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18.1.1 从分数到分式
第十八章 分式
【2025新教材】人教版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
从分数到分式教案
一、教学目标
（一）知识与技能目标
学生能够清晰阐述分式的概念，准确判断一个代数式是否为分式。
熟练掌握分式有意义、无意义以及值为零的条件，并能据此求出相应字母的取值范围。
能够运用分式准确表示现实情境中的数量关系，提升数学建模能力。
（二）过程与方法目标
经历从实际问题中抽象出分式概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，培养学生的抽象概括能力。
通过类比分数研究分式，引导学生运用类比转化的思想方法，提高知识迁移能力和自主探究能力。
在解决问题的过程中，发展学生的逻辑思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观目标
借助实际生活情境引入分式概念，让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。
在小组合作探究和交流过程中，培养学生的团队合作精神和勇于探索的科学态度。
通过对分式概念和性质的深入探究，培养学生严谨的治学态度和追求真理的精神。
二、教学重难点
（一）教学重点
分式的概念，理解分式是两个整式相除的商，且分母中含有字母。
分式有意义的条件，即分母不为零；分式值为零的条件，即分子为零且分母不为零。
（二）教学难点
准确区分整式和分式，尤其是对于一些形式较为复杂的代数式，能正确判断其是否为分式。
熟练运用分式有意义和值为零的条件，解决相关的字母取值范围问题，避免忽略分母不为零这一关键条件。
理解分式作为一种数学模型，在实际情境中的应用，将实际问题转化为数学问题并求解。
三、教学方法
情境导入法：通过创设贴近学生生活的实际问题情境，如行程问题、工程问题、面积问题等，引出分式的概念，让学生在具体情境中感受分式的产生和应用，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
类比教学法：将分式与学生已熟悉的分数进行类比，从分数的概念、性质、运算等方面入手，引导学生类比推理出分式的相关知识，帮助学生理解和掌握分式的概念和性质，降低学习难度，提高学习效率。
小组合作探究法：组织学生进行小组合作学习，针对分式的概念、有意义的条件、值为零的条件等重点和难点问题进行讨论和探究，促进学生之间的思想交流和碰撞，培养学生的合作意识和团队精神，同时提高学生的自主探究能力和解决问题的能力。
练习巩固法：设计有针对性的练习题，包括基础题、提高题和拓展题，让学生在练习中巩固所学的分式知识，熟练掌握分式的相关运算和应用，及时发现和解决学生在学习过程中存在的问题，强化学生的学习效果。
四、教学过程
（一）情境导入（5 分钟）
展示问题 1：把体积为 200cm 的水倒入底面积为 33cm 的圆柱形容器中，水面高度为______cm；把体积为 V 的水倒入底面积为 S 的圆柱形容器中，水面高度为______。
引导学生思考并回答：根据圆柱体积公式\(V = Sh\)（\(V\)是体积，\(S\)是底面积，\(h\)是高），可得第一个空为\(\frac{200}{33}\)，第二个空为\(\frac{V}{S}\)。
展示问题 2：一艘轮船在静水中的最大航速为 30 千米 / 小时，若江水流速为 v 千米 / 小时，它沿江以最大航速顺流航行 90 千米所用的时间可以表示为__________小时；以最大航速逆流航行 60 千米所用的时间可以表示为______________小时。
学生思考后回答：顺流速度为\((30 + v)\)千米 / 小时，逆流速度为\((30 - v)\)千米 / 小时，根据时间 = 路程 ÷ 速度，所以顺流航行 90 千米所用时间为\(\frac{90}{30 + v}\)小时，逆流航行 60 千米所用时间为\(\frac{60}{30 - v}\)小时。
展示问题 3：长方形的面积为 10cm ，长为 7cm，则宽为____ cm；长方形的面积为 S，长为 a，则宽应____ 。
学生快速回答：第一个空为\(\frac{10}{7}\)，第二个空为\(\frac{S}{a}\) 。
提问：观察\(\frac{V}{S}\) 、\(\frac{90}{30 + v}\) 、\(\frac{60}{30 - v}\) 、\(\frac{S}{a}\)这些式子，它们与我们之前学的整式有什么不同？由此引出本节课课题 —— 从分数到分式。
（二）探索新知（15 分钟）
分式概念的探究
引导学生观察上述式子\(\frac{V}{S}\) 、\(\frac{90}{30 + v}\) 、\(\frac{60}{30 - v}\) 、\(\frac{S}{a}\)，分析它们的共同特征。
组织学生小组讨论，鼓励学生积极发言，总结这些式子的特点：它们都具有分数的形式，且分母中都含有字母。
给出分式的定义：一般地，如果\(A\)、\(B\)表示两个整式，并且\(B\)中含有字母，那么式子\(\frac{A}{B}\)叫做分式。其中\(A\)叫做分式的分子，\(B\)叫做分式的分母。
强调：分式的分子可以含有字母，也可以不含有字母，但分母必须含有字母，这是分式与整式的根本区别。
举例说明：如\(\frac{x}{2}\)是整式，因为分母是常数 2；而\(\frac{2}{x}\)是分式，因为分母含有字母\(x\) 。
分式有意义的条件探究
回顾分数的知识，提问：在分数中，分母不能为 0，否则分数无意义。那么在分式中，分母应满足什么条件呢？
引导学生类比分数，思考分式有意义的条件。组织学生进行小组讨论，让学生发表自己的观点。
总结得出：当分式的分母\(B 0\)时，分式\(\frac{A}{B}\)有意义。
举例：对于分式\(\frac{1}{x}\)，当\(x 0\)时，分式有意义；对于分式\(\frac{x + 1}{x - 2}\)，当\(x - 2 0\)，即\(x 2\)时，分式有意义。
分式值为零的条件探究
提问：在分数中，当分子为 0 且分母不为 0 时，分数的值为 0。那么在分式中，分式的值为 0 需要满足什么条件呢？
引导学生思考并讨论，让学生尝试总结分式值为 0 的条件。
明确：当分式的分子\(A = 0\)且分母\(B 0\)时，分式\(\frac{A}{B}\)的值为 0。
举例：对于分式\(\frac{x - 1}{x + 2}\)，当\(x - 1 = 0\)且\(x + 2 0\)时，分式的值为 0，即\(x = 1\)时，该分式的值为 0 。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？
(1)\(\frac{5}{x}\)
(2)\(\frac{x}{5}\)
(3)\(\frac{a + b}{3}\)
(4)\(\frac{2}{m - n}\)
(5)\(\frac{x^{2} + 1}{x}\)
(6)\(\frac{3}{\pi}\)
分析：根据整式和分式的定义进行判断，整式包括单项式和多项式，分母中不含字母；分式分母中含有字母。
解：整式有 (2)\(\frac{x}{5}\) 、(3)\(\frac{a + b}{3}\) 、(6)\(\frac{3}{\pi}\) ；分式有 (1)\(\frac{5}{x}\) 、(4)\(\frac{2}{m - n}\) 、(5)\(\frac{x^{2} + 1}{x}\) 。
强调：\(\pi\)是一个常数，不是字母，所以\(\frac{3}{\pi}\)是整式。
例 2：当\(x\)取何值时，下列分式有意义？
(1)\(\frac{3}{x - 2}\)
(2)\(\frac{x}{2x + 1}\)
(3)\(\frac{2}{x^{2}- 1}\)
分析：要使分式有意义，需分母不为 0。
解：(1) 由\(x - 2 0\)，得\(x 2\)，所以当\(x 2\)时，分式\(\frac{3}{x - 2}\)有意义。
(2) 由\(2x + 1 0\)，即\(2x - 1\)，解得\(x - \frac{1}{2}\)，所以当\(x - \frac{1}{2}\)时，分式\(\frac{x}{2x + 1}\)有意义。
(3) 由\(x^{2}- 1 0\)，即\((x + 1)(x - 1) 0\)，则\(x + 1 0\)且\(x - 1 0\)，解得\(x - 1\)且\(x 1\)，所以当\(x - 1\)且\(x 1\)时，分式\(\frac{2}{x^{2}- 1}\)有意义。
例 3：当\(x\)为何值时，分式\(\frac{x^{2}- 9}{x - 3}\)的值为 0 ？
分析：分式值为 0 需分子为 0 且分母不为 0。
解：由分子\(x^{2}- 9 = 0\)，即\((x + 3)(x - 3)=0\)，解得\(x = ±3\) 。
又因为分母\(x - 3 0\)，即\(x 3\) 。
所以\(x = - 3\)时，分式\(\frac{x^{2}- 9}{x - 3}\)的值为 0 。
（四）课堂练习（10 分钟）
下列式子中，哪些是分式？
(1)\(\frac{2}{x}\)
(2)\(\frac{x + 1}{3}\)
(3)\(\frac{3}{5}\)
(4)\(\frac{y}{x + y}\)
(5)\(\frac{2x + 1}{x^{2}+ 1}\)
(6)\(\frac{1}{a - b}\)
当\(x\)取何值时，下列分式有意义？
(1)\(\frac{1}{x + 5}\)
(2)\(\frac{2x}{x^{2}+ 1}\)
(3)\(\frac{x - 1}{x^{2}- 9}\)
当\(x\)为何值时，分式\(\frac{x - 2}{x + 3}\)的值为 0 ？
教师巡视学生练习情况，及时给予指导，选取部分学生的答案进行展示和点评，强调分式概念、有意义及值为零条件的要点和易错点。
（五）课堂小结（3 分钟）
与学生一起回顾分式的概念，强调分式与整式的区别在于分母是否含有字母。
总结分式有意义的条件是分母不为 0，分式值为 0 的条件是分子为 0 且分母不为 0 。
强调在判断分式相关问题时，要准确分析分子、分母的情况，尤其是注意分母不能为 0 这一关键条件。
（六）作业布置（2 分钟）
基础作业：教材课后练习题中关于分式概念、有意义条件、值为零条件的相关题目，巩固本节课所学的基础知识和基本技能。
拓展作业：
已知分式\(\frac{x + m}{2x - n}\)，当\(x = 2\)时，分式的值为 0；当\(x = 1\)时，分式无意义，求\(m\)、\(n\)的值。
编写一个实际问题，使其可以用分式\(\frac{100}{x + 5}\)来表示数量关系，并解释该分式中\(x\)的实际意义。
五、教学反思
在教学过程中，要密切关注学生对分式概念的理解以及对分式有意义、值为零条件的掌握情况。通过学生在课堂练习和回答问题时出现的错误，分析学生的学习困难点，如对分式定义的判断不准确、忽略分母不为零的条件等。针对这些问题，在后续教学中加强对分式概念的辨析训练，增加更多实际问题情境，让学生在应用中加深对分式的理解。同时，关注不同层次学生的学习情况，对学习困难的学生给予更多的辅导和帮助，确保每个学生都能在本节课中有所收获。此外，思考在教学方法上是否可以进一步优化，让学生更加主动地参与到知识的探索和应用中，提高课堂教学的效率和质量。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1. 通过类比分数的概念，了解分式的概念，能识别整式、分式，会求分式有无意义和值为零时字母的取值范围，提高自身观察、猜想、类比的能力．
2．经历分式概念的建构过程及用分式描述数量关系的过程，发展类比和抽象概括的能力．
3．通过探究分式的概念，让学生体会交流合作的作用，体会数学的应用价值．
重点
难点
旧识回顾
整式包括什么？你能说明它们的特点吗？
单项式和多项式．单项式特点：数与字母的积；多项式特点：几个单项式的和
根据问题，填空：
(1)长方形的面积为10 cm2，长为7 cm，宽为　　　　 cm；长方形的面积为S，长为a，宽为　　　　。
(2)把体积为200 cm3的水倒入底面积为33 cm2的圆柱形容器中，水面高度为　　　　cm；把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，水面高度为　　　　。
。
请同学们看一下这四个式子，它们有什么相同点和不同点
另两个式子,看它们有什么特点
分母中有字母.
学生活动一 【一起探究】
，
，
，
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式．A叫做分子，B叫做分母.
下列代数式中，哪些是整式，哪些是分式？
学生活动二 【一起探究】
， ， ， ， ， ， ，4y＋3
解析：整式有
分式有
判断分式的依据是看分母中是否含有字母,分母中含有字母的代数式是分式.
， ， ， 4y＋3
， ，
问题：下列分式中的字母满足什么条件时，分式有意义？
解析：要使分式有意义，必须使分母不等于零。
（1） （2） ； （4）.
（1） ≠0，则
（2） ；
（3） ；
（4） .
解:(1)要使分式有意义,则分母3x≠0,即x≠0,因此,当x≠0时,
分式 有意义;
(2)要使分式 有意义,则分母x-1≠0,即x≠1,因此,当x≠1时,
分式 有意义;
(3)要使分式 有意义,则分母5-3b≠0,即,因此,
当 时,分式 有意义;
(4)要使分式 有意义,则分母x-y≠0,即x≠y,因此,当x≠y时,分式 有意义.
问题：当x为何值时下列分式无意义？
学生活动三 【一起探究】
（1）；（2）.
解析：要使分式无意义，须使分母等于零。
（1）要使分式 无意义，则分母+5=0，即=-5.
（2）要使分式 无意义，
则分母（x+3）*（2x-2）=0，即x+3=0或2x-2=0，即x=-3或x=1.
问题：当x为何值时，下列分式的值为0
解析：要使分式的值为0，必须使分子为零且分母不为0。
（1）由分子2x=0，得x=0，
当x=0时，分母2x-6=-6≠0，
∴当x=0时，分式 的值为0.
（1）； （2）.
（2）由分子x2-16=0，得x=4和-4，
当x=4时，分母x-4=0，原分式无意义，
当x=-4时，分母x-4=-8≠0，
∴当x=-4时，分式 的值为0.
问题：当x为何值时，下列分式的值为0
解析：要使分式的值为0，必须使分子为零且分母不为0。
（1）； （2）.
分式有意义的条件：
分式的分母不等于零
分式的值为零的条件：
分式的分子为零且分母不为零
分式无意义的条件：
分式的分母等于零
类比的思想
方法----
2.当x=-1时，下列分式没有意义的是( )
1.在下面的代数式中,分式为( )
A. B. C. D.－ +
B
A. B. C. D.
C
3.当x 时，分式 有意义。
4.当x 时，分式 的值为零。
≠
=2
5.分式 有意义的条件： 。
x取全体实数
6.当 x 取什么值时，分式 的值为零？
解：由分子∣x∣-2=0得：x=±2，
当x=2时，分母2x+4=8≠0；
当x=-2时，分母2x+4=-4+4=0，分式无意义，舍去.
∴当x=2时，分式的值为0.
7.当 x 取什么值时，分式 的值为正数？
解：由题意可知：当x-3 0时，分式的值为正数.
即x 3.
【题型一】分式的概念
例1：下列各式：
其中分式有(　　)
A．3个　　　　B．4个　　　　C．5个　　　　D．6个
B
变式：把下列各式分别填入相应的圈中：
例2：使分式 有意义的x的取值范围是________．
例3：若分式 的值为0，则m的值为________．
x≠±1
【题型二】分式有无意义、值为0的条件
2
例4：已知分式 .
(1)当x取何值时，分式有意义？
(2)当x取取何值时，分式的值为0
解：(1)由题意，得x＋2≠0，解得x≠－2.
所以当x≠－2时，分式有意义．
(2)由题意，得1－3x＝0，且x＋2≠0，解得x＝ .
所以当x＝ 时，分式的值为0.
例5：若分式 的值总是正数，则a的取值范围是______________．
a>或a<0
【题型三】根据分式的值求参数的值或取值范围
变式：若 表示一个整数，则整数a可取的值有(　　)
A．2个　　　　B．3个　　　　C．4个　　　　D．5个　
C
点拨：由题意可知a－1＝±1或±3，解得a＝0或2或－2或4.故选C.
1. 教材P140练习 代数式，，， ，
， 中，属于分式的有( )
B
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
2. 要使分式有意义，则 满足( )
B
A. B.
C. D.
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3. 分式中，当 时，下列说法正确的是( )
D
A. 分式的值为零
B. 分式无意义
C. 若 ，则分式的值为零
D. 若 ，则分式的值为零
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4. ［2025潍坊期中］根据下列表格中的不完整信息，可知
代表的分式可能是( )
… 0 1 2 …
… 0 * * 无意义 * …
C
A. B. C. D.
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5. 黑龙江仙洞山梅花鹿保护区是以梅花鹿为
代表的许多珍贵野生动植物的栖息地，经过十多年的努力，
保护取得了显著效果，野生梅花鹿的种群数量逐渐增多.该保
护区为了估计该地区梅花鹿的数量，先捕捉了 只梅花鹿给
它们做上标记，然后放走，待有标记的梅花鹿完全混合于鹿
群后，第二次捕捉了只梅花鹿，发现其中 只有标记，请估
计这个地区的梅花鹿约有( )
C
A. 只 B. 只 C. 只 D. 只
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6.已知当时，分式无意义；当 时，此分式的
值为0.
（1）求, 的值；
【解】 当时，分式 无意义，
，解得 .
当 时，此分式的值为0，
，解得 .
（2）当分式的值为正整数时，求整数 的值.
，， .
当时, ,
当时, ,
当时, ,
综上，整数 的值为0，1，3.
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7. 如图，有七张写着不同整式的卡牌.
（1）从中选择两张卡牌分别放在分子、分母的位置上，拼
出一个“分式”.
【解】（答案不唯一）拼出的分式可以是 .
（2）当满足什么条件时，你拼出的“分式”有意义？当 满
足什么条件时，它的值为0？
当时，分式 有意义；
当时，分式 的值为0.
（3）拼出一个当 时值为0的“分式”.
拼出的分式可以是 .
返回
8. 下列说法正确的是( )
D
A. 当时， 的值为0
B. 当时， 的值一定存在
C. 无论为何值， 的值不可能是整数
D. 无论为何值， 的值总为正数
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9. 教材P139练习 绿化队原来用漫灌方式浇绿地，
天用水 吨，现改用喷灌方式，可使这些水多用3天，则现
在比原来每天节约用水的吨数是( )
A
A. B.
C. D.
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10. 若三角形三边长分别为,, ，且分式
的值为0，则此三角形一定是( )
B
A. 不等边三角形
B. 腰与底边不相等的等腰三角形
C. 等边三角形
D. 直角三角形
1.本节课我们学习了哪些知识？
2．从中体会了哪些数学思想？
分式的概念；分式有无意义的条件；分式值为0的条件
类比思想、转化思想、从特殊到一般、从一般到特殊的数学思想
同学们，今天我们类比分数，学习了分式的概念，很多知识都是相互联系，相互贯通的，大家要保持一双善于发现的眼睛.
谢谢观看！

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