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【深圳市中考数学备考指南】专题24几何动态问题(易1)
1．（2020九上·相城期中）如图，在矩形ABCD中， ， ，点P从点A出发沿AB以 的速度向点B移动，若出发t秒后， ，则 　 　秒.
【答案】4-
【知识点】勾股定理；矩形的性质；无理方程
【解析】【解答】解：∵在矩形ABCD中， ， ，点P从点A出发沿AB以 的速度向点B移动，
∴PA=2t，PC= ，
∵ ，
∴2t= ，解得：t1=4- ，t2=4+ （舍去），
故答案为：4- .
【分析】由题意可得PA=2t，根据勾股定理表示出PC，由PA=2PC建立方程就可求得t的值.
2．（2024八下·任城期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为　 　s．
【答案】2
【知识点】三角形的面积；一元二次方程的应用-几何问题；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm，
依题意，得：（12﹣2x）（6﹣x）＝16，
整理，得：x2﹣12x+20＝0，
解得：x1＝2，x2＝10（不合题意，舍去）．
故答案为：2．
【分析】设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB=（12-2x）cm，CQ=（6-x）cm，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
3．（【深圳市中考数学备考指南】专题24几何动态问题(易1)）如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△PAQ为等腰三角形？
（2）当t为何值时，△APD的面积为6cm2？
（3）五边形PBCDQ的面积能否达到20cm2？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
（4）当t为何值时，P、Q两点之间的距离为2cm？
【答案】（1）解：根据题意，AQ＝tcm，BP＝2tcm，AP＝（6﹣2t）cm，
∵ΔPAQ为等腰三角形，
∠A=90 °
，即，
解得：t＝2，
∴当t＝2时，△PAQ为等腰三角形
（2）解：，
解得：，
当时，的面积为
（3）解：，
整理得：，
该方程没有实数根，
五边形PBCDQ的面积不能达到
（4）解：在Rt中，，根据题意得：，
化简后得：，
解得：，
（舍去），
所以 当t等于s，P、Q两点之间的距离为2cm？
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形的面积；等腰三角形的性质；四边形-动点问题；列一元二次方程
【解析】【分析】（1）由于∠A=90°。当△PAQ是等腰三角形，只能是AQ=AP。P、Q同时运动，AQ=t，AP=6-2t，代入AQ=AP求出t值。
（2）面积是6，AD=4，AP=6-2t，代入求出t值。
（3） 正方形面积是24，△APQ的面积=，五边形PBCDQ的面积=正方形面积-△PAQ面积，代入列出一元二次方程，根据判别式判断一元二次方程是否有实数根，从而判断五边形PBCDQ的面积是否能等于20.
（4）AQ=t ，AP=6-2t，△APQ是直角三角形，利用勾股定理，列出一元二次方程求解即可。
4．（2023八下·冷水滩期中）如图，矩形中，点P是线段上一动点，O为的中点，的延长线交于Q．
（1）求证：；
（2）若厘米，厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合），设点P运动时间为t秒，请用t表示的长；并求t为何值时，四边形是菱形．
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形
∴，
∴，
又∵O为的中点，
∴，
在与中，
∴，
∴；
（2）解：由题意得，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴时，四边形是菱形，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，
由勾股定理得：，
∴，
解得：，
即运动时间为秒时，四边形是菱形．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形性质可得，则，根据线段中点可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）由题意得，根据全等三角形性质可得，根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，根据矩形性质可得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（1）证明：∵四边形是矩形
∴，
∴，
又∵O为的中点，
∴，
在与中，
∴，
∴；
（2）由题意得，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴时，四边形是菱形，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，
由勾股定理得：，
∴，
解得：，
即运动时间为秒时，四边形是菱形．
5．（2022八下·深圳月考）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA＝3，则PQ的最小值为 （　　）
A． B．2 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作PB⊥OM于B，
根据题意得：当PQ⊥OM时，PQ最小，即PB的长，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=3，
∴PB=PA=3，
∴PQ的最小值为3．
故选C．
【点睛】过点P作PB⊥OM于B，根据题意得：当PQ⊥OM时，PQ最小，即PB的长，根据角平分线性质即可求出答案.
6．（人教版八年级数学上册 13.4 课题学习 最短路径问题 同步练习）如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（　　）
A．BC B．CE C．AD D．AC
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图连接PC，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴PB=PC，
∴PB+PE=PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，
故答案为：B.
【分析】先添加辅助线连接PC，然后根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，从而确定PB=PC，再根据三角形的三边关系可得最小值.
7．（【深圳市中考数学备考指南】专题24几何动态问题(易1)）如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且，N是AC上的动点，则的最小值是　 　．
【答案】10
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的应用；轴对称的应用-最短距离问题；四边形-动点问题；转化思想
【解析】【解答】解：∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点，
∴连接BN，BD，
∴BN＝ND，
∴DN+MN＝BN+MN，
连接BM交AC于点P，
∵点N为AC上的动点，
由三角形两边和大于第三边，
知当点N运动到点P时，
BN+MN＝BP+PM＝BM，
BN+MN的最小值为BM的长度，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD＝8，CM＝8﹣2＝6，∠BCM＝90°，
，
∴DN+MN的最小值是10．
故答案为：10．
【分析】点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点，根据对称性质DN=BN，DN+MN转化成BN+MN。MN、BN、BM构成一个三角形，根据三角形的两边之和大于第三边，所以DN+MN的最小值是BM，在Rt△BCM中，利用勾股定理可求出BM.
8．（【深圳市中考数学备考指南】专题24几何动态问题(易1)）已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，以下结论中不正确的是（　　）
A． B．当时，随的增大而增大
C．周长的最小值是 D．是的一个根
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数的对称性及应用；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】解：
选项A
抛物线的对称轴为：，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0．
∴A不合题意．
选项B
∵抛物线开口向下，对称轴为x＝1，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大．
∴B不合题意．
选项C
待定系数法求出抛物线的解析式是：B(0，3)
∵抛物线关于X=1对称，
∴A的对称点D（3，0）三角形PAB周长=PA+AB+BP，当B、P、D在同一条直线上时，三角形PAB周长最小值是AB+BD， ，
AB+BD=
∴C符合题意。
选项D
抛物线关于X=1对称，
∴A的对称点D（3，0）
∴抛物线过点（3，0）．
∴x＝3是方程ax2+bx+3＝0的根．
∴D不合题意．
排除A，B，D，
故选：．
故答案为：C
【分析】对称轴，可得a、b的数量关系，即可判断A；
根据图像可对选项B作出判断；
根据三角形PAB周长=PA+AB+BP，当B、P、D在同一条直线上时，三角形PAB周长最小值是AB+BD， 利用勾股定理分别计算出AB和BD，便可对选项C，作出判断；
由于A(-1，0)，对称轴x=1，A的对称点坐标（3，0），（3，0）在抛物线上，可对选项D作出判断。
9．（【深圳市中考数学备考指南】专题24几何动态问题(易1)）如图，直线与抛物线交于A，B两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两点之间线段最短；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的动态几何问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：由，
解得，或，
点的坐标为，点的坐标为，
作点关于轴的对称点，连接与轴的交于，则此时的周长最小，点的坐标为，点的坐标为，
设直线的函数解析式为，
解得
直线的函数解析式为，
当时，，
即点的坐标为，
故答案为：．
【分析】先把直线Y=X+1和抛物线 联立解方程组，它们的解就是交点A、B两点坐标。作点关于轴的对称点，连接与轴的交于，周长=AB+AP+PB，要使周长最小必须在同一条直线上，用待定系数法求出的解析式，然后把x=0代入解析式中求出纵坐标的值，问题得到解决。
10．（2021九上·潮阳月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始向B点以2cm/s的速度移动（不与点B重合）；动点Q从点B开始向点C以4cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过　 　秒四边形APQC的面积最小．
【答案】3
【知识点】二次函数的最值；四边形-动点问题
【解析】【解答】设运动时间为t秒时（0≤t≤6），四边形APQC的面积为S，
∵PB＝AB﹣2t＝12﹣2t，BQ＝4t，
∴S△BPQ＝ PB BQ＝ （12﹣2t） 4t＝24t﹣4t2，
∴S＝S△ABC﹣S△BPQ＝ AB BC﹣（24t﹣4t2）＝4t2﹣24t+144，
∵S＝4t2﹣24t+144＝4（t﹣3）2+108，
∴经过3秒四边形APQC的面积最小，
故答案为：3．
【分析】设运动时间为t秒时（0≤t≤6），四边形APQC的面积为S，利用S△ABC﹣S△BPQ即可得到四边形APQC的面积，然后根据二次函数的性质求解即可。
11．（【深圳市中考数学备考指南】专题24几何动态问题(易1)）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若点P是线段AC上方的抛物线上一动点，当△ACP的面积取得最大值时，点P的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；转化思想
【解析】【解答】解：连接PC、PO、PA，
设点坐标令，则，点坐标），令则，解得或10，点坐标，点坐标（-2，0）
当m=5时，面积最大值为，此时点坐标．
故答案为：B。
【分析】先求出A、B、C的坐标，设P点坐标，代入化简，转化成求求二次函数的最大值问题。问题得到解决。
12．（【深圳市中考数学备考指南】专题24几何动态问题(易1)）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点在轴正半轴上，顶点的坐标为是抛物线上一点，且在轴上方．则的最大值为　 　
【答案】15
【知识点】配方法解一元二次方程；二次函数的最值；三角形的面积；菱形的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：是抛物线上一点，设，顶点的坐标为
（4，3），四边形OABC是菱形，轴，
有最大值，最大值为15
故答案为：15
【分析】 已知C(4，3)，OC=5.OABC 是菱形，BC=5，设，△BCD的底是BC，高是D点纵坐标与C点纵坐标的差，用含有x的式子表示△BCD的面积，然后转化成求一元二次方程的最值问题。
13．（【深圳市中考数学备考指南】专题24几何动态问题(易1)）如图，A、B是直线上的两点，厘米，过外一点作，射线BC与所成的锐角，线段厘米，动点P，~Q分别从，同时出发，以每秒1厘米的速度沿由向的方向运动，以每秒2厘米的速度沿由向的方向运动．设P，Q运动的时间为（秒），当时，PA交CD于．
（1）求的面积与的函数关系式；
（2）QE恰好平分的面积时，试求QE的长是多少厘米？
【答案】（1）解：依题可得BP＝t，CQ＝2t，PC＝t﹣2．
∵CD∥AB，
作，垂足为．则
（2）解：此时，C为PB中点，则t﹣2＝2，∴t＝4．
(厘米).
【知识点】已知正弦值求边长；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；三角形的中线
【解析】【分析】（1）BP＝t，CQ＝2t，PC＝t﹣2．CD∥AB，求出EC，继而求出QE，
作，垂足为．则解Rt△PFB，求出PF
，把QE、PF代入求出S与t的关系式。
（2）QE恰好平分△APQ 的面积时，E是AP的中点，由于EC∥AB，所以C也是BP的中点。所以P点的运动时间是4秒。由（1），把t=4代入求值即可求出QE的 长度。
14．（2021八上·深圳期末）如图1，动点P从长方形ABCD的顶点A出发，沿A→C→D以1cm/s的速度运动到点D停止．设点P的运动时间为x（s），△PAB的面积为y（cm2）．表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则长方形ABCD的面积为 　 　cm2．
【答案】60
【知识点】勾股定理；矩形的性质；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象，结合题意可得AC=13cm，CD=25-13=12（cm），
∴AD==5（cm），
∴长方形ABCD的面积为：12×5=60（cm2）．
故答案为：60．
【分析】根据题意得出AC=13cm，CD=25-13=12（cm），利用勾股定理得出AD的值，进而得出答案。
15．（【深圳市中考数学备考指南】专题24几何动态问题(易1)）作出函数的图象，并回答下列问题：
（1）函数图象与轴，轴分别交于点A、B，则点的坐标为　 　，点B的坐标为　 　；
（2）求原点到此函数图象的距离；
（3）在直线上是否存在动点P，使的面积为12，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（3，0）；（0，-4）
（2）解：根据AB(3，0)，(0，-4)可知，OA=3，OB=4，
在Rt中，由勾股定理得：，设原点到函数的距离为，
所以，
解得：，
原点到此函数图象的距离为；
（3）解：由（2）可知原点到函数的距离为，即以O为顶点，BP为底的的高为，
设点P的坐标为，
则，解得：，
即，解得：，
或
则点的坐标是或．
【知识点】一次函数的图象；三角形的面积；勾股定理的应用；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（1）函数的图象如图所示，由图像可得；
故答案为：（3，0）；（0，-4）
【分析】（1）作一次函数的图象采用两点法，当X=0，y=-4，当y=0，x=3，描出两点连线即可作出一次函数的图象。观察图形可知A、B两点的坐标。
（2）原点到函数图象的距离就是直角三角形AOB中斜边AB上的高，三角形AOB的面积=，可求斜边AB边上的高，也就是原点到函数图象的距离。
（3）由（2）知原点到直线AB的距离是，这个距离就是△POB边BP上的高，已知面积12，高是，求出PB的长度是10，设点P的坐标为，B(0，4)根据两点距离公式求出x的值，即可求出P点坐标。
1 / 1【深圳市中考数学备考指南】专题24几何动态问题(易1)
1．（2020九上·相城期中）如图，在矩形ABCD中， ， ，点P从点A出发沿AB以 的速度向点B移动，若出发t秒后， ，则 　 　秒.
2．（2024八下·任城期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为　 　s．
3．（【深圳市中考数学备考指南】专题24几何动态问题(易1)）如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△PAQ为等腰三角形？
（2）当t为何值时，△APD的面积为6cm2？
（3）五边形PBCDQ的面积能否达到20cm2？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
（4）当t为何值时，P、Q两点之间的距离为2cm？
4．（2023八下·冷水滩期中）如图，矩形中，点P是线段上一动点，O为的中点，的延长线交于Q．
（1）求证：；
（2）若厘米，厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合），设点P运动时间为t秒，请用t表示的长；并求t为何值时，四边形是菱形．
5．（2022八下·深圳月考）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA＝3，则PQ的最小值为 （　　）
A． B．2 C．3 D．2
6．（人教版八年级数学上册 13.4 课题学习 最短路径问题 同步练习）如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（　　）
A．BC B．CE C．AD D．AC
7．（【深圳市中考数学备考指南】专题24几何动态问题(易1)）如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且，N是AC上的动点，则的最小值是　 　．
8．（【深圳市中考数学备考指南】专题24几何动态问题(易1)）已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，以下结论中不正确的是（　　）
A． B．当时，随的增大而增大
C．周长的最小值是 D．是的一个根
9．（【深圳市中考数学备考指南】专题24几何动态问题(易1)）如图，直线与抛物线交于A，B两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，点的坐标为　 　．
10．（2021九上·潮阳月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始向B点以2cm/s的速度移动（不与点B重合）；动点Q从点B开始向点C以4cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过　 　秒四边形APQC的面积最小．
11．（【深圳市中考数学备考指南】专题24几何动态问题(易1)）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若点P是线段AC上方的抛物线上一动点，当△ACP的面积取得最大值时，点P的坐标是（　　）
A． B． C． D．
12．（【深圳市中考数学备考指南】专题24几何动态问题(易1)）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点在轴正半轴上，顶点的坐标为是抛物线上一点，且在轴上方．则的最大值为　 　
13．（【深圳市中考数学备考指南】专题24几何动态问题(易1)）如图，A、B是直线上的两点，厘米，过外一点作，射线BC与所成的锐角，线段厘米，动点P，~Q分别从，同时出发，以每秒1厘米的速度沿由向的方向运动，以每秒2厘米的速度沿由向的方向运动．设P，Q运动的时间为（秒），当时，PA交CD于．
（1）求的面积与的函数关系式；
（2）QE恰好平分的面积时，试求QE的长是多少厘米？
14．（2021八上·深圳期末）如图1，动点P从长方形ABCD的顶点A出发，沿A→C→D以1cm/s的速度运动到点D停止．设点P的运动时间为x（s），△PAB的面积为y（cm2）．表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则长方形ABCD的面积为 　 　cm2．
15．（【深圳市中考数学备考指南】专题24几何动态问题(易1)）作出函数的图象，并回答下列问题：
（1）函数图象与轴，轴分别交于点A、B，则点的坐标为　 　，点B的坐标为　 　；
（2）求原点到此函数图象的距离；
（3）在直线上是否存在动点P，使的面积为12，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】4-
【知识点】勾股定理；矩形的性质；无理方程
【解析】【解答】解：∵在矩形ABCD中， ， ，点P从点A出发沿AB以 的速度向点B移动，
∴PA=2t，PC= ，
∵ ，
∴2t= ，解得：t1=4- ，t2=4+ （舍去），
故答案为：4- .
【分析】由题意可得PA=2t，根据勾股定理表示出PC，由PA=2PC建立方程就可求得t的值.
2．【答案】2
【知识点】三角形的面积；一元二次方程的应用-几何问题；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm，
依题意，得：（12﹣2x）（6﹣x）＝16，
整理，得：x2﹣12x+20＝0，
解得：x1＝2，x2＝10（不合题意，舍去）．
故答案为：2．
【分析】设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB=（12-2x）cm，CQ=（6-x）cm，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
3．【答案】（1）解：根据题意，AQ＝tcm，BP＝2tcm，AP＝（6﹣2t）cm，
∵ΔPAQ为等腰三角形，
∠A=90 °
，即，
解得：t＝2，
∴当t＝2时，△PAQ为等腰三角形
（2）解：，
解得：，
当时，的面积为
（3）解：，
整理得：，
该方程没有实数根，
五边形PBCDQ的面积不能达到
（4）解：在Rt中，，根据题意得：，
化简后得：，
解得：，
（舍去），
所以 当t等于s，P、Q两点之间的距离为2cm？
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形的面积；等腰三角形的性质；四边形-动点问题；列一元二次方程
【解析】【分析】（1）由于∠A=90°。当△PAQ是等腰三角形，只能是AQ=AP。P、Q同时运动，AQ=t，AP=6-2t，代入AQ=AP求出t值。
（2）面积是6，AD=4，AP=6-2t，代入求出t值。
（3） 正方形面积是24，△APQ的面积=，五边形PBCDQ的面积=正方形面积-△PAQ面积，代入列出一元二次方程，根据判别式判断一元二次方程是否有实数根，从而判断五边形PBCDQ的面积是否能等于20.
（4）AQ=t ，AP=6-2t，△APQ是直角三角形，利用勾股定理，列出一元二次方程求解即可。
4．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形
∴，
∴，
又∵O为的中点，
∴，
在与中，
∴，
∴；
（2）解：由题意得，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴时，四边形是菱形，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，
由勾股定理得：，
∴，
解得：，
即运动时间为秒时，四边形是菱形．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形性质可得，则，根据线段中点可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）由题意得，根据全等三角形性质可得，根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，根据矩形性质可得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（1）证明：∵四边形是矩形
∴，
∴，
又∵O为的中点，
∴，
在与中，
∴，
∴；
（2）由题意得，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴时，四边形是菱形，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，
由勾股定理得：，
∴，
解得：，
即运动时间为秒时，四边形是菱形．
5．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作PB⊥OM于B，
根据题意得：当PQ⊥OM时，PQ最小，即PB的长，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=3，
∴PB=PA=3，
∴PQ的最小值为3．
故选C．
【点睛】过点P作PB⊥OM于B，根据题意得：当PQ⊥OM时，PQ最小，即PB的长，根据角平分线性质即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图连接PC，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴PB=PC，
∴PB+PE=PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，
故答案为：B.
【分析】先添加辅助线连接PC，然后根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，从而确定PB=PC，再根据三角形的三边关系可得最小值.
7．【答案】10
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的应用；轴对称的应用-最短距离问题；四边形-动点问题；转化思想
【解析】【解答】解：∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点，
∴连接BN，BD，
∴BN＝ND，
∴DN+MN＝BN+MN，
连接BM交AC于点P，
∵点N为AC上的动点，
由三角形两边和大于第三边，
知当点N运动到点P时，
BN+MN＝BP+PM＝BM，
BN+MN的最小值为BM的长度，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD＝8，CM＝8﹣2＝6，∠BCM＝90°，
，
∴DN+MN的最小值是10．
故答案为：10．
【分析】点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点，根据对称性质DN=BN，DN+MN转化成BN+MN。MN、BN、BM构成一个三角形，根据三角形的两边之和大于第三边，所以DN+MN的最小值是BM，在Rt△BCM中，利用勾股定理可求出BM.
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数的对称性及应用；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】解：
选项A
抛物线的对称轴为：，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0．
∴A不合题意．
选项B
∵抛物线开口向下，对称轴为x＝1，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大．
∴B不合题意．
选项C
待定系数法求出抛物线的解析式是：B(0，3)
∵抛物线关于X=1对称，
∴A的对称点D（3，0）三角形PAB周长=PA+AB+BP，当B、P、D在同一条直线上时，三角形PAB周长最小值是AB+BD， ，
AB+BD=
∴C符合题意。
选项D
抛物线关于X=1对称，
∴A的对称点D（3，0）
∴抛物线过点（3，0）．
∴x＝3是方程ax2+bx+3＝0的根．
∴D不合题意．
排除A，B，D，
故选：．
故答案为：C
【分析】对称轴，可得a、b的数量关系，即可判断A；
根据图像可对选项B作出判断；
根据三角形PAB周长=PA+AB+BP，当B、P、D在同一条直线上时，三角形PAB周长最小值是AB+BD， 利用勾股定理分别计算出AB和BD，便可对选项C，作出判断；
由于A(-1，0)，对称轴x=1，A的对称点坐标（3，0），（3，0）在抛物线上，可对选项D作出判断。
9．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两点之间线段最短；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的动态几何问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：由，
解得，或，
点的坐标为，点的坐标为，
作点关于轴的对称点，连接与轴的交于，则此时的周长最小，点的坐标为，点的坐标为，
设直线的函数解析式为，
解得
直线的函数解析式为，
当时，，
即点的坐标为，
故答案为：．
【分析】先把直线Y=X+1和抛物线 联立解方程组，它们的解就是交点A、B两点坐标。作点关于轴的对称点，连接与轴的交于，周长=AB+AP+PB，要使周长最小必须在同一条直线上，用待定系数法求出的解析式，然后把x=0代入解析式中求出纵坐标的值，问题得到解决。
10．【答案】3
【知识点】二次函数的最值；四边形-动点问题
【解析】【解答】设运动时间为t秒时（0≤t≤6），四边形APQC的面积为S，
∵PB＝AB﹣2t＝12﹣2t，BQ＝4t，
∴S△BPQ＝ PB BQ＝ （12﹣2t） 4t＝24t﹣4t2，
∴S＝S△ABC﹣S△BPQ＝ AB BC﹣（24t﹣4t2）＝4t2﹣24t+144，
∵S＝4t2﹣24t+144＝4（t﹣3）2+108，
∴经过3秒四边形APQC的面积最小，
故答案为：3．
【分析】设运动时间为t秒时（0≤t≤6），四边形APQC的面积为S，利用S△ABC﹣S△BPQ即可得到四边形APQC的面积，然后根据二次函数的性质求解即可。
11．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；转化思想
【解析】【解答】解：连接PC、PO、PA，
设点坐标令，则，点坐标），令则，解得或10，点坐标，点坐标（-2，0）
当m=5时，面积最大值为，此时点坐标．
故答案为：B。
【分析】先求出A、B、C的坐标，设P点坐标，代入化简，转化成求求二次函数的最大值问题。问题得到解决。
12．【答案】15
【知识点】配方法解一元二次方程；二次函数的最值；三角形的面积；菱形的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：是抛物线上一点，设，顶点的坐标为
（4，3），四边形OABC是菱形，轴，
有最大值，最大值为15
故答案为：15
【分析】 已知C(4，3)，OC=5.OABC 是菱形，BC=5，设，△BCD的底是BC，高是D点纵坐标与C点纵坐标的差，用含有x的式子表示△BCD的面积，然后转化成求一元二次方程的最值问题。
13．【答案】（1）解：依题可得BP＝t，CQ＝2t，PC＝t﹣2．
∵CD∥AB，
作，垂足为．则
（2）解：此时，C为PB中点，则t﹣2＝2，∴t＝4．
(厘米).
【知识点】已知正弦值求边长；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；三角形的中线
【解析】【分析】（1）BP＝t，CQ＝2t，PC＝t﹣2．CD∥AB，求出EC，继而求出QE，
作，垂足为．则解Rt△PFB，求出PF
，把QE、PF代入求出S与t的关系式。
（2）QE恰好平分△APQ 的面积时，E是AP的中点，由于EC∥AB，所以C也是BP的中点。所以P点的运动时间是4秒。由（1），把t=4代入求值即可求出QE的 长度。
14．【答案】60
【知识点】勾股定理；矩形的性质；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象，结合题意可得AC=13cm，CD=25-13=12（cm），
∴AD==5（cm），
∴长方形ABCD的面积为：12×5=60（cm2）．
故答案为：60．
【分析】根据题意得出AC=13cm，CD=25-13=12（cm），利用勾股定理得出AD的值，进而得出答案。
15．【答案】（1）（3，0）；（0，-4）
（2）解：根据AB(3，0)，(0，-4)可知，OA=3，OB=4，
在Rt中，由勾股定理得：，设原点到函数的距离为，
所以，
解得：，
原点到此函数图象的距离为；
（3）解：由（2）可知原点到函数的距离为，即以O为顶点，BP为底的的高为，
设点P的坐标为，
则，解得：，
即，解得：，
或
则点的坐标是或．
【知识点】一次函数的图象；三角形的面积；勾股定理的应用；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（1）函数的图象如图所示，由图像可得；
故答案为：（3，0）；（0，-4）
【分析】（1）作一次函数的图象采用两点法，当X=0，y=-4，当y=0，x=3，描出两点连线即可作出一次函数的图象。观察图形可知A、B两点的坐标。
（2）原点到函数图象的距离就是直角三角形AOB中斜边AB上的高，三角形AOB的面积=，可求斜边AB边上的高，也就是原点到函数图象的距离。
（3）由（2）知原点到直线AB的距离是，这个距离就是△POB边BP上的高，已知面积12，高是，求出PB的长度是10，设点P的坐标为，B(0，4)根据两点距离公式求出x的值，即可求出P点坐标。
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