱柱、棱台、圆台的结构特征，注意多面体的定义，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：设棱，，延长交于一点，如图所示：
，点，，分别为三棱锥的棱，，的中点，
，三棱台的体积为，选项A正确；
底面，，又，且，平面，，
，点为棱的中点，，且，，平面，
平面，选项B正确；
取的中点，则，底面，平面，，侧面．
连接，则，，为直线与直线所成的角，
在中，，
，选项C错误；
在三棱锥中，由上可知，，，取的中点，则，
为三棱锥外接球的球心，三棱锥外接球的表面积为．
在三棱锥中，连接，则平面，知为外接圆的圆心，
由球的性质可知，三棱锥的外接球的球心在直线上，
设外接球的半径为，则，解得，
三棱锥的外接球的表面积为，选项D正确．
故选：．
根据棱台的体积判断，应用线面垂直的判定定理判定，应用异面直线余弦计算判定，应用外接球表面积判断．
本题考查了空间几何体的结构特征与应用问题，是中档题．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆锥的体积，属于基础题．
根据展开图与圆锥的对应关系列方程解出圆锥的底面半径和母线长，求出圆锥的高，得出体积．
【解答】
解：由题意可知圆锥的母线长，它的侧面展开图为半圆，半圆的弧长为，即圆锥的底面周长为，
设圆锥的底面半径是，高为，
则得到，解得：，
这个圆锥的底面半径是，所以圆锥的高．
所以圆锥的体积为：．
故答案为：．
17.【答案】
【解析】解：，，
点到的距离，
以边所在直线为轴旋转一周，得到的几何体为两个圆锥的组合体，
该圆锥底面周长为，
表面积为．
故答案为：．
18.【答案】
【解析】解：在棱长为的正方体中，取，的中点，，连接，，，，，
由为的中点，得，，四边形为平行四边形，
则，，又，，则四边形是平行四边形，
，，于是，，四边形是平行四边形，
而平面，平面，
则平面，
同理平面，
又，，平面，
所以平面平面，
又平面，在正方体表面上移动，
于是点的轨迹是平行四边形与正方体的交线，
，由题意可得，
所以的轨迹长为．
故答案为：．
根据给定条件，作出过点与平面平行的正方体截面，再求出截面周长即可．
本题考查空间中点的轨迹的长度的求法，属于中档题．
19.【答案】
【解析】【分析】
本题考查棱台体积的求法，正确理解题意是关键，是基础题．
不妨以正四棱台为例，设正四棱台的高为，由题意求得水流速度，再求出乙容器中水的容积，则答案可求．
【解答】
解：不妨以正四棱台为例，设正四棱台的高为，
，，正四棱台的中截面是边长为的正方形，
当水的高度是四棱台高度的一半时，甲容器内水的容积为，
设水流速度为，则，，
当乙容器中水的高度是四棱台高度的一半时，水的容积为，
当水的高度是四棱台高度的一半时用时为分钟．
故答案为：．
20.【答案】解：在中，，，，
又在中，，，，
而点在圆柱的底面圆上，，
于是由，
得，，
圆柱的表面积．
取中点，连接，，则，
得或它的补角为异面直线与所成的角．
又，，得，，
由余弦定理得，
异面直线与所成的角的余弦值为．
【解析】本题考查圆柱的结构特征，考查三棱锥的体积与圆柱的表面积的计算，考查两异面直线所成的角的求法，属于中档题．
由题意三棱锥的体积为，，，得圆柱高，再由圆柱的表面积的概念与计算公式即可求出圆柱的表面积，
取中点，连接，，可证得或它的补角为异面直线与所成的角，在三角形中求异面直线所成的角即可．

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