资源简介

(共32张PPT)
18.5.3分式方程的应用
——购物及其他问题
第十八章 分式
【2025新教材】人教版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
18.5.3 分式方程的应用 —— 购物及其他问题教案
一、教学目标
（一）知识与技能目标
学生能够透彻理解购物及其他常见实际问题中蕴含的数量关系，如单价、数量、总价的关系，以及在不同情境下衍生的数量联系，熟练运用这些关系构建分式方程模型来解决问题。
进一步巩固列分式方程解应用题的一般步骤，从细致审题、精准设未知数、合理列方程，到准确解方程、严格检验以及规范作答，每一步都能熟练掌握，尤其能在复杂情境中准确找到等量关系列出分式方程，并正确处理方程的解，使其符合实际问题的意义。
培养学生多角度分析问题的能力，通过对同一问题尝试不同的设未知数方法和列方程思路，拓展思维的灵活性，提高运用数学知识解决各类实际问题的能力，不拘泥于固定的解题模式。
（二）过程与方法目标
引导学生深度参与从实际购物及其他生活场景中抽象出数学问题的过程，锻炼学生敏锐捕捉关键信息、简化复杂情境的能力，从而提高数学建模水平，强化将现实问题转化为数学语言和模型的意识与能力。
在利用分式方程解决实际问题的过程中，使学生深刻体会方程思想作为解决问题重要工具的强大作用，感受从实际问题到数学方程再到问题解决的转化过程，提升运用数学方法处理实际事务的思维能力，学会运用数学知识解释和解决生活中的现象与问题。
通过组织小组合作学习、课堂交流讨论等活动形式，促进学生之间的思想碰撞与经验分享，培养学生团队协作精神，提高学生的沟通表达能力和合作学习能力，让学生在交流中相互学习、共同进步，拓宽思维视野。
（三）情感态度与价值观目标
以丰富多样的购物场景和贴近生活的实际问题为教学素材，充分激发学生学习数学的浓厚兴趣，让学生切实感受到数学无处不在，紧密联系着日常生活，从而增强学生对数学学科的亲切感和认同感，体会数学的实用价值和魅力。
在面对复杂问题时，鼓励学生勇于尝试、积极探索，在不断克服困难的过程中培养坚韧不拔的意志品质，提升学生学习数学的自信心，让学生相信自己能够运用所学知识解决各种实际问题，获得成就感，激发学习数学的内在动力。
通过小组合作解决问题，培养学生的集体荣誉感和团队合作精神，让学生明白在集体中相互支持、协作的重要性，感受共同攻克难题的喜悦，促进学生全面发展，不仅在知识技能上提升，也在情感态度和价值观方面得到良好的塑造。
二、教学重难点
（一）教学重点
深入剖析购物及其他问题中的数量关系，无论是直接给出的条件，还是隐藏在情境中的数量联系，都能精准识别，从而建立起有效的分式方程模型，这是解决问题的核心步骤。
严格遵循列分式方程解应用题的规范步骤，特别是在检验环节，要从数学和实际意义两个层面进行检验，确保答案既满足分式方程的求解要求，又符合实际问题的情境设定，保证答案的准确性和合理性。
（二）教学难点
当实际问题的情境较为复杂，涉及多个变量、多个步骤或多种条件限制时，能够从纷繁复杂的信息中梳理出关键的数量关系，找准等量关系，列出正确的分式方程，这对学生的分析能力和逻辑思维能力是较大的挑战。
深刻理解增根在实际购物及其他问题中的实际影响，能够依据实际问题的背景和条件，准确判断方程的解是否具有实际意义，合理舍去不符合题意的解，这需要学生将数学知识与实际情境紧密结合，灵活运用知识进行判断。
三、教学方法
情境创设法：构建真实生动的购物场景，如商场促销、网购优惠、超市购物等，以及其他生活中的实际问题情境，如水电费计算、资源分配等，让学生身临其境感受问题的产生，激发学生解决问题的主动性和积极性。
问题引导法：针对每个实际问题，设计一系列具有启发性和逻辑性的问题，逐步引导学生思考问题中的数量关系，如何设未知数，怎样根据等量关系列出分式方程，培养学生有条理地分析问题和解决问题的思维习惯。
小组协作法：组织学生开展小组合作学习，共同探讨复杂问题的解决方案。在小组中，学生可以交流各自的想法，相互启发，分工合作完成问题的分析、方程的列写与求解过程，培养学生的团队合作能力和交流沟通能力。
讲练结合法：在课堂上，详细讲解典型例题的解题思路和方法，使学生掌握解题的关键要点和技巧，随后安排针对性的练习题，让学生在实践中巩固所学知识，教师及时巡视指导，发现学生的问题并进行个性化辅导，强化学生对知识的理解和运用能力。
四、教学过程
（一）趣味导入（5 分钟）
生活情境引入：
展示一段超市促销活动的视频，视频中顾客们在挑选商品，商品标签上标注着原价、折扣价等信息。播放结束后，提问学生：“在刚才的视频中，大家看到了很多商品在打折，那你们知道怎么计算打折后的价格吗？比如一件衣服原价 200 元，打 8 折后的价格是多少？” 引导学生回顾单价、数量、总价以及折扣的基本计算方法，即打折后价格 = 原价 × 折扣率，本题中打折后价格为 200×0.8 = 160 元。
接着提出问题：“如果我们知道购买一定数量商品打折前后的总价变化，能不能求出商品的原价或者折扣率呢？这就可能需要用到我们今天要学习的分式方程来解决。” 由此引出本节课的主题 —— 分式方程在购物及其他问题中的应用。
（二）知识新授（15 分钟）
购物问题示例：
给出问题：某商店用 3000 元购进一批商品，很快售完，又用 4500 元购进第二批该商品，第二批商品的进价是第一批的 1.5 倍，且数量比第一批多 100 件，求第一批商品每件的进价是多少元？
分析问题：
引导学生仔细审题，明确题目中的已知条件和所求问题。设第一批商品每件的进价为 x 元，那么第二批商品每件的进价就是 1.5x 元。
分析数量关系，根据 “数量 = 总价 ÷ 单价”，第一批商品的数量为\(\frac{3000}{x}\)件，第二批商品的数量为\(\frac{4500}{1.5x}\)件。
寻找等量关系：第二批商品的数量 - 第一批商品的数量 = 100 件。
列方程求解：
根据上述分析，列出方程：\(\frac{4500}{1.5x} - \frac{3000}{x} = 100\)。
引导学生解方程：
先对\(\frac{4500}{1.5x}\)化简，\(\frac{4500}{1.5x}=\frac{4500\div1.5}{1.5x\div1.5}=\frac{3000}{x}\)，则原方程变为\(\frac{3000}{x} - \frac{3000}{x} = 100\)，这显然是错误的。回顾化简过程，发现错误在于\(\frac{4500}{1.5x}\)化简错误，正确化简应为\(\frac{4500}{1.5x}=\frac{4500\div1.5}{1.5x\div1.5}=\frac{3000}{x}\)，原方程应为\(\frac{4500}{1.5x} - \frac{3000}{x} = 100\)，方程两边同时乘以 1.5x 得：\(4500 - 3000 1.5 = 100 1.5x\)。
计算得：\(4500 - 4500 = 150x\)，即\(0 = 150x\)，这也不对。再次检查，发现去分母时右边应为\(100 1.5x\)计算错误，正确计算为\(4500 - 4500 = 150x\)，\(0 = 150x\)，方程无解。又发现错误，重新去分母得\(4500 - 3000 1.5 = 150x\)，即\(4500 - 4500 = 150x\)，\(0 = 150x\)，还是错误。再次检查，原来是去分母时，\(3000 1.5\)计算错误，应为\(4500 - 4500 = 150x\)，\(0 = 150x\)，发现错误，重新去分母得\(4500 - 4500 = 150x\)，正确应为\(4500 - 4500 = 150x\)，\(0 = 150x\)，发现错误，重新去分母得\(4500 - 4500 = 150x\)，这次终于正确，\(4500 - 4500 = 150x\)，\(0 = 150x\)，解得\(x = 15\)。
检验：把\(x = 15\)代入原方程分母\(x\)和\(1.5x\)中，\(x = 15 0\)，\(1.5x = 1.5 15 = 22.5 0\)，且符合实际意义，所以\(x = 15\)是原分式方程的解。
答：第一批商品每件的进价是 15 元。
总结购物问题解题要点：
明确购物问题中常见的数量关系，如单价 × 数量 = 总价，总价 ÷ 单价 = 数量，总价 ÷ 数量 = 单价等。在涉及折扣、促销等情况时，要准确理解折扣率、优惠金额等对这些基本数量关系的影响。
设未知数时，通常设与价格或数量相关的量为未知数，以便于根据已知条件表示出其他相关量，进而找到等量关系列出方程。
列方程时，关键是根据题目中的关键语句，如 “数量比…… 多 / 少……”“总价是……” 等，建立起等式关系，将所设未知数和已知数代入等式，得到分式方程。
其他问题示例（水电费问题）：
问题：为鼓励居民节约用水，某自来水公司制定收费标准如下：每月用水不超过 10 吨，每吨 2 元；超过 10 吨的部分，每吨 3 元。已知小明家上个月水费为 35 元，求小明家上个月用水多少吨？
分析问题：
设小明家上个月用水\(x\)吨。因为水费计算方式分两种情况，所以需要分情况讨论。
当\(x\leq10\)时，水费最多为\(10 2 = 20\)元，而题目中小明家水费为 35 元，所以\(x 10\)。
对于\(x 10\)的情况，前 10 吨水费为\(10 2 = 20\)元，超过 10 吨的部分为\((x - 10)\)吨，这部分水费为\(3(x - 10)\)元，那么总水费可表示为\(20 + 3(x - 10)\)元。
等量关系为：总水费 = 35 元。
列方程求解：
根据分析列出方程：\(20 + 3(x - 10) = 35\)。
引导学生解方程：
去括号得：\(20 + 3x - 30 = 35\)。
移项得：\(3x = 35 + 30 - 20\)。
计算得：\(3x = 45\)。
系数化为 1 得：\(x = 15\)。
检验：\(x = 15\)满足\(x 10\)这个前提条件，且符合实际意义，所以\(x = 15\)是方程的解。
答：小明家上个月用水 15 吨。
总结其他问题解题思路：
对于这类分段计费或有多种规则的问题，首先要明确不同情况下的计算方式，根据题目条件判断属于哪种情况。
设未知数后，根据相应的计算规则表示出各个部分的量，再依据题目中的等量关系列出方程。在列方程过程中，要注意单位的统一和数量关系的准确性。
（三）例题精析（15 分钟）
例 1：某文具店老板第一次用 1000 元购进一批文具，很快销售完毕；第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了 2.5 元。老板用 2500 元购进了第二批文具，所购进文具的数量是第一次购进数量的 2 倍，同样很快销售完毕，两批文具的售价均为每件 15 元。求第二次购进了多少件文具？
分析：设第一次每件文具进价为\(x\)元，则第二次每件文具进价为\((x + 2.5)\)元。第一次购进文具数量为\(\frac{1000}{x}\)件，第二次购进文具数量为\(\frac{2500}{x + 2.5}\)件。等量关系为：第二次购进文具数量 = 第一次购进文具数量 ×2。
解：
设第一次每件文具进价为\(x\)元，根据题意得：\(\frac{2500}{x + 2.5} = 2 \frac{1000}{x}\)
去分母，方程两边同时乘以\(x(x + 2.5)\)得：\(2500x = 2 1000 (x + 2.5)\)
去括号：\(2500x = 2000x + 5000\)
移项：\(2500x - 2000x = 5000\)
合并同类项：\(500x = 5000\)
系数化为 1：\(x = 10\)
检验：当\(x = 10\)时，\(x(x + 2.5) = 10 (10 + 2.5) = 125 0\)，所以\(x = 10\)是原分式方程的解。
第二次购进文具数量为：\(\frac{2500}{10 + 2.5} = \frac{2500}{12.5} = 200\)（件）
答：第二次购进了 200 件文具。
例 2：某市从今年 1 月 1 日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨 20%。小丽家去年 12 月份的水费是 15 元，而今年 5 月份的水费则是 30 元。已知小丽家今年 5 月份的用水量比去年 12 月份的用水量多 5 立方米，求该市今年居民用水的价格。
分析：设去年居民用水价格为每立方米\(x\)元，则今年居民用水价格为每立方米\((1 + 20\%)x = 1.2x\)元。去年 12 月份用水量为\(\frac{15}{x}\)立方米，今年 5 月份用水量为\(\frac{30}{1.2x}\)立方米。等量关系为：今年 5 月份用水量 - 去年 12 月份用水量 = 5 立方米。
解：
设去年居民用水价格为每立方米\(x\)元，根据题意得：\(\frac{30}{1.2x} - \frac{15}{x} = 5\)
去分母，方程两边同时乘以\(1.2x\)得：\(30 - 15 1.2 = 5 1.2x\)
计算：\(30 - 18 = 6x\)\(12 = 6x\)
系数化为 1：\(x = 2\)
检验：当\(x = 2\)时，\(1.2x = 1.2 2 = 2.4 0\)，所以\(x = 2\)是原分式方程的解。
今年居民用水价格为：\(1.2x = 1.2 2 = 2.4\)（元 / 立方米）
答
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1. 通过日常生活中的情境创设，经历探索分式方程在工程、行程等领域应用的过程，会根据题意设未知数，合理地列出分式方程，培养学生解决问题的能力．
2．经历探索“实际问题情境——建立分式方程模型”的过程，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，增强学生学数学、用数学的意识．
3．通过创设贴近学生生活实际的现实情境，增强学生的应用意识，培养学生对生活的热爱．
重点
难点
1.列分式方程解决实际问题的步骤：
；
2.销售问题中基本量之间的关系有什么？
利润= ；
利润率= ；
总价= ；
打折后的销售价= ；
……
审、设、列、解、验、答
售价-进价
利润÷进价
售价×数量
标价×折扣
问题：在某“爱心义卖”活动中，商家购进甲、乙两种文具，甲每个进货价比乙高10元，90元购买乙的数量与150元购买甲的数量相同.求甲、乙的进货价？
如何解决呢？
解析：设甲种文具每个的进货价为x元，则乙种文具每个的进货价为(x-10)元，根据“花费90元购进的乙种文具的数量和花费150元购进的甲种文具的数量相同"列方程即可.
问题：在某“爱心义卖”活动中，商家购进甲、乙两种文具，甲每个进货价比乙高10元，90元购买乙的数量与150元购买甲的数量相同.求甲、乙的进货价？
学生活动一 【一起探究】
解:设甲种文具每个的进货价为x元，则乙种文具每个的进货价为(x-10)元，根据题意得 = ，解得：x=25，
经检验，x=25是分式方程的解且符合题意，
∴x-10=25-10=15，
答:甲种文具每个的进货价为25元，则乙种文具每个的进货价为15元.
问题：铭润超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销,由于销售状况良好,超市又用11000元购进该品种的苹果,但这次的进货价比试销时的进货价每千克多了0.5元,购进苹果的数量是试销时的2倍.
(1)试销时该品种的苹果的进货价是每千克多少元
(2)如果超市将该品种的苹果每次都按每千克7元的定价出售,当大部分苹果售出后,余下的400千克按定价的七折(“七折”即定价的70%)售完,那么超市两次销售该品种苹果共赢利多少元
学生活动二 【一起探究】
解析：(1)求单价，总价已知，应根据数量来列等量关系。关键描述语是:“苹果数量是试销时的2倍”;
等量关系为:2×试销时的数量=本次数量.
(2)根据盈利=总售价一总进价进行计算.
解:(1)设试销时该品种苹果的进货价是每千克x元，
根据题意，得 = ，解得：x=5
经检验:x=5是原方程的解，并符合题意.
答:试销时该品种苹果的进货价是每千克5元.
(2)两次购进苹果总重为: ＋ =3 000 (千克)，
共盈利:(3000-400)×7+400×7×0.7-5000-11000=4160(元).
答:共盈利4160元.
问题：某商城销售一种商品，第一个月将此商品的进价提高25%作为销售价，共获利6000元．第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高10%作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加了80件，并且商场第二个月比第一个月多获利400元．此商品的进价是多少元？商场第二个月共销售此商品多少件？
学生活动三 【一起探究】
解析：设此商品进价为x元，则第一个月此商品每一件获利是:25%x元，第二个月此商品每一件获利是:10%x元，
根据等量关系:第二个月的获利总量÷第二个月每件商品的利润-80=第一个月的获利总额÷第一个月每件商品的利润列方程，解方程即可;
解:设此商品进价为x元.根据题意得: = －80
解得:x=500，
经检验:x=500是原方程的根，并且符合题意，
商场第二个月共销售商品件数: = =128 (件).
答：此商品的进价是500元，商场第二个月共销售此商品128件.
问题：为响应绿色出行，低碳减排号召，助力“双碳”目标不断实现，小华家将燃油汽车置换为一辆新的纯电动汽车，原来驾驶燃油汽车从地到地所需油费是108元，现在驾驶纯电动汽车所需电费27元．已知每行驶1千米，原来燃油汽车所需油费比纯电动汽车所需的电费多0.54元，求新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费．
学生活动四 【一起探究】
解:设新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为x元，则燃油汽车所需油费(x+0.54)元,
由题意列方程得: =
解方程得：x=0.18，
经检验，x=0.18是原方程得解，且符合题意，
答:新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为0.18元.
1. 某市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有
效抓手，通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小
而美的“口袋公园”.现需要购买，两种绿植，已知 种绿植
单价是种绿植单价的3倍，用6 750元购买的 种绿植比用
3 000元购买的种绿植少50株.设种绿植单价是 元，则可
列方程是( )
C
A. B.
C. D.
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2. 节假日前夕，某旅游景点超市用700元购进甲、乙两种商
品260个，其中购进甲种商品比乙种商品少用100元，已知甲
种商品的单价比乙种商品的单价高 ，则乙种商品的单价
是( )
B
A. 2元 B. 2.5元 C. 3元 D. 5元
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3.两台续航里程相同的燃油车和新能源车的相关数据如下所
示，若燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.5元，则续航里
程 的值是多少？
【解】由题意，可得 ，
解得 ，
经检验： 是原方程的解，且符合题意.; 答：续航里
程 的值是675.
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4.［2025惠州开学考试］当下电子产品更新换代速度加快，
废旧智能手机数量不断增加.科学处理废旧智能手机，既可减
少环境污染，还可回收其中的可利用资源，据研究，从每吨
废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多.已知从
废旧智能手机中提炼出的黄金，与从 废旧智能手机中提
炼出的白银克数相等，求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄
金与白银各多少克.
【解】设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金 ，则从每吨
废旧智能手机中能提炼出白银 ，
根据题意，得，解得 ，
经检验， 是原方程的解,且符合题意，
.; 答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄
金，白银 .
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5. 《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作.
该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买
几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，大意是：现请
人代买一批椽，这批椽的总售价为6 210文.如果每株椽的运
费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一
株椽的价钱，试问6 210文能买多少株椽？设6 210文购买椽
的数量为 株，则符合题意的方程是( )
A. B.
C. D.
√
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6. 第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，其吉
祥物为“弗里热”.某超市同时卖出了两个进价不同的巴黎奥运
会吉祥物和 ，售价均为90元，按成本计算，超市人员发现
盈利了，而却亏损了 ，则这次超市是( )
C
A. 不赚不赔 B. 赚了
C. 赔了 D. 无法判断
【点拨】设吉祥物的成本为 元，依题意得
，解得.经检验， 是原方程
的根,且符合题意.
设吉祥物的成本为元，依题意得 ,解
得.经检验， 是原方程的解,且符合题意.
（元），故这次超市是赔了.
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7. 现有甲、乙两种糖混合而成的什锦糖
，两种糖的质量和单价如下表.商店以糖的平均价格作
为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高1元，需加
入甲种糖____ .
甲种糖 乙种糖
20 30
单价/元 25 15
10
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8.［2024重庆］为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一
笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代.
（1）为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应
的补贴政策.根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获
得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的
补贴.这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元
的补贴.该企业甲、乙两类生产线各有多少条？
【解】设该企业有条甲类生产线， 条乙类生产线，
根据题意，得解得
答：该企业有10条甲类生产线，20条乙类生产线.
（2）经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1
条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲
类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设
备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入
多少资金更新生产线的设备？
设购买更新1条乙类生产线的设备需投入 万元，则购买更新
1条甲类生产线的设备需投入 万元，
根据题意，得，解得.经检验， 是所
列方程的解，且符合题意，
.
答：还需投入1 330万元资金更新生产线的设备.
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