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4.5《简单几何体的表面积和体积》课堂训练
一、单选题：本题共14小题，每小题5分，共70分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知圆台上底面直径为，下底面直径为，母线长为，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
2.已知圆柱的底面半径是，高是，则该圆柱的体积是( )
A. B. C. D.
3.如图，某几何体是由正方体截去八个一样的四面体得到的若被截正方体的棱长为，则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
4.某施工队要给一个正四棱锥形的屋顶铺设油毡进行防水，已知该正四棱锥的高为，底面边长是，接缝处忽略不计，则需要油毡的面积为( )
A. B. C. D.
5.棱长为的正方体的表面积为( )
A. B. C. D.
6.在正三棱柱内有一个体积为的球若，，则的最大值是( )
A. B. C. D.
7.已知圆台的上、下底面直径长分别为，，侧面积为，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
8.某圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积是( )
A. B. C. D.
9.在梯形中，，，以所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的几何体的体积为( )
A. B. C. D.
10.在棱长为的正方体中，直线到平面的距离为( )
A. B. C. D.
11.已知一个圆锥的母线长为，其侧面积为，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
12.已知平行六面体的体积为，若将其截去三棱锥，则剩余部分几何体的体积为( )
A. B. C. D.
13.如图，棱长为的正方体中，则点到平面的距离是( )
A. B. C. D.
14.已知某圆锥的侧面积为，母线长为，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
15.若一个圆锥侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的体积为 ．
16.已知正四棱台，下底面边长为，侧面与下底面所成二面角的大小为，则该正四棱台的体积可能为 写出一个即可
17.如图，是正四面体棱上的两个三等分点，分别过作同时平行于的平面，将正四面体分成上中下三部分，其体积分别记为，则_____．
18.已知圆柱底面圆的周长为，母线长为，则该圆柱的体积为_______．
19.已知一个圆锥的高为，且轴截面为等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为 ．
20.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则该圆锥的体积为
三、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题分
如图，四边形是圆柱的横截面，，，以圆柱上底面为底面作高为的圆锥，、分别在、上，，．
求这个几何体的表面积和体积；
求二面角的余弦值．
22.本小题分
如图，这是某建筑大楼的直观图，它是由一个半球和一个圆柱组合而成的已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面过圆柱上下底面圆的圆心连线的平面是边长为的正方形．
求该几何体的表面积；
求该几何体的体积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：已知圆台上底面直径为，则上底面半径下底面直径为，则下底面半径．
圆台的母线长，圆台的高、母线与上下底面半径之差构成直角三角形，
根据勾股定理．
将，，代入可得：．
．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，圆柱的体积为．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，被截正方体的棱长为，
则正方体的体积，
截去四面体的体积之和，
故该几何体的体积．
故选：．
4.【答案】
【解析】设该正四棱锥的侧面三角形底边上的高为．该正四棱锥的高为，底面边长是，根据勾股定理得，该正四棱锥的侧面积为，即需要油毡的面积为故选B．
5.【答案】
【解析】所求表面积为．
6.【答案】
【解析】由题意知正三角形的边长为，其内切圆的半径，所以正三棱柱内的球的半径的最大值为，则的最大值为，故选 D．
7.【答案】
【解析】解：设圆台的母线长为，
又圆台的上、下底面直径长分别为，，侧面积为，
所以，解得，
圆台的轴截面为等腰梯形，其中上底长为，下底长为，腰长为，
如图所示：
作与，则为圆台的高，
且，
所以圆台的体积．
故选C．
8.【答案】
【解析】解：依题意得：圆锥的母线，
设底面半径为，则，解得，
则圆锥的表面积为．
故选：
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆台的体积计算公式，属于基础题
由已知可得为直角梯形的直角边，则绕旋转可得几何体为圆台，进而可求圆台体积．
【解答】
解：已知可得为直角梯形的直角边，则绕旋转可得几何体为圆台，
可知圆台上底面半径为，下底面半径，高，
所以体积，
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线到平面的距离，属于基础题．
由题意问题等价到平面的距离，结合等体积法求解距离即可．
【解答】解：如图：
因为，平面，平面，
因此平面，
故直线到平面的距离等于到平面的距离，
，
而，
故直线到平面的距离为．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆锥的结构特征，体积，表面积的计算，属于基础题．
求出底面半径和高，利用圆锥的体积公式即可求解．
【解答】
解：设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，
由侧面积侧 ，则，
则圆锥的体积为 ．
故选A．
12.【答案】
【解析】解：设平行六面体的底面的面积为，高为，
则，
又，
．
故选：．
13.【答案】
【解析】解：由题意得
，
设点到平面的距离为，
结合正方体的结构特征可得：是边长为的等边三角形，
所以，
则，
所以．
故选：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆锥的侧面积和体积，属于基础题．
求出底面半径，得高，由圆锥的体积公式即可求解．
【解答】
解：设底面半径为，高为，母线长为，则，
则，解得，
则，
则该圆锥的体积为
15.【答案】
【解析】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，则，解得，．
圆锥的高．
圆锥的体积．
故答案为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了正四棱台的体积，属于基础题；
正四棱台上底面边长的范围为，不妨取值为，利用体积公式求解即可；
【解答】
解：
如图，、、、分别为对应边的中点，正四棱台的截面为等腰梯形，其中，正四棱台侧面与下底面所成二面角的平面角为，
等腰梯形的上底的长度范围为，不妨取，
则高，
，
故该正四棱台的体积可能为．
17.【答案】
【解析】解：由题意知，，
令正四面体棱长，
上部分几何体可以看作一个直三棱柱两边分别截去一个四棱锥，
，，
所以，．
所以．
18.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆柱的体积，属基础题．
由底面圆周长求得半径，再根据圆柱体积公式求解即可．
【解答】
解：设圆柱的底面圆半径为，
由圆柱的底面圆周长为，可得，故，
又圆柱的母线长为，
故该圆柱的体积为，
故答案为．
19.【答案】
【解析】解：由条件圆锥的高为，轴截面是等腰直角三角形，
可知等腰直角三角形斜边的高为，
得母线长，底面圆的半径为，
则该圆锥的侧面积为．
故答案为： ．
20.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆锥的体积，属于基础题．
根据展开图与圆锥的对应关系列方程解出圆锥的底面半径和母线长，求出圆锥的高，得出体积．
【解答】
解：由题意可知圆锥的母线长，它的侧面展开图为半圆，半圆的弧长为，即圆锥的底面周长为，
设圆锥的底面半径是，高为，
则得到，解得：，
这个圆锥的底面半径是，所以圆锥的高．
所以圆锥的体积为：．
故答案为：．
21.【答案】， ．
【解析】解：由题意可知圆柱和圆锥的底面半径为，高均为，圆锥的母线长为，
几何体的表面积为：，
几何体的体积为：．
，为圆柱的轴，
，，两两垂直，
以，，为轴建立空间坐标系如图所示：
则，，，
，，
设平面的法向量为，则，
，令可得，
又平面，故为平面的一个法向量，
，
由图形可知二面角为锐二面角，
故二面角的余弦值为：．
根据圆柱、圆锥的表面积公式，体积公式计算即可；
建立空间坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小．
本题考查了简单几何体的表面积和体积计算，空间向量与二面角的计算，属于中档题．
22.【答案】解：由题意可知半球的半径，圆柱的底面圆半径，高，
由球的表面积公式可得半球的曲面面积，
由圆的面积公式可得圆柱底面圆的面积，
由圆柱的侧面积公式可得圆柱的侧面积，
故该几何体的表面积．
由球的体积公式可得半球的体积，
由圆柱的体积公式可得圆柱的体积，
故该几何体的体积．
【解析】分别求出各个面的面积即可求解；
分别求出半球和圆柱的体积即可求解．
本题考查几何体体积与表面积的计算，属于基础题．

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