资源简介

4.2《平面》课堂训练
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知不同平面，，，不同直线和，则下列命题中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
2.设，，是直线，、是平面，下列命题正确的是( )
A. ，，共面
B. ，，共面
C. ，
D. ，，、、是不同的三点，，共面
3.下列正确的是( )
A. 过球面是上两点与球心有且只有一个平面
B. 用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台
C. 底面是正多边形，侧棱与底面所成的角都相等的棱锥是正棱锥
D. 有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
4.下列说法不正确的是( )
A. 三角形一定是平面图形
B. 若四边形的两条对角线相交于一点，则该四边形是平面图形
C. 圆心和圆上两点可确定一个平面
D. 三条平行线最多可确定三个平面
5.下列四个正方体图形中，，为正方体的两个顶点，，，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是．
A. B. C. D.
6.如图，用小刀切一块长方体橡皮的一个角，在棱、、上的截点分别是、、，则截面( )
A. 一定是等边三角形 B. 一定是钝角三角形 C. 一定是锐角三角形 D. 一定是直角三角形
7.如图，在四面体中，，，，，分别是，，，，的中点，则下列说法中不正确的是( )
A. ，，，四点共面 B.
C. ∽ D. 四边形为梯形
8.如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，平面平面，则下列结论正确的有( )
A. 必过点 B. 不过点
C. 与四边形无交点 D. 无法确定是否过点
9.下列叙述中，正确的是( )
A. 因为，，所以
B. 因为，，所以
C. 因为，，，所以
D. 因为，，所以
10.下列说法正确的是( )
A. 任意三点确定一个平面
B. 梯形一定是平面图形
C. 平面和有不同在一条直线上的三个交点
D. 一条直线和一个点确定一个平面
11.下列说法正确的是( )
A. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
B. 过空间内不同的三点，有且只有一个平面
C. 棱锥的所有侧面都是三角形
D. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
12.已知直线平面，直线平面，下列说法正确的有( )
若，则若，则
若，则若，则
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
13.下列四个命题中正确的是( )
A. 若两条直线互相平行，则这两条直线确定一个平面
B. 若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线
C. 若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线
D. 两条异面直线可能垂直于同一条直线
14.下列命题正确的有( )
A. 如果一条直线上有两个点在 一个平面内，那么这条直线一定在这个平面内
B. 过直线外一点，只能作一个平面与这条直线平行
C. 如果一条直线与平面内的无数条直线平行，则该直线与平面平行
D. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
15.多选下列命题中正确的是( )
A. 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内
B. 过空间中任意三点有且仅有一个平面
C. 若空间两条直线不相交，则这两条直线平行
D. 若直线平面，直线平面，则
三、填空题：本题共1小题，每小题5分，共5分。
16.下列情景可能发生或说法正确的是 填上所有符合题意的序号
赵老师在数学课上证明了“不在同一直线上的三点确定一个平面”
许老师在数学课上证明了“两条平行直线确定一个平面”
命题一定有逆命题，定理不一定有逆定理，所以定理不一定是命题
两平面向量夹角的范围记做集合，线面角的范围记做集合，二面角的平面角的范围记做集合，则A.
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，，，，分别是空间四边形各边上的点，且，．
求证：，，，四点共面．
，满足什么条件时，四边形是平行四边形？
18.本小题分
已知长方体中，、分别为和的中点，求证：
，，，四点共面；
、、三线共点．
19.本小题分
如图，已知正方体，，分别是，的中点，且，．
求证：，，，四点共面
求四边形的面积．
20.本小题分
在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且．
求证：直线，，相交于一点．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了空间线线、线面、面面的位置关系，属于基础题．
由空间线线、线面、面面位置关系，逐项判断即可．
【解答】解：对于，若，，根据线面垂直的性质垂直同一直线的平面平行，则，故A正确；
对于，若，，则或，相交或异面，错误，
对于， ，，则或，故 C错误；
对于，若，，则 或与相交均可能，故错误．
2.【答案】
【解析】解：平行六面体的同一顶点的三条棱两两相交，但三条棱不共面，故A错误；
三棱柱中，三条侧棱分别平行，但不共面，故B错误；
两平面相交，平面内的点不一定在交线上，故C错误；
三条直线两两相交，但不共点，则三条直线确定一个平面，故D正确．
故选：．
举例说明ABC错误；由不共线的三点确定一个平面判断．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查棱锥的结构特征和分类，棱台的结构特征和分类，圆台的结构特征辨析，属于基础题．
根据棱台、圆台的定义判断；根据正棱锥的定义判断；根据正棱锥的定义判断．
【解答】
解：对于当球面上的两点恰好是直径的两个端点时这三点共线，此时过这三点有无数个平面，故 A错误
对于用一个平行于底面的平面截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，故B错误
对于根据正棱锥的定义：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心．
所以底面是正多边形且侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥，符合定义，是正棱锥故C正确．
对于两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体中，侧棱延长不一定会相交，所以不一定是棱台，故 D错误
故本题选C．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了确定平面的公理及其推理，属于基础题．
利用确定平面的公理及其推理即可判断出．
【解答】
解：，由不共线三点确定一个平面，可知：三角形一定是平面图形，正确；
，由相交直线确定一个平面，可知：若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；
，圆心和圆上两点可确定一个平面，不正确，因为当圆心和圆上两点在同一条直线上即直径时，此时可有无数个平面经过此三点，因此不正确；
，三条平行线最多可确定三个平面，正确，例如，三棱柱的三条侧棱满足条件．
综上可知：不正确的在
故选C．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查线面平行的判定，主要考虑定义、判定定理两种方法，同时运用面面平行的性质解决问题．
对于，可以构造面面平行，由面面平行的性质可得；对于，考虑线面平行的判定及定义；
对于，可以用线面平行的定义及判定定理判断；对于，用线面平行的定义及判定定理判断即可．
【解答】解：对图，构造所在的平面，即对角面，可以证明这个对角面与平面平行，由面面平行的性质可得平面．
对图，通过证明，可以得到平面；
对于、无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行；
故选C．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角形形状的判断，属于基础题．
由已知得，，，从而截面是锐角三角形．
【解答】
解：用小刀切一块长方体橡皮的一个角，
在棱、、上的截点分别是、、，
则，
同理，，
截面是锐角三角形．
故选C．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是关于平行四边形的判定及四点共面的判定，中位线定理及等角定理的应用，考查学生的逻辑推理能力和空间想象能力，属于中档题．
根据题意及中位线定理和等角定理可以一一判断．
【解答】
解：由中位线定理，易知，，，．
对于，由公理易得，所以，，四点共面，故A正确；
对于，根据等角定理，得，故B正确；
对于，由等角定理，知，，所以，故C正确；
由三角形的中位线定理及公理知，
所以，所以四边形为平行四边形，故D不正确．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：如图，连接，，
在正方体中，
取的中点，连接，则，，
所以四边形是平行四边形，
平面，平面，
所以，
故A项正确．
9.【答案】
【解析】解：因为，，所以，故A错误；
由，，推不出，故B错误；
因为，，，所以，故C错误；
因为，，所以且，故D正确．
故选：．
因为，，所以；因为，，所以或；因为，，，所以；因为，，所以且．
本题考查命题的真假判断，考查平面的基本性质，是基础题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面的基本性质以及应用，属于基础题．
利用平面的基本性质，结合题目特点逐项判断即可判断得结果．
【解答】
解：任意不共线三点确定一个平面，故A不正确；
B.梯形一定是平面图形，故B正确；
C.平面和没有不同在一条直线上的三个交点，故C不正确；
D.一条直线和直线外一个点确定一个平面，故D不正确
故选B．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查简单几何体的结构特征，属于基础题．
根据定义逐项分析即可．
【解答】
解：对：根据棱柱的定义知，有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，故错误，反例如图：
对：若这三点共线，则可以确定无数个平面，故错误；
对：棱锥的底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，故正确；
对：只有用平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故错误，
故选：．
12.【答案】
【解析】解：直线平面，，
直线平面，
直线平面，
故正确；
直线平面，直线平面，，
直线，平行、相交或异面．故不成立；
直线平面，
直线平面，，
故成立；
直线平面，直线平面，，
或与相交．故不成立．
故选：．
由直线平面，，知直线平面，从而得到故正确；
由直线平面，直线平面，，知直线，平行、相交或异面．故不成立；
由直线平面，直线平面，，知故成立；
由直线平面，直线平面，，知或与相交．故不成立．
本题考查真假命题的判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线与平面的位置关系的合理运用．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，
对于，由平面的基本性质，若两条直线互相平行，则这两条直线确定一个平面，A正确；
对于，假设四点中有三点共线，由平面的基本性质，这四点一定共面，
而已知四点不共面，两者相矛盾，
故这四点中任意三点都不共线，B正确；
对于，两条直线没有公共点，则这两条直线是平行或异面，C错误；
对于，在如图所示的正方体中，
异面直线和，都垂直于直线，D正确．
故选：．
由平面的基本性质分析、，由直线与直线的位置关系分析、，综合可得答案．
本题考查空间直线与直线的位置关系，涉及平面的基本性质，属于基础题．
14.【答案】
【解析】
本题考查空间中线线、线面的位置关系及命题的真假判断，考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题．
根据空间中线线、线面的位置关系，平面的性质以及线面垂直的性质，逐个判断即可．
15.【答案】
【解析】【分析】
【解答】
解：对于，可设与相交，这两条直线确定的平面为，若与相交，交点设为，则交点在平面内，同理，与的交点设为，则点也在平面内，所以平面，即平面，故A正确；
对于，若空间中三点共线，则过这三个点有无数个平面，故B错误；
对于，若空间两条直线不相交，则这两条直线平行或异面，故C错误；
对于，若直线平面，则与平面内的任意直线都垂直，又因为直线平面，所以，故D正确．
故选AD．
16.【答案】
【解析】【分析】
略
【解答】
解：对于，由公理，可知不在同一直线上的三点确定一个平面，不需要证明的，故错误
对于，由平面的性质推论可知，两条平行直线确定一个平面，许老师可证明这个结论，故正确
对于，命题可真可假，而定理必须为真命题时才可能称为定理，故定理一定是命题，错误
对于，，，，则，故错误
故答案为：．
17.【答案】证明：因为，
所以．
又，
所以．
所以．
所以，，，四点共面．
解：当，且时，四边形为平行四边形．
因为，
所以．
同理可得，由，得．
故当时，四边形为平行四边形．

【解析】本题考查了平面的基本性质及应用，空间中的共面问题，考查了空间想象能力，属于基础题．
由已知条件可以证明出，所以，，，四点共面；
根据题意可得，，故当时，四边形为平行四边形．
18.【答案】证明：如图，连接，
因为、分别为和的中点，
所以，
因为在长方体中，
易知，，
所以四边形为平行四边形，
所以，所以，
所以与确定一个平面，
所以，，，四点共面；
因为，且，
所以直线与必相交，
设，
因为，平面，
所以平面，
又因为，平面，
所以平面，
所以是平面与平面的公共点，
又因为平面平面，所以，
所以、、三线共点．
【解析】本题考查四点共面的证明，三条直线交于一点的证明，考查空间中线线、线面、面面位置关系等基础知识，属于基础题．
连接，推出四边形为平行四边形，由此能证明，，，四点共面；
推导出直线与必相交，设，推导出是平面与平面的公共点，由此能证明、、三线共点．
19.【答案】解：证明：如图，连接，交于点．
，且，
四边形是平行四边形，
．
又，分别是，的中点，
，
，
，，，四点共面；
连接，由分析知四边形是等腰梯形，为高．
设正方体的棱长为，则，，，
，
四边形的面积
．

【解析】本题考查正方体的结构特征，平面的基本性质和平行公理，属基础题．
连接，交于点利用平行四边形的判定与性质证得，利用三角形的中位线定理证得，利用平行公理得到，利用平面的基本性质得到最后的的结论；
连接，由分析知四边形是等腰梯形，为高进而计算面积即可．
20.【答案】证明 如图所示，连接，．
，分别是，的中点，
，且．
，
，且．
，且．
与相交，设交点为．
平面，平面．
同理平面．
又平面平面，
．
直线，，相交于一点．

展开更多......

收起↑