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18.1.2 分式的基本性质
-第1课时 分式的基本性质
第十八章 分式
【2025新教材】人教版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
分式的基本性质教案
一、教学目标
（一）知识与技能目标
学生能够深入理解分式的基本性质，准确用数学语言表述该性质，即分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变（\(\frac{A}{B}=\frac{A\times C}{B\times C}\)，\(\frac{A}{B}=\frac{A\div C}{B\div C}\)，其中\(A\)、\(B\)、\(C\)均为整式，且\(B 0\)，\(C 0\)）。
熟练掌握运用分式基本性质进行分式的约分、通分运算，能够准确找出分子分母的公因式进行约分，确定最简公分母进行通分。
能灵活运用分式基本性质对分式进行恒等变形，解决分式的化简、求值等相关问题。
（二）过程与方法目标
经历观察、类比、猜想、验证等数学活动过程，通过类比分数的基本性质探究分式基本性质，体会从特殊到一般的数学思想方法，培养学生的逻辑推理能力和抽象概括能力。
在运用分式基本性质进行约分、通分及恒等变形的过程中，提高学生的运算能力和代数式变形能力，培养学生严谨的治学态度和良好的运算习惯。
通过解决实际问题，引导学生将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，培养学生的数学应用意识和解决实际问题的能力。
（三）情感态度与价值观目标
通过数学活动，让学生体验数学知识的内在联系和逻辑之美，激发学生对数学的好奇心和求知欲，培养学生热爱数学的情感。
在小组合作探究过程中，培养学生的团队合作精神和交流能力，让学生在与他人合作中获得成功的体验，增强自信心。
引导学生在探索分式基本性质的过程中，敢于发表自己的观点，培养学生独立思考、勇于创新的精神和实事求是的科学态度。
二、教学重难点
（一）教学重点
分式的基本性质的理解与掌握，明确分式基本性质中 “同乘（或除以）一个不等于 0 的整式” 这一关键条件的重要性。
运用分式基本性质进行约分和通分，掌握约分和通分的方法与步骤，能够准确找出公因式和最简公分母。
（二）教学难点
灵活运用分式基本性质对分式进行恒等变形，尤其是在分式的分子分母为多项式时，如何准确进行因式分解并运用性质进行变形。
在分式运算中，根据不同的题目要求，合理选择运用分式基本性质进行化简和计算，避免因对性质理解不透彻而出现错误。
三、教学方法
类比教学法：通过与分数的基本性质进行类比，引导学生回顾分数基本性质的内容和应用，在此基础上，启发学生思考分式是否也具有类似的性质，从而顺利引入本节课的主题，帮助学生利用已有的知识经验理解和掌握分式的基本性质，降低学习难度。
探究式教学法：设计一系列探究活动，如让学生观察分式的变形实例、分析变形前后分式的分子分母变化规律等，引导学生自主探究分式基本性质的内容，培养学生的自主探究能力和创新思维。
讲练结合法：在讲解分式基本性质的概念、约分通分的方法步骤后，及时安排针对性的练习题，让学生在练习中巩固所学知识，加深对性质的理解和运用，教师在学生练习过程中进行巡视指导，及时发现问题并加以纠正，提高课堂教学效果。
小组合作学习法：组织学生进行小组合作学习，针对一些复杂的分式变形问题或实际应用问题，让学生在小组内进行讨论交流，共同探讨解决方案，培养学生的团队合作精神和合作交流能力。
四、教学过程
（一）复习导入（5 分钟）
提问：请同学们回忆分数的基本性质是什么？
预设学生回答：分数的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的数，分数的值不变。
展示一些分数变形的例子，如\(\frac{2}{3}=\frac{2\times2}{3\times2}=\frac{4}{6}\)，\(\frac{6}{8}=\frac{6\div2}{8\div2}=\frac{3}{4}\)，让学生观察并说明变形依据。
引出问题：既然分数有这样的基本性质，那么分式是否也具有类似的性质呢？今天我们就来探究分式的基本性质。
（二）探索新知（15 分钟）
分式基本性质的探究
展示一些分式变形的式子，如\(\frac{x}{y}=\frac{x\cdot x}{y\cdot x}=\frac{x^{2}}{xy}\)（\(x 0\)），\(\frac{2a}{3b}=\frac{2a\div a}{3b\div a}=\frac{2}{3b/a}\)（\(a 0\)），让学生观察这些分式变形前后分子分母的变化情况。
组织学生进行小组讨论，类比分数的基本性质，尝试总结分式的基本性质。
每个小组推选代表发言，阐述小组讨论得出的关于分式基本性质的结论。
教师在学生发言的基础上，进行总结归纳，给出分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变。用式子表示为\(\frac{A}{B}=\frac{A\times C}{B\times C}\)，\(\frac{A}{B}=\frac{A\div C}{B\div C}\)（其中\(A\)、\(B\)、\(C\)均为整式，且\(B 0\)，\(C 0\)）。
强调性质中的 “同乘（或除以）”“不等于 0 的整式” 这两个关键条件，通过反例说明如果不满足这两个条件，分式的值就会发生改变，如\(\frac{1}{x}\)，若分子分母同乘 0，则分式无意义；若\(\frac{x}{x^{2}}\)，当\(x = 0\)时，不能进行除以\(x\)的运算。
分式的约分
给出分式约分的定义：利用分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
举例说明约分的方法，如对分式\(\frac{6ab}{8b^{2}}\)进行约分，先找出分子分母的公因式\(2b\)，然后根据分式基本性质，分子分母同时除以\(2b\)，得到\(\frac{6ab\div2b}{8b^{2}\div2b}=\frac{3a}{4b}\)。
强调约分的结果要化为最简分式，即分子与分母没有公因式的分式。
再举一个分子分母为多项式的例子，如\(\frac{x^{2}-4}{x^{2}-4x + 4}\)，先对分子分母进行因式分解，\(x^{2}-4=(x + 2)(x - 2)\)，\(x^{2}-4x + 4=(x - 2)^{2}\)，然后找出公因式\((x - 2)\)，约分得到\(\frac{x + 2}{x - 2}\)。
分式的通分
提问：在分数运算中，我们学习了通分，那么分式是否也需要通分呢？什么是分式的通分？
引导学生类比分数通分的概念，尝试给出分式通分的定义：利用分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
讲解通分的关键是确定几个分式的最简公分母，以\(\frac{1}{2x}\)，\(\frac{3}{4x^{2}y}\)为例，介绍确定最简公分母的方法：
取各分母系数的最小公倍数，\(2\)和\(4\)的最小公倍数是\(4\)。
凡出现的字母（或含字母的式子）为底的幂的因式都要取，这里有\(x\)和\(y\)。
相同字母（或含字母的式子）的幂的因式取指数最大的，\(x\)的最高次幂是\(x^{2}\)。所以最简公分母是\(4x^{2}y\)。
然后将这两个分式通分，\(\frac{1}{2x}=\frac{1\times2xy}{2x\times2xy}=\frac{2xy}{4x^{2}y}\)，\(\frac{3}{4x^{2}y}\)保持不变。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：下列等式的右边是怎样从左边得到的？
(1)\(\frac{b}{2b}=\frac{1}{2}\)
(2)\(\frac{ax}{bx}=\frac{a}{b}\)
(3)\(\frac{3}{x + 1}=\frac{3(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)}\)（\(x 1\)）
分析：根据分式的基本性质进行分析。
解：(1) 因为\(b 0\)，根据分式基本性质，分子分母同时除以\(b\)，即\(\frac{b\div b}{2b\div b}=\frac{1}{2}\)。
(2) 因为\(x 0\)，分子分母同时除以\(x\)，\(\frac{ax\div x}{bx\div x}=\frac{a}{b}\)。
(3) 因为\(x 1\)，所以\(x - 1 0\)，分子分母同时乘以\(x - 1\)，\(\frac{3\times(x - 1)}{(x + 1)\times(x - 1)}=\frac{3(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)}\)。
例 2：约分
(1)\(\frac{-16x^{2}y^{3}}{20xy^{4}}\)
(2)\(\frac{x^{2}-9}{x^{2}+6x + 9}\)
分析：先找出分子分母的公因式，再进行约分。
解：(1) 分子分母的公因式为\(4xy^{3}\)，\(\frac{-16x^{2}y^{3}\div4xy^{3}}{20xy^{4}\div4xy^{3}}=\frac{-4x}{5y}\)。
(2) 先对分子分母因式分解，\(x^{2}-9=(x + 3)(x - 3)\)，\(x^{2}+6x + 9=(x + 3)^{2}\)，公因式为\(x + 3\)，约分得到\(\frac{(x + 3)(x - 3)}{(x + 3)^{2}}=\frac{x - 3}{x + 3}\)。
例 3：通分
(1)\(\frac{1}{3a^{2}b}\)，\(\frac{1}{4ab^{2}}\)
(2)\(\frac{1}{x^{2}-x}\)，\(\frac{-1}{x^{2}-2x + 1}\)
分析：先确定最简公分母，再进行通分。
解：(1) 系数\(3\)和\(4\)的最小公倍数是\(12\)，字母部分\(a\)的最高次幂是\(a^{2}\)，\(b\)的最高次幂是\(b^{2}\)，最简公分母为\(12a^{2}b^{2}\)。\(\frac{1}{3a^{2}b}=\frac{1\times4b}{3a^{2}b\times4b}=\frac{4b}{12a^{2}b^{2}}\)，\(\frac{1}{4ab^{2}}=\frac{1\times3a}{4ab^{2}\times3a}=\frac{3a}{12a^{2}b^{2}}\)。
(2) 先对分母因式分解，\(x^{2}-x=x(x - 1)\)，\(x^{2}-2x + 1=(x - 1)^{2}\)，最简公分母为\(x(x - 1)^{2}\)。\(\frac{1}{x^{2}-x}=\frac{1}{x(x - 1)}=\frac{x - 1}{x(x - 1)^{2}}\)，\(\frac{-1}{x^{2}-2x + 1}=\frac{-1}{(x - 1)^{2}}=\frac{-x}{x(x - 1)^{2}}\)。
（四）课堂练习（10 分钟）
填空
(1)\(\frac{a}{a + 1}=\frac{a( )}{(a + 1)(a - 1)}\)（\(a 1\)）
(2)\(\frac{2x}{x^{2}-3x}=\frac{2}{( )}\)
约分
(1)\(\frac{12xy}{9x^{2}y}\)
(2)\(\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+2xy + y^{2}}\)
通分
(1)\(\frac{1}{2x^{2}y}\)，\(\frac{2}{3xy^{2}}\)
(2)\(\frac{1}{x^{2}-4}\)，\(\frac{1}{x + 2}\)
教师巡视学生练习情况，及时给予指导，选取部分学生的答案进行展示和点评，强调分式基本性质应用中的易错点和注意事项。
（五）课堂小结（3 分钟）
与学生一起回顾分式的基本性质，强调性质中的关键条件。
总结分式约分和通分的方法、步骤以及注意事项，约分要找准公因式，通分要确定好最简公分母。
鼓励学生在课后多做练习，熟练掌握分式基本性质的应用，提高分式运算能力。
（六）作业布置（2 分钟）
基础作业：教材课后练习题中关于分式基本性质应用、约分通分的相关题目，如判断分式变形是否正确、进行分式的约分通分计算等，巩固本节课所学的基础知识和基本技能。
拓展作业：
已知\(\frac{x}{y}=2\)，求\(\frac{x^{2}-xy + y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\)的值，要求运用分式基本性质对所求式子进行变形化简。
探究：当\(x\)取何值时，分式\(\frac{(x + 1)(x - 3)}{(x - 3)(x + 2)}\)与\(\frac{x + 1}{x + 2}\)的值相等？当\(x\)取何值时，这两个分式的值不相等？通过这个探究，你对分式基本性质有什么新的认识？
五、教学反思
在教学过程中，要密切关注学生对分式基本性质的理解程度，通过学生在课堂练习和回答问题时出现的错误，分析学生的学习困难点，如对性质中 “同乘（或除以）一个不等于 0 的整式” 这一条件的忽视、在约分通分中找公因式和最简公分母的错误等。针对这些问题，在后续教学中加强对性质关键条件的强调，增加更多有针对性的练习，尤其是分子分母为多项式的分式变形练习，让学生在实践中加深对分式基本性质的理解和运用。同时，关注不同层次学生的学习情况，对学习困难的学生给予更多的辅导和帮助，确保每个学生都能在本节课中有所收获。此外，思考在教学方法上是否可以进一步优化，如在探究分式基本性质时，是否可以提供更多更丰富的实例，让学生更好地归纳总结性质内容；在小组合作学习中，如何更好地引导学生进行有效的交流和讨论，提高学生的合作学习效果，从而不断提高课堂教学的效率和质量。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1. 通过类比分数的基本性质，理解并掌握分式的基本性质，体会类比的数学思想．
2．通过运用分式的基本性质进行分式的恒等变形，理解分式变形中的符号法则，培养学生的推理能力，提高学生的运算能力．
3．经历探索分式基本性质的过程，体会类比的思想．
重点
难点
复习导入
1. 同学们，下列分数是否相等？若相等，可以进行变形的依据是什么？
，，，，.
分数的基本性质是什么？需要注意哪些地方？
你能类比得出分数的基本性质吗？
下列分数是否相等？
　 这些分数相等的依据是什么？
　　分数的基本性质.
　　相等.
分式的基本性质
知识点 1
问题1：
学生活动一 【一起探究】
分数的基本性质：
　　一个分数的分子、分母乘(或除以)同一个不为0的数，分数的值不变．
你能叙述分数的基本性质吗？
问题2：
　　一般地，对于任意一个分数 ，有
其中a， b， c 是数．
你能用字母的形式表示分数的基本性质吗？
问题3：
分式的基本性质：
　　分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变．
类比分数的基本性质，你能想出分式有什么性质吗？
问题4：
追问1 如何用式子表示分式的基本性质？
其中A，B，C
是整式.
(1)分子、分母应同时做乘、除法中的同一种运算；
(2)所乘(或除以)的必须是同一个整式；
(3)所乘(或除以)的整式应该不等于零.
追问2　应用分式的基本性质时需要注意什么？
例 下列等式成立吗？右边是怎样从左边得到的？
分式的基本性质的应用
素养考点 1
例 下列等式成立吗？右边是怎样从左边得到的？
解: (1)成立.
因为
所以
(2) 成立.
因为
所以
解：(1)正确．分子分母除以x ；
(2)不正确．分子乘x，而分母没乘；
(3)正确．分子分母除以(x -y)．
(1) （2） （3）
下列变形是否正确？如果正确，说出是如何变形的？如果不正确，说明理由.
不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号：
(1) ； (2) ；(3) ； (4) ．
解：
分式的变号法则：分式的分子、分母及分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变.
1. ［2025北京房山区期中］下列各式从左到右的变形正确的
是( )
D
A. B.
C. D.
2. 若，则 可以是( )
C
A. B. C. D.
3.若成立，则 的取值范围是______.
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4.利用分式的基本性质填空：
（1） ；
（2） .
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5.（1）不改变分式的值，利用分式的基本性质，使分式的分
子和分母都不含“-”号：
① ；
【解】
② .
.
（2）不改变分式的值，使分式中和 的系数都为正数：
① ；
.
② .
.
返回
6. 下列各式中，错误的是( )
C
A. B.
C. D.
7. 若把分式中的， 同时扩大到原来的5倍，分式的值
也扩大到原来的5倍，则“ ”可以是( )
B
A. 5 B. C. D.
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8.已知，则 的取值范围是______.
【点拨】 ，
，解得 .
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9.母题教材P142练习 不改变分式的值，把下列分式的分
子、分母中各项的系数化为整数.
（1） ；
【解】 .
（2） .
.
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10. 对分式 变形，甲同学的做法是
；乙同学的做法是
.请根据分式的基本性质，判断甲、
乙两同学的解法是否正确，并说明理由.
【解】甲同学的解法是正确的，乙同学的解法是错误的.理
由： 分式中已经隐含了， 可根据分式的
基本性质，给分式的分子与分母同除以 甲同学的解
法是正确的.
是否为0不能确定， 不能根据分式的基本性质，给
分式的分子与分母同乘 乙同学的解法是错误的.
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