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4.4《平面与平面的位置关系》课堂训练
一、单选题：本题共11小题，每小题5分，共55分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若为异面直线，且，，，则与，中至少一条相交
2.已知，，那么与的位置关系是( )
A. 平行 B. 相交 C. 在内 D. 垂直
3.设，是不同的直线，是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是( )
A. 若 B. 若
C. 若 D. 若
4.已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列说法正确的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
5.如图所示，在四棱锥中，底面，且底面为菱形，是上的一动点，若要使得平面平面，则应补充的一个条件可以是 ．
A. B.
C. D. 为棱的中点
6.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列是真命题的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，，，则
7.，是空间两条直线，，是空间两个平面，则( )
A. ，，，则 B. ，，，则
C. ，，，则 D. ，，，则
8.已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论中正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，且，，则
D. 若，，，则
9.若，为空间中两条不同的直线，，为空间两个不同的平面，则下列结论不正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，则
10.把正方形沿对角线折成直二面角，则是( )
A. 正三角形 B. 等腰直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定
11.已知，为异面直线，平面，平面，直线满足，，，，则( )
A. 且 B. 且
C. 与相交，且交线垂直于 D. 与相交，且交线平行于
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
12.已知直线和平面，且，则下列结论有可能错误的是( )
A. 过存在一个平面与平行 B. 过存在一个平面与垂直
C. 在内存在一条直线与平行 D. 在内存在一条直线与相交
13.在空间中，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
14.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列条件是的充分条件的是( )
A. 且 B. 且
C. D.
15.已知直线，不同的平面，下列命题中正确的是( )
A. 若，且，则 B. 若，且，则
C. 若，且，则 D. 若，且，则
三、填空题：本题共1小题，每小题5分，共5分。
16.如图所示，在正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，是的中点，点在四边形上及其内部运动，则满足_____时，有平面．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在四棱锥中，，，．
求证：平面平面
若，，分别为，的中点，求证：平面平面．
18.本小题分
如图，在正方体中，，，分别是，，的中点．
求证：平面平面
求异面直线与所成的角．
19.本小题分
如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，，分别为，的中点．
求证：平面平面
求证：平面
求直线和平面所成角的正弦．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，交于点，点是棱上的一点，且平面．
求证：点是的中点；
在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，并写出的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：对于中，若，，则直线与可能相交、平行或异面，所以A错误；
对于中，若，，则平面与平面可能相交，所以B错误；
对于中，若，，，则或，所以C错误；
对于中，若为异面直线，且，，，
假设直线与直线都不相交，则，所以，
这与为异面直线矛盾，所以与中至少一条相交，所以D正确．
故选：．
2.【答案】
【解析】平面与平面平行，则两个平面没有公共点，所以在一个平面内的直线和另一个平面没有公共点，所以这条直线与另一个平面平行故选A．
3.【答案】
【解析】解：选项A：若且，则或，故A错误；
选项B：若且，则内存在直线，故，由面面垂直判定定理得，故B正确；
选项C：若且，与可能相交如平行于交线，故C错误；
选项D：若且、，与平行或异面，故D错误．
故选B．
4.【答案】
【解析】解：若，，，则或，故A错误
当，，，，若，不相交，则推不出，故B错误
若，，，则，故C正确
若，，，则，故D错误．
故选C．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查面面垂直的条件的判断，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用，属于基础题．
由已知得，，从而平面，进而，由此得到当或时，即有平面，从而得出平面平面．
【解答】
解：在四棱锥中，底面，且底面为菱形，是上的一动点，
，，
，平面，．
当或时，由或，即有平面．
而平面，
平面平面．
故选A．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间中直线与直线的位置关系，空间中平面与平面的位置关系，属于基础题．
利用空间中线、面平行、垂直关系逐个判断即可．
【解答】
解：对于，若，，则与平行或相交或异面，故A错误；
对于，若，，，则与平行或相交，故B错误；
对于，若，，则，故C正确；
对于，若，，，，必须要有，相交才能得到，
当条件不具备时，则或与相交，故D错误．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查空间直线和平面，以及平面和平面平行或垂直的判定，利用相应的判定定理是解决本题的关键，属于基础题．
根据空间直线和平面平行或垂直的判定定理以及性质定理分别进行判断即可．
【解答】
解：若，，，
则或与相交，故A错误；
B.若，，，
则，与相交都有可能，故B错误；
C.若，，，
则，与相交，异面或平行，故C错误；
D.若，，则，
又，所以成立，故D正确．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间中直线、平面之间的位置关系，属于基础题．
可举出反例；选项，根据垂直和平行的性质得到B正确．
【解答】
解：选项，若，，则或异面，故A错误；
选项，若，，且，为两条不同的直线，则，故 B正确；
选项，若，则不能得到，故C错误；
选项，如图，满足，，，，
但不能推出，故D错误．
故选：
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了空间中的线面关系，考查分析与逻辑推理能力，属于基础题．
利用线面关系的判定定理及性质，逐一对选项进行分析判断求解即可．
【解答】
解：若，，则，故A正确
若，，则，B正确
若，，则，则，C正确
，，则或与异面或与相交，错．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二面角应用，属于基础题．
设正方形的边长为，由题知折叠后为二面角的平面角，，求得，即可解得．
【解答】
解：如图，设正方形的边长为，与交于，
则折成直二面角后如图，，为二面角的平面角，，
，又，
则是等边三角形．
故选A．
11.【答案】
【解析】解：若，又平面，则平面，
又平面，，与与异面矛盾，故A错误
若，平面，，与矛盾，故B错误
若与相交，设交线为，过上一点作直线，
设与确定的平面为，，，，，
又平面，平面，，，，，则，
故选D．
12.【答案】
【解析】解：当与相交时，无法作一个平面与平行，A错误．
在，与相交的两种情况下，都可以过作一个平面与垂直，B正确．
包含“”和“与相交”两种情况当与相交时，在内无法作一条直线与平行，C错误．
当时，在内不存在一条直线与相交，D错误．
故选ACD．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间中的线、面位置关系，属于基础题．
利用空间中线、面平行、垂直关系逐个判断即可．
【解答】
解：对于、若，，则或，故A错误；
对于、若，，则或，又，则，故B正确；
对于、若，，，则 与 位置不确定，故C错误；
对于、若，，，由线面平行的性质可知，故D正确
14.【答案】
【解析】解：选项，由线面平行的判定定理知选项A中的条件符合题意；
选项，由 且 ，可得 或 ，所以选项B中的条件不符合题意；
选项，由面面平行的性质知选项C中的条件符合题意；
选项，由 ，可得 或 ，所以选项D中的条件不符合题意．
故选：．
15.【答案】
【解析】解：，因为，，所以，
又，所以不同的平面满足，故A正确；
，若，且，则或两平面相交，
比如：正方体的底面和侧面中分别取直线，
且，但是底面和侧面并不平行，故B错误；
，若，且，则两平面相交或平行，
比如：正方体的上下两个底面中分别取直线，且，上底面与平行，
但是上底面与下底面并不垂直；故C错误；
，因为，，则，又，所以，故D正确．
故选AD．
16.【答案】在线段上
【解析】【分析】
本题考查空间几何体的位置关系，考查面面平行的性质，属于基础题．
根据平面平面，可知平面内任意一条直线都与平面平行，而点在四边形上及其内部运动，所以满足条件．
【解答】
解：连接，，，
，，分别为，，的中点，
，，
平面，平面，
平面．
同理，平面．
又，平面，平面，
平面平面．
故线段上任意点与相连，都有平面，
在线段上．
17.【答案】证明：因为，，所以．
又因为，，平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面．
延长交于，
因为，分别为，中点，所以，
又平面，平面，
所以平面．
因为，所以，
又为中点，所以，
注意到，所以，所以，
又因为，所以为中点，所以，
又因为平面，平面，
所以平面，
因为，平面，平面，
所以平面平面．
【解析】本题主要考查了面面垂直，以及面面平行的判定，属于基础题．
利用线面垂直的条件证得平面，再由面面垂直的判定定理可得；
延长交于，由题意证明平面和平面，再由面面平行的判定定理可得．
18.【答案】解：连接，，．
，，分别是，，的中点，
，，，
平面平面，
又，，，
平面平面，
平面平面．
连接，
，
为异面直线与所成的角．
为正三角形，
，
即异面直线与，所成的角为．

【解析】本题考查异面直线所成角的求法，考查面面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
由正方体，得到为平行四边形，由中点性质，得到，从而得到，得到平面，同理平面，证得结论；
连接，可以推导出，所以所成的角与与所成的角相等，因为是正三角形，即可得出异面直线与所成的角．
19.【答案】证明：Ⅰ在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，，分别为，的中点，
，，，，，
，，
设平面的法向量，
则，取，得，
平面的法向量为，
，
平面平面．
，，，
平面的法向量，
，
平面，
平面．
解：Ⅲ，，，，
平面的法向量，
设直线和平面所成角为，
则．
【解析】Ⅰ以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面平面．
求出平面的法向量，利用向量法能证明平面．
Ⅲ求出和平面的法向量，利用向量法能求出直线和平面所成角的正弦值．
本题考查平面与平面垂直的证明，考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求示，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
20.【答案】解：证明：因为四边形是平行四边形，则点是的中点，
因为平面，平面平面，平面，
所以，
所以，所以点是的中点，得证；
证明：存在点，使得平面平面，此时，证明如下：
因为，所以点为中点，
又因为点是的中点，所以，
又平面，平面，所以平面，
由知，同理可得，平面，
又，平面，所以平面平面，得证，
此时的值为．

【解析】详细解答和解析过程见【答案】

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