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7.2相交线 练习
一、单选题
1．如图，直线，，交于点0，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法中，正确的有（ ）
①在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种；
②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④同角或等角的补角相等
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1
3．如图，直线、相交于点，．当时，的度数为( )
A． B． C． D．
4．如图，是锐角，点从点出发沿方向运动，连接．若，点到所在直线的距离为3，则的长度不可能为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
5．如图，已知，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，要把河中的水引到水池中，应在河岸处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这一做法蕴含的数学原理是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．经过一点有无数条直线
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
7．下列图形中，与互为对顶角的是（　 ）
A． B． C． D．
8．下列四幅图中，和是同位角的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，和是同位角的是（ ）
A． B．C． D．
10．如图，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，点A某小区位置，原自来水供水路线为，现进行改造，沿路线铺设管道，设计要求与主管道连接且，这样管道路线最短，工程造价最低，根据是（ ）
A．经过两点，有且仅有一条直线 B．经过一点，有无数条直线
C．垂线段最短 D．两点之间，线段最短
12．如图，的同位角是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，直线相交于点O，若，则的度数为 ．
14．如图，要把河中的水引到村庄，小凡先作，垂足为点，然后沿开挖水渠，就能使所开挖的水渠最短，其依据是 ．
15．如图，已知直线与直线相交于点，垂足为O．若，则的度数为 ．
16．如图，直线、相交于点，，垂足为．若，则 度．
三、解答题
17．如图，直线、相交于点，过点作，且平分．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
(3)若，则 （含α的式子）
18．如图，已知方格纸上有两条线段，根据下列要求完成以下操作：
(1)过点作的平行线；
(2)连接，取中点，过点作的平行线与交于点．
19．如图，试判断下列各对角的位置关系：与，与，与，与，与．
20．如图所示，码头、火车站分别位于，两点，直线和分别表示铁路与河流．
(1)从火车站到码头怎样走最近？画图并说明理由；
(2)从码头到铁路怎样走最近？画图并说明理由；
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A D A D C B A B
题号 11 12
答案 C A
1．B
【分析】本题考查了对顶角、几何图形中角的计算，熟练掌握相关定义是解题的关键．由对顶角相等得，再由角的和差关系得出的度数．
【详解】解：如图，
与是对顶角，，
，
，
故选：B．
2．C
【分析】本题主要考查了垂线的定义，平行线的性质，平面内，两直线的位置关系，补角的定义，平面内，两直线只有平行和相交两种位置关系，据此可判断①；根据垂线的定义可判断②；当该点在直线上时，过该点不能作出已知直线的平行线，据此可判断③；同角或等角的补角相等，据此可判断④．
【详解】解：①在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交两种，原说法错误；
②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法正确；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误；
④同角或等角的补角相等，原说法正确；
∴说法正确的有②④，
故选：C．
3．A
【分析】本题主要考查对顶角的定义，垂直的定义，熟练掌握对顶角相等是解题的关键．根据对顶角相等得出，进而可得即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
故选A．
4．D
【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短的知识；根据题意知，点到所在直线的距离为3，即的长度不应小于3，即可求解．
【详解】解：由于点到所在直线的距离为3，即的长度不应小于3；
故选：D．
5．A
【分析】本题考查对顶角，根据对顶角相等，即可得出结果．
【详解】解：∵是对顶角，，
∴；
故选A．
6．D
【分析】本题考查垂线段的性质：垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．
根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答．
【详解】解：要把河中的水引到水池中，应在河岸处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这一做法蕴含的数学原理是：垂线段最短，
故选：D．
7．C
【分析】本题主要考查了对顶角的定义，熟练掌握对顶角的定义（两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角）是解题的关键．
根据对顶角的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、与没有公共顶点，不互为对顶角，故此选项不符合题意；
B、与不互为对顶角，故此选项不符合题意；
C、与互为对顶角，故此选项符合题意；
D、与不互为对顶角，故此选项不符合题意．
故选：C．
8．B
【分析】本题考查了同位角的定义，判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．
根据同位角的定义（在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角）进行判断．
【详解】解：根据同位角的定义，与有一边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，只有B选项符合题意，
故选：B．
9．A
【分析】本题考查了同位角的定义，两条直线，为第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线，的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角，根据同位角的定义逐项分析即可得解，熟练掌握同位角的定义是解此题的关键．
【详解】解：A、符合同位角的定义，符合题意；
B、不符合同位角的定义，不符合题意；
C、不符合同位角的定义，不符合题意；
D、不符合同位角的定义，不符合题意；
故选：A．
10．B
【分析】本题考查垂线段最短．根据垂线段最短，得到当时，的值最小，利用等积法进行计算即可。
【详解】解：∵点到直线的距离，垂线段最短，
∴当时，的值最小，
在中，
∵，，，，
∴，即：，
∴，
故选：B．
11．C
【分析】本题考查了垂线段最短，因为点A某小区位置，原自来水供水路线为，现进行改造，沿路线铺设管道，设计要求与主管道连接且，得出根据原理是垂线段最短，进行作答即可．
【详解】解：∵点A某小区位置，原自来水供水路线为，现进行改造，沿路线铺设管道，设计要求与主管道连接且，这样管道路线最短，
∴根据原理是垂线段最短，
故选：C
12．A
【分析】本题考查了同位角的识别，准确识图是正确答此题的关键．
根据同位角定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角进行分析即可．
【详解】解：图中与满足同位角的定义，
故选：A ．
13．
【分析】本题主要考查了对顶角性质，熟练掌握对顶角的性质，是解题的关键．根据对顶角相等，进行解答即可．
【详解】解：∵直线相交于点O，，
∴．
故答案为：．
14．垂线段最短
【分析】本题是垂线段最短在实际生活中的应用，过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．体现了数学的实际运用价值．
【详解】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
∴沿开挖水渠，就能使所开挖的水渠最短．
故答案为：垂线段最短．
15．
【分析】本题主要考查了垂线的性质及角的计算，熟练掌握垂线的性质及角的和差进行计算是解决本题的关键．
根据垂线的性质可得，根据对顶角的性质可得，再根据代入计算即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了垂线的定义，对顶角相等，先由垂线的定义得到，根据，得出，再根据对顶角相等，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
17．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】此题考查了角平分线的相关计算和角的和差、垂直的定义等知识，熟练掌握角平分线的相关计算和角的和差是解题的关键．
（1）根据角平分线和对顶角即可得到结论；
（2）根据垂直定义和已知条件得到，根据角平分线得到，即可得答案；
（3）按照（2）的过程进行解答即可．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴
∵
∴，
即；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分
∴，
∴
（3）∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分
∴，
∴
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了作平行线，掌握平行线的特征是解题的关键，
（1）根据所有横线都是平行的作图即可；
（2）根据网格特点得到中点，根据所有横线都是平行的作图即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：所求图形如图所示．
19．与是同位角；与，与，与是同旁内角；与是内错角
【分析】本题考查了同位角，内错角和同旁内角的知识，掌握以上知识是解题的关键；
本题根据同位角，内错角和同旁内角的概念，进行作答，即可求解；
【详解】解：同位角定义：两条直线被第三条直线所截，位于这两条被截直线同一方，并且在第三条直线的同一侧的两个角，称为同位角；
内错角定义：两条直线被第三条直线所截，位于这两条被截直线之间，并且在第三条直线的不同侧的两个角，称为内错角；
同旁内角定义：两条直线被第三条直线所截，位于这两条被截直线之间，并且在第三条直线的同一侧的两个角，称为同旁内角；
结合同位角，内错角和同旁内角的概念，可得：与是同位角；与，与，与是同旁内角；与是内错角
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查的是垂线段最短，线段的性质，两点之间线段最短．
（1）从火车站到码头的距离是点到点的距离，即两点间的距离．依据两点之间线段最短解答．
（2）从码头到铁路的距离是点到直线的距离．依据垂线段最短解答．
【详解】（1）解：如图所示：沿走，两点之间线段最短；
（2）解：如图所示：沿走，垂线段最短．

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