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第五章《概率》课堂训练
一、单选题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛掷两枚质地均匀的骰子，一枚红色，一枚蓝色记事件“红骰子的点数小于蓝骰子的点数”，事件“两枚骰子的点数之和是”，则( )
A. B. C. D.
2.若随机变量的分布列为
则( )
A. B. C. D.
3.随机变量的分布列如下表，则等于( )
A. B. C. D.
4.设随机变量的概率分布列为
则( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共7小题，共42分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
6.下列命题正确的是( )
A. 对于事件，，若，且，，则
B. 若随机变量，，则
C. 若甲、乙两组数据的相关系数分别为和，则乙组数据的线性相关性更强
D. 在一元线性回归模型中，若，则两个变量正相关
7.下列说法正确的是( )
A. 数据，，，，，，，，的众数和第百分位数都为
B. 展开式中项的系数为
C. 若随机变量服从二项分布，则方差
D. 若随机变量服从正态分布，则
8.已知随机变量，，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B.
C.
D.
9.若，则下列结论正确的是( )
A.
B. 数据，，，，，的标准差为
C. 数据，，，，，的分位数为
D. 记，随机变量，，则
10.，分别为随机事件，的对立事件，下列命题正确的是( )
A.
B. 若，，则
C. 若，则与独立
D.
11.下列说法正确的是( )
A. 若随机变量服从正态分布，且，则
B. 一组数据，，，，，，，，，的下四分位数为
C. 若两个变量的线性相关系数越大，则这两个变量的线性相关性越强，反之，则越弱
D. 若展开式的二项式系数之和为，则展开式中项的系数为
12.若随机变量且，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. 的最小值为 D.
三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
13.若随机变量的分布列如下表，且，则的值为 ．
14.设随机变量，则等于______．
15.某校高二年级一次数学考试的成绩服从正态分布若平均分为，分以下人数概率为，理论上说在分数段人数概率为______．
16.若随机变量，，则 ______．
17.甲和乙两个箱子中各装有个大小相同的小球，其中甲箱中有个红球、个白球，乙箱中有个红球、个白球．
(ⅰ)从甲箱中随机抽出个球，在已知抽到白球的条件下，则个球都是白球的概率为______；
(ⅱ)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于，就从甲箱中随机抽出个球；如果点数大于等于，就从乙箱中随机抽出个球，则抽到红球的概率为______．
18.年月日是中华人民共和国成立周年纪念日，某校团委组织“祖国在我心中”学生征文比赛，高一年级提交了份征文，其中获奖高二年级提交了份征文，其中获奖高三年级提交了份征文，其中获奖现从这份征文中随机抽取份，则抽出的恰好是获奖征文的概率是 ．
四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
为深入学习党的二十大精神，激励青年学生积极奋发向上某学校团委组织学生参加了“青春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中抽取了份试卷进行调查，这份试卷的成绩卷面共分频率分布直方图如图所示．
将此次竞赛成绩近似看作服从正态分布用样本平均数和标准差分别作为，的近似值，已知样本的标准差现从该校参与知识竞赛的所有学生中任取人，记这人中知识竞赛成绩超过分的学生人数为随机变量，求的数学期望；
从得分区间和的试卷中用分层抽样的方法抽取份试卷，再从这份样本中随机抽测份试卷，若已知抽测的份试卷来自于不同区间，求抽测份试卷有份来自区间的概率．
参考数据：若，则，
，．
20.本小题分
无人驾驶技术是汽车研发领域的一个重要方向某学校技术俱乐部研发了一个感知路况障碍的小汽车模型，该模型通过三个传感器共同判断路段是否有路障在对该模型进行测试中，该俱乐部同学寻找了个不同的路段作为测试样本，数据如下表：
测试
结果真实
路况 传感器 传感器 传感器
有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别
无障碍
有障碍
假设用频率估计概率，且三个传感器对路况的判断相互独立．
从这个路段中随机抽取一个路段，求传感器对该路况判断正确的概率；
从这个路段中随机抽取一个有障碍的路段进行测试，设为传感器和传感器判断正确的总路段数，求的分布列和数学期望；
现有一辆小汽车同时装载了以上种传感器在通过某路段时，只要个传感器中一个判断有障碍或无法识别，则小汽车减速那么是否可以通过提高传感器的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于？结论不要求证明
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：事件包含个基本事件，事件包含个基本事件，则．
2.【答案】
【解析】解：根据题意可得，
所以．
故选：．
直接根据期望方差的定义，即可求解．
本题考查离散型随机变量的期望方差的求解，属基础题．
3.【答案】
【解析】解：由表格可求得．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，由的分布列，有，变形可得，
则．
故选：．
根据随机变量的概率和为，即可求得的值，再将，的概率相加，即可得解．
本题考查分布列的计算，注意概率的计算，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为，所以，
则，
故选：．
6.【答案】
【解析】解：对于，对于事件，，若，且，，
则，故，故A正确；
对于，由随机变量，则该正态分布曲线的对称轴为对称，
故，，
，故B错误；
对于，若甲、乙两组数据的相关系数分别为和，则乙组数据的线性相关性更强，故C正确；
对于，在一元线性回归模型中，若，则两个变量正相关，故D正确．
故选：．
对于，根据事件之间的关系，可得概率计算，结合条件概率的计算公式，可得答案；对于，根据正态分布的性质，利用其对称性，可得答案；对于，根据相关系数的性质，可得答案；对于，根据一元线性回归方程的系数的意义，可得答案．
本题考查线性回归方程相关知识，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：对于选项A：数据，，，，，，，，可知数据的众数为，
因为，可知第百分位数为第位数，
所以众数和第百分位数都为，故A正确；
对于选项B：因为的展开式通项为，
则展开式中项，
所以展开式中项的系数为，故B错误；
对于选项C：因为，则，
所以，故C正确；
对于选项D：由题可得：，故D错误．
故选：．
对于：根据众数和百分位数的定义运算求解；对于：根据题意结合二项式定理运算求解；对于：根据二项分布的方差以及方差的性质分析判断；对于：根据正态分布的对称性分析判断．
本题主要考查概率的相关知识，考查计算能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：对于，因为，
所以，
则，
化简得，
解得，故A正确；
对于，因为，
所以，
所以当时，取得最大值，
所以，故B错误；
对于，因为，
所以，故C错误；
对于，因为，
所以由正态分布的对称性，和关于对称，所以，故D正确．
故选：．
利用二项分布概率公式，通过等式关系求解参数，判断；计算二项分布的方差判断；根据正态分布的对称性，判断均值右侧的概率是否超过 判断；利用正态分布的对称性，验证对称区间概率是否相等判断．
本题主要考查了二项分布的概率公式和方差公式，考查了正态分布曲线的对称性，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，令，则，故A正确；
对于，因为的展开式的通项为，即，
可得，，，，，，
数据，，，，，为，，，，，，
则平均数为，
方差为，
所以标准差为，故B正确；
对于，将数据，，，，，按升序排列为，，，，，，
因为，
故分位数为，故C错误；
对于，令得，，
所以，
故，故D正确．
故选：．
利用赋值法即可求解，根据二项式展开式的通项特征，可求解，，，，，，根据百分位数以及方差的计算公式即可求解，根据正态分布的对称性即可求解．
本题主要考查了二项式定理的应用，考查了标准差和百分位数的定义，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：选项，由对立事件性质可知，A正确；
选项，若，，则，B错误；
选项，若，则，
故，与独立，C正确；
选项，，故D正确．
故选：．
选项，由对立事件得到A正确；
选项，；
选项，由条件概率得到，C正确；
选项，利用乘法公式得到D正确．
本题考查条件概率以及全概率公式相关知识，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于，若随机变量服从正态分布，且，
则，故A正确；
对于，一组数据，，，，，，，，，，则该组数据的下四分位数位置为，
则下四分位数为第三个数，故B错误；
对于，若两个变量的线性相关系数绝对值越接近于，相关性越强，故C错误；
对于，的二项式系数之和为，则，展开式的通项公式为，
令，则，则展开式中项的系数为，故D正确．
故选：．
根据正态分布可解，根据百分位数可解，根据相关系数知识可解，根据二项式定理可解．
本题考查正态分布，百分位数，相关系数，二项式定理等相关知识，属于中档题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查正态分布的概率、均值、方差，由基本不等式求取值范围，属于基础题．
利用正态分布的对称性判断；由对称性求出，再求出最小值判断；利用期望的性质计算判断．
【解答】
解：随机变量，
对于，，故 A正确；
对于，，故 B错误；
对于，由，
得，即，
则，
当且仅当时取等号，故 C正确；
对于，，
则，故 D正确．
故选ACD．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查期望、方差公式，考查学生的计算能力，属于基础题．
利用期望公式，及概率和为，求出，的值，再利用方差公式，即可得到结论．
【解答】
解：由题意可得：，解得，
因为，所以：，解得．

．
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：因为随机变量，
所以．
故答案为：．
根据二项分布的概率公式计算即可得解．
本题主要考查二项分布的概率公式，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题意得，，
所以
所以．
故答案为：．
根据正态分布的性质求解即可．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：因为随机变量，，
由二项分布的期望的性质可知，，
所以，
即，
所以，
故答案为：．
首先根据二项分布的期望公式求解的值，然后代入二项分布的方差公式计算可得结果．
本题主要考查了二项分布的期望与方差的计算，属于基础题．
17.【答案】
【解析】解：从甲箱中抽出球，设抽到白球为事件，个球都是白球为事件，
则，，
所以；
掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于，记为事件，抽到红球记为事件，
则，点数大于等于的概率为，
所以．
故答案为：；
．
根据条件概率公式求解；
利用全概率公式求解．
本题主要考查了条件概率公式和全概率公式，属于中档题．
18.【答案】
【解析】解：根据题意，得抽出的获奖征文可能来自高一、高二和高三个年级，
所以所求概率为．
19.【答案】；
．
【解析】易知，
所以的近似值，
因为样本的标准差，
所以，
因为，
即，
则，
因为抽取的人中知识竞赛成绩超过分的学生人数服从二项分布，
此时，
则的数学期望，
所以抽取的人中知识竞赛成绩超过分的学生人数的数学期望为人；
易知分数在和的频率分别为和，
若用分层抽样的方法抽取份试卷，
此时分数在，应抽取份，
分数在应抽取份，
记“抽测的份试卷来自于不同区间”为事件，“取出的试卷有份来自区间”为事件，
可得，，
则，
故抽测份试卷有份来自区间的概率为．
由题意，利用平均数公式得到的近似值，结合题目信息可得，根据正态分布的对称性以及二项分布的期望公式再进行求解即可；
结合频率分布直方图以及分层抽样的定义得到分数在，所抽取的份数，记“抽测的份试卷来自于不同区间”为事件，“取出的试卷有份来自区间”为事件，代入概率公式中进行求解即可．
本题考查二项分布以及正态分布的应用，考查了逻辑推理和运算能力．
20.【答案】；
小于，理由见解析．
【解析】个路段中，传感器判断正确的路段有个，
所以所求概率为；
个路段中共有个有障碍的路段，
个有障碍的路段中，传感器判断正确的路段有个，错误的有个，传感器判断正确的路段有个，判断错误的路段有个，
所以随机变量的所有可能取值为，，，
，，，
故随机变量的分布列为：
所以；
可以通过提高传感器的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于，理由如下：
共有个无障碍地路段，传感器判断无障碍的有个，
由频率估计概率，故无障碍路段上，估计传感器判断无障碍的概率为，
传感判断无障碍的有个，由频率估计概率，
故无障碍路段上，估计传感器判断无障碍的概率为，
若传感器在无障碍路段上，判断为无障碍的概率为，
小汽车在无障碍的道路上减速的概率：，
故可以通过提高传感器的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于．
利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；
分析可知，的所有可能取值为，，，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值；
计算出三个传感器判断无障碍的概率，比较大小后可得出结论．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．

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