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4.3《直线与直线、直线与平面的位置关系》课堂训练
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在四棱锥中，底面为平行四边形，为线段上靠近的三等分点，为线段上一点，当平面时，( )
A. B. C. D.
2.，是空间两条直线，，是空间两个平面，则( )
A. ，，，则 B. ，，，则
C. ，，，则 D. ，，，则
3.已知各棱长都为的 平行六面体中，棱、、两两的夹角均为，则异面直线与所成角为( )
A. B. C. D.
4.设是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，则下列说法对的是( )
A. 若，，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
5.已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A. 若，，且，，则
B. 若，，且，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
6.已知直线平面，直线平面，下列结论一定正确的是( )
A. B. C. 与是异面直线 D. 与没有公共点
7.已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法中正确的是( )
A. 若，，则直线
B. 若，，，则与是异面直线
C. 若，，则
D. 若，，则，一定相交
8.下列命题中，正确的是( )
A. 若直线与平面平行，则平行于内的任何直线
B. 若两直线，都与平面平行，则
C. 若直线平行于平面，直线在平面内，则
D. 若直线与平面平行，则平面内有无数条直线与平行
9.已知，为不同的直线，，为不同的平面，则下列命题正确的( )
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
10.已知，表示两个不同的平面，，，表示三条不同的直线，( )
A. 若 ，，则
B. 若，，，，则
C. 若，， ， ，则
D. 若， ，，则
11.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，，则
C. 若，，则 D. 若，，，则
12.在四面体中，，分别为棱，上的点，且，，分别为棱，的中点，则( )
A. 平面且四边形为矩形
B. 平面且四边形为梯形
C. 平面且四边形为菱形
D. 平面且四边形为平行四边形
二、解答题：本题共8小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，分别为的中点．
求证：平面；若，求证：平面平面．
14.本小题分
在中，，，，分别为边、上的点，且，．
用向量方法求证：；
求．
15.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，是平面内以为直径的半圆上的两点，且，．
证明：平面；
证明：平面平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
16.本小题分
在四棱锥中，底面，，，，为中点，为棱上任意一点．
求证：平面
求证：．
17.本小题分
如图，已知矩形，过点作平面，再过点作交于点，过点作交于点．
求证：；
若平面交于点，求证：平面．
18.本小题分
已知正方体的棱长为，，分别为，的中点，求异面直线与所成角．
19.本小题分
四棱锥的底面是边长为的正方形，是的中点，
证明：平面；
若在底面上的投影为底面中心，求直线到平面的距离．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，点在棱上不与端点重合，，分别是，的中点．
证明：平面．
记平面平面，证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间线面平行的性质，属于基础题．
根据线面平行得到线线平行，利用线段成比例即可得出结果．
【解答】
解：如图所示，连接交于，连接，
因为平面，平面，平面平面，
所以，所以．
又，为线段上靠近的三等分点，
所以，所以．
故选D．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查空间直线和平面，以及平面和平面平行或垂直的判定，利用相应的判定定理是解决本题的关键，属于基础题．
根据空间直线和平面平行或垂直的判定定理以及性质定理分别进行判断即可．
【解答】
解：若，，，
则或与相交，故A错误；
B.若，，，
则，与相交都有可能，故B错误；
C.若，，，
则，与相交，异面或平行，故C错误；
D.若，，则，
又，所以成立，故D正确．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查异面直线所成角，属于基础题．
根据给定条件，结合平行六面体的结构特征，利用几何法求出异面直线与所成角．
【解答】
解：在平行六面体中，连接，
，
则四边形是平行四边形，则，于是是异面直线与所成角或其补角，
由，棱两两的夹角均为，
得都是正三角形，即，则，
所以异面直线与所成角为．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：对于中，由，，，，只有直线与相交时，可得，所以不正确；
对于中，由，，，则与平行、相交或异面，所以B错误
对于中，由，，，则，所以C错误
对于中，由，，可得，又因为，所以，所以D正确．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间中线面平行的判定定理、面面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理等知识，属于基础题．
直接利用相关的判定定理即可判断．
【解答】
解：已知为三条不同的直线，为两个不同的平面
对于，由线面垂直的判定定理可知，缺少条件，两条直线相交，故A错误；
对于，由面面平行的判定定理可知，缺少条件，两条直线相交，故B错误；
对于，由线面平行的判定定理可知，缺少条件，故C错误；
对于，由面面垂直的判定定理可知，，故D正确．
故选D．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间直线与直线的位置关系，属于基础题．
根据线面平行的性质即可得到答案．
【解答】
解：因为直线平面，直线平面，
所以或与是异面直线，故与没有公共点．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查命题真假的判断，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用，属于基础题．
根据空间中线线、线面、面面间的位置关系逐项判断即可．
【解答】
解：若，，或，故A错误；
若，，，则与异面或者平行，故B错误；
若，，根据面面平行性质定理可知，故C正确；
若，，则可能相交，也有可能平行，故D错误．
故选C．
8.【答案】
【解析】解：若直线与平面平行，则与于内的任何直线平行或异面，所以选项错误；
若两直线，都与平面平行，则与平行或相交或异面，所以选项错误；
若直线平行于平面，直线在平面内，则与平行或异面，所以选项错误；
若直线与平面平行，则平面内有无数条直线与平行，所以选项正确．
故选：．
根据空间中各要素的位置关系，逐一判断即可．
本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．
9.【答案】
【解析】解：若，，，则，平行或异面，所以选项错误；
若，，，则，平行，或异面，或相交，所以选项错误；
若，，，则，所以选项正确；
若，，，则，平行或异面、或相交，所以选项错误．
故选：．
由空间线面位置关系逐项判断即可．
本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面位置关系的判定，属于基础题．
根据面面垂直的性质定理以及线面平行的判定定理可依次判断各个选项的对错．
【解答】
解：选项A：若 ，则 或 ，故A错误；
选项B：只有当 相交时， ，故B错误；
选项C：只有当 相交时， ，故C错误；
选项D：若 ，则 ，又 ，所以 ，故D正确．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查线线、线面、面面的位置关系，属基础题．
根据直线与平面的位置关系，结合条件可得或，判定；根据两平行平面内的两条直线的位置关系可得或与异面，故判定；根据两直线平行，若一条直线垂直平面则另一条直线也垂直该平面，可判定；根据两垂直平面内的直线可以平行、相交或异面，可判定．
【解答】解：根据，，可得或，故A错误；
若，，，可得或与异面，故B错误；
若，，则，则C正确；
若，，，则与可以平行，可以垂直，也可以异面或相交，故D错误．
12.【答案】
【解析】因为，所以，且，又平面，平面，所以平面因为，分别为棱，的中点，所以，且，则，，所以四边形为梯形，故选 B．
13.【答案】证明：连接，
由于四边形为矩形，
则必过点．
又点是的中点，
则，
面，面，
平面．
平面，
平面．
平面，．
平面
平面．
平面，平面平面．

【解析】本题考查线面平行，面面垂直的判定，属基础题．
连接，由于四边形为矩形，则必过点由点是的中点，知，由此能够证明平面．
先证明由平面，得平面平面．
14.【答案】证明见解析；
．
【解析】证明：在中，，分别为边、上的点，
因为，则为的中点，
所以根据平面向量的加法法则可得，
又因为，
所以根据平面向量的减法法则可得，
因为，
所以根据平面向量垂直的向量关系可得，
又，
所以，
根据平面向量垂直的向量关系可得，得证；
解：在中，，，
则，
，
由勾股定理可得，
根据两向量的夹角公式可得．
要证，只需证；
由向量数量积的变形公式即可求得答案．
本题考查了平面向量数量积公式和两向量的夹角公式，属于中档题．
15.【答案】证明见解析；
证明见解析；
．
【解析】证明：因为平面，平面，
所以．
因为是以为直径的半圆上的一点，
所以，
因为，平面，，
所以平面．
证明：因为平面，由得平面，
所以平面平面．
解：以为坐标原点，垂直于平面的方向为轴，的方向分别为轴、轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
故．
设平面的法向量为，
则，即，
令，得，
可得，，，
所以，．
设直线与平面所成的角为，
所以，．
利用线面垂直的判定定理即可得证；
利用面面垂直的判定定理即可得证；
求平面的法向量为，利用向量的夹角公式即可求解．
本题考查用空间向量的方法线面所成的角的正弦值，线面垂直的判定定理的应用及面面垂直的判定定理的应用．
16.【答案】解：取中点，连接，则是的中位线，得，且．
因为，且，所以，且，
因此，四边形是平行四边形，得．
又因为平面，平面，所以平面．
不妨设，由，，
在直角梯形中，求得，
因为，所以，
因为底面，底面，所以，
又，，平面，
所以平面，又因为平面，所以．
【解析】本题主要考查了线面平行的判定以及线面垂直的判定，属于基础题．
利用四边形是平行四边形，得，即可证得；
证得，是解题的关键．
17.【答案】证明过程见详解；
证明过程见详解．
【解析】证明：因为平面，平面，所以，
又因为，，
所以平面，
而平面，所以，
因为，，
所以平面，
因为平面，可得，
因为，，
所以平面，
因为平面，
所以；
因为平面，平面，所以，，
且，所以平面，
平面，
所以，
由可得平面，平面，
所以，又因为，，平面，
所以平面．
由线面垂直的性质可得，进而证得，由题意可证得平面，再证得，再由题意可证得平面，再证得结论；
由线面垂直的性质可得，再由可证得，再证得结论．
本题考查线面垂直的判定定理的应用及线面垂直的性质定理的应用，属于中档题．
18.【答案】解：取中点，连接，，，
因为是中点，所以且，
所以四边形为平行四边形，故A，
所以异面直线与所成角即为直线与所成角，
由题意知，，
故在 中，由余弦定理得，
所以异面直线与所成角为．
【解析】取中点，可证明，从而异面直线与所成角即为直线与所成角，再通过余弦定理求解即可．
本题考查异面直线所成的角的大小的求法，属于中档题．
19.【答案】证明见解析；
．
【解析】证明：连接交于点，连接，
因为四边形是正方形，所以是的中点，
因为是的中点，所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
解：因为在底面上的投影为底面中心，所以平面，
因为平面，所以，
由知，平面，
所以直线到平面的距离等于点到平面的距离，
因为为正方形，所以，
因为平面，平面，，
所以平面，
所以点到平面的距离即线段的长度，
在正方形中，，
所以，所以直线到平面的距离为．
连接交于点，连接，由中位线的性质得到，根据线面平行的判定定理即可得证；
由题意得到直线到平面的距离等于点到平面的距离，根据线面垂直的判定定理得到平面，则点到平面的距离即线段的长度，在正方形中利用的长度即可求解．
本题考查了线面平行的证明和点到平面的距离计算，属于中档题．
20.【答案】证明见解析；
证明见解析．
【解析】证明：连接，
因为底面是正方形，所以是的中点，
又因为是的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
证明：因为，分别是，的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
若平面平面，
又平面，
所以．
利用中位线定理及线面平行的判定定理即可证明；
由得平面，由线面平行的性质定理即可证明．
本题考查线面平行的判定定理的应用及线面平行的性质定理的应用，属于中档题．

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