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浙江省台州市路桥区2025年初中毕业生学业考试适应性试卷数学试题（二模）
1．（2025·路桥二模）2025年是一个生机勃勃的“双春年”。2025的相反数是（　　）
A．2025 B． C．-2025 D．
2．（2025·路桥二模）如图是由四个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·路桥二模）截止今年4月7日，电影《哪吒之魔道童闹海》的全球票房收入约为1559000万元，位居全球动画电影票房榜第一，将数据1559000用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·路桥二模）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·路桥二模）反比例函数的图像位于（　　）
A．第一、三象限 B．第一、二象限
C．第二、四象限 D．第二、三象限
6．（2025·路桥二模）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点，若，则OB的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2025·路桥二模）如图，在的正方形网格中，线段AB，CD的端点均在格点上，则和的数量关系是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·路桥二模）已知一组数据33，42，42，4●，51，68，第四个阿位数的个位数字被墨水涂污，关于这组数据，下列统计量的计量结果与被涂污数字无关的是（　　）
A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数
9．（2025·路桥二模）已知分式（a，b为常数），的部分取值及对应分式的值如下表，则的值是（　　）
-3 3
无意义 0 2
A．-2 B．-5 C．3 D．4
10．（2025·路桥二模）如图，等边三角形ABC的边长为2，点在边BC上，延长CA至点，使，连接DE交AB于点，记，当x，y的值变化时，下列代数式的值保持不变的是（　　）
A．xy B． C． D．
11．（2025·路桥二模）计算： 　 　．
12．（2025·路桥二模）若是二元一次方程的一个解，则m的值为　 　。
13．（2025·路桥二模）如图，D，E分别是的边AB，AC的中点，将线段DE沿AC方向平移得到线段FC，若，则AC的长是　 　cm．
14．（2025·路桥二模）将50张完全相同的卡片从依次编号，打乱顺序后从中随机抽出一张，则它的编号是10的整数倍的概率为　 　。
15．（2025·路桥二模）如图，的弦CD与直径AB交于点，过点的切线与AB的延长线交于点，连接CA，若，则的度数是　 　。
16．（2025·路桥二模）如图，把正方形ABCD的边DA绕点逆时针旋转，得到线段DF，连接BF并延长交DA于点，连接CE，若，则的值是　 　。
17．（2025·路桥二模）计算：。
18．（2025·路桥二模）解不等式，并把解集在数轴上表示出来。
19．（2025·路桥二模）如图，在等腰三角形ABC中，于点。
（1）求AD的长；
（2）求的值。
20．（2025·路桥二模）某校为了解七年级学生身体素质情况，从该年级抽取120名学生进行跑步测试（男生1000米，女生800米），将测试成绩（分）整理成五组，A：，并绘制成如下不完整的统计图表。（满分均为10分）
跑步测试成绩频数分布表
组别 成绩（分） 频数（人）
男生 女生
A 5 4
B 17 18
C 30 m
D 5 n
E 3 4
女生跑步测试成绩统计图
（1）填空： ▲ ， ▲ ；
（2）已知该校七年级共有1000名学生，若跑步测试成绩不低于6分为优秀，请你估计该校七年级跑步测试成绩达到优秀的人数。
21．（2025·路桥二模）如图，四边形ABCD是菱形，延长AB到点，使，连接DF交CB于点。
（1）请你用无刻度的直尺和圆规把图形补充完整（保留作图痕迹），并证明是BC的中点；
（2）连接DB，若，求DE的长。
22．（2025·路桥二模）甲、乙同学周末相约去爬山，山脚到山顶的路程为720米，由于乙同学因事迟到，等他到达山脚时，甲同学已爬到距离山脚120米的位置，接着两人均以匀速爬山，乙同学在12分钟时停下休息，然后继续按原来的速度爬山，结果两人同时到达山顶。甲、乙同学距离山脚的路程y（米）和乙同学的爬山时间（分钟）之间的函数关系如图所示。
（1）甲同学的爬山速度是 ▲ 米／分，乙同学的爬山速度是 ▲ 米／分；
（2）求线段MN的函数关系式；
（3）乙同学休息结束后，经过几分钟与甲同学之间恰好相距90米？
23．（2025·路桥二模）已知抛物线（m，n是常数）。
（1）当时，求该抛物线的顶点坐标；
（2）当该抛物线的顶点在轴上时，，求的值；
（3）若该抛物线经过点，且当时，函数的最大值为3，求该抛物线的表达式。
24．（2025·路桥二模）如图，DB是平行四边形ABCD的对角线，的外接圆与边BC交于点（不与点B，C重合），连接DE。
（1）求证：；
（2）如图2，连接DO并延长交AB于点。
①求证：DF垂直平分AB；
②若的半径为，求EC的长；
（3）如图3，连接AE，若AE是的平分线，的面积为10，求平行四边形ABCD的面积。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：2025的相反数是
故答案为：C.
【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案.
2．【答案】D
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：主视图底层有两个小正方形，第二层有一个小正方形，且这个小正方形在左边，所以符合题意的是选项D.
故答案为：D.
【分析】根据从前面看到几何体的形状进行判断.
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 时， n是正数；当原数的绝对值 时， n是负数.
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； ∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；
∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除法法则逐项判断解题即可.
5．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵反比例函数 中-8<
∴反比例函数 的图象在二、四象限，
故答案为：C.
【分析】判断反比例函数的比例系数的符号后即可确定正确的选项.
6．【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
又
故答案为：B.
【分析】根据矩形的对角线相等可得， 则可得出答案.
7．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图，
在 和 中，
故答案为：A.
【分析】利用SAS证明 根据全等三角形的性质求出再根据邻补角定义求解即可.
8．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：由题意知，被墨水涂污的数字的十位数是4，这组数据中42已出现2次，次数最多，所以这组数据的众数为42，
所以统计量的计算结果与被涂污数字无关的是众数.
故答案为：D.
【分析】根据平均数、众数、中位数及方差的定义求解即可.
9．【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；分式的值
【解析】【解答】解：由表格可知当 时，分式 无意义，即
解得
当 时，分式
即
即
当 时，分式 即 解得
故答案为：B.
【分析】根据分式无意义求出b的值，根据当 时分式的值是0求出a的值，再把 代入计算即可.
10．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点D作DH∥AC交AB于点H， 过点F作FP⊥AC于点P，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，且边长为2，
∴AB=BC=CA=2，
∠B=∠C =∠BAD=60°，
∵DH∥AC，
∴∠BDH =∠C =60°， ∠FDH =∠E，
∴∠B=∠BDH =60°，
∴△BDH是等边三角形，
∴BD = BH = DH = x，
，
在 和 中，
，
∴在 中，
由勾股定理得：
在 中， 由勾股定理得：
整理得：
∴代数式 的值保持不变，始终为
故答案为：C.
【分析】过点D作DH∥AC交AB于点H， 过点F作FP⊥AC于点P，证明△BDH是等边三角形得BD=BH = DH =x， 则AH =2-x，DH =BD =AE =x， 由此可判定△DHF和△EAF全等， 则DF = EF =y， 在Rt△AFP中， 根据∠AFP=30°得 ， 然后在Rt△EFP中， 由勾股定理得 整理得 据此即可得出答案.
11．【答案】2a
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：3a-a=2a.
故答案为：2a．
【分析】合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此计算.
12．【答案】-1
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将 代入原方程得
解得：
∴m的值为
故答案为：
【分析】将x，y的值入原方程，可得出： 解之即可得出m的值.
13．【答案】12
【知识点】平移的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D， E分别是△ABC的边AB， AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∵将线段DE沿AC方向平移得到线段FC，
∴DE=CF，
∴四边形DECF是平行四边形，
∴CE=DF=6cm，
∵E是△ABC的边AC的中点，
AC=2CE=12(cm)，
故答案为： 12.
【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，根据平行的性质得到DE=CF，根据平行四边形的性质得到CE= DF=6cm， 于是得到结论.
14．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵1~50共有50个数， 10， 20， 30， 40， 50是10的倍数共5个，
∴从中随机抽出一张，则它的编号是10的整数倍的概率为
故答案为：
【分析】直接利用概率公式解答即可
15．【答案】51°
【知识点】圆周角定理；切线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接OC， OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，
∵∠DEA=42°，
∴∠DOE=90°-42°=48°，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=27°，
∴∠COE =∠A+∠ACO=54°，
∴∠COD =∠COE+∠DOE =102°，
∵OC=OD，
∴∠MDE=90°-39°=51°，
故答案为： 51°.
【分析】连接OC， OD， 根据切线的性质得到OD⊥DE，求得∠ODE=90°， 得到∠DOE=90°-42°=48°， 根据等腰三角形的性质得到∠ACO=∠A=27°，根据三角形外角的性质即可得到结论.
16．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接AF， CF， 过F作. 于H， 如图：
∵边DA绕点D逆时针旋转 得到线段DF，
∵四边形ABCD是正方形，.
是等边三角形，
∵AD=DF=CF = BC，
∴△ADF≌△BCF(SAS)，
∴AF=BF，
∴∠FAB=∠FBA，
∴90°-∠FAB=90°-∠FBA， 即∠FAE =∠FEA，
∴AF=EF，
∴BF=EF，
∵∠BAE=90°=∠FHE，
∴HF∥AB，
，
，
故答案为：
【分析】连接AF， CF， 过F作 于H， 求出 可得 再证 ≌知 从而可证 ， 又 故得 最后用勾股定理可得 的值.
17．【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据算术平方根、绝对值、零指数幂的运算法则计算，再根据有理数加减法则计算即可.
18．【答案】解：
把解集在数轴上表示如下：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】先解不等式求出解集，然后在数轴上表示解集即可.
19．【答案】（1），
．
，
．
．
．
（2）由（1），得，
，
．
．
【知识点】勾股定理；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】(1)先求出BD的长，再利用勾股定理求出AD的长即可.
(2)先求出CD的长，进一步得出 的正切，最后借助等腰三角形的性质即可解决问题.
20．【答案】（1）．
（2）样本中优秀的比例为：，
根据样本估计总体，得（人）．
答：估计该校七年级跑步测试成绩达到优秀的人数约为150人．
【知识点】统计表；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】(1)女生的人数有 (人)，
故答案为： 28， 6；
【分析】(1)先根据总人数和男生的人数求出女生的人数，再用女生人数乘D组所占的百分比即可求出n的值，最后计算m的值即可；
(2)用总人数乘D组和E组所占的百分比即可.
21．【答案】（1）作图如图所示：
证明：四边形ABCD是菱形，
．
．
，
．
．
，即是BC的中点．
（2）是BC的中点，
．
四边形ABCD是菱形，
．
．
．
．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)由题意画出图形，再证明 得 即可得出结论；
(2)由线段垂直平分线的性质得则 再由菱形的性质得 ， 则 然后由勾股定理求出DE的长即可.
22．【答案】（1）15，30.
（2）由（1）知，乙爬山的时间为：（分钟），
乙休息的时间为：（分钟）．
点的坐标为．
设线段MN的函数关系式为，
把分别代入上式，得
解得
线段MN的函数关系式为．
（函数关系式的取值范围未写，不扣分）
（3）设甲同学对应函数图象的关系式为，
把分别代入上式，得
解得
甲同学对应函数图象的关系式为．
再由（2），得，
解得．
（分钟）。
乙同学休息结束后，经过6分钟与甲同学之间恰好相距90米.
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】(1)解：甲同学的爬山速度是(米/分钟)，
乙同学的爬山速度是 (米/分钟) .
故答案为： 15， 30.
【分析】(1)根据速度=路程：时间计算即可；
(2)根据时间=路程÷速度求出乙在爬山过程中所用时间，得出求出M的坐标，N的坐标，从而运用待定系数法求出线段MN的函数关系式即可；
(3)根据“乙同学休息结束后，甲同学距山脚的距离--乙同学距山脚的距离=90”列关于x的方程并求解，再根据点M的横坐标计算即可.
23．【答案】（1）当时，
．
抛物线的顶点坐标为．
（2）当抛物线的顶点在轴上时，．
．
把代入上式，得．
（3）把代入，得．
．
．
当抛物线的对称轴在轴左侧时，即．
此时，当时，函数有最大值．
．
解得（不合题意，舍去），
（不合题意，舍去）．
当抛物线的对称轴是轴或在轴右侧时，即．
此时，当时，函数有最大值．
，解得．
抛物线的表达式为．
综上所述，抛物线的表达式为．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；
(2)由题意可知抛物线的顶点在x轴上时，则 ， 则 解得
(3)分两种情况讨论：当 即 时，则 时， 解得 当 即 时， 解得 或 (不合题意，舍去)，进一步求得 ，即可得到抛物线的表达式
24．【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
．
，
．
．
又，
．
（2）①证法1：如图，连接AO，BO．
，
点D，O都在AB的垂直平分线上，
即DF垂直平分AB．
证法2：，
经过圆心，
垂直平分AB．
②由①，得．
，
．
，即．
设，则．
，
由勾股定理，得．
．
．
由勾股定理，得．
由（1），得．
．
．
（3）是的平分线，
．
，
，
．
又，
．
由，得．
设，
则．
解得（不合题意，舍去）．
．
记AD与BC之间的距离为，
则．
，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)由题易得 进而即可得证；
(2) ①由，所以点D，O都在AB的垂直平分线上，进而得证；
②先证 可得 即 ， 在 中，利用勾股定理可得 由勾股定理，得 再由 求解即可；
(3) 先证由 得 进而可求 进而求解即可.
1 / 1浙江省台州市路桥区2025年初中毕业生学业考试适应性试卷数学试题（二模）
1．（2025·路桥二模）2025年是一个生机勃勃的“双春年”。2025的相反数是（　　）
A．2025 B． C．-2025 D．
【答案】C
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：2025的相反数是
故答案为：C.
【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案.
2．（2025·路桥二模）如图是由四个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：主视图底层有两个小正方形，第二层有一个小正方形，且这个小正方形在左边，所以符合题意的是选项D.
故答案为：D.
【分析】根据从前面看到几何体的形状进行判断.
3．（2025·路桥二模）截止今年4月7日，电影《哪吒之魔道童闹海》的全球票房收入约为1559000万元，位居全球动画电影票房榜第一，将数据1559000用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 时， n是正数；当原数的绝对值 时， n是负数.
4．（2025·路桥二模）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； ∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；
∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除法法则逐项判断解题即可.
5．（2025·路桥二模）反比例函数的图像位于（　　）
A．第一、三象限 B．第一、二象限
C．第二、四象限 D．第二、三象限
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵反比例函数 中-8<
∴反比例函数 的图象在二、四象限，
故答案为：C.
【分析】判断反比例函数的比例系数的符号后即可确定正确的选项.
6．（2025·路桥二模）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点，若，则OB的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
又
故答案为：B.
【分析】根据矩形的对角线相等可得， 则可得出答案.
7．（2025·路桥二模）如图，在的正方形网格中，线段AB，CD的端点均在格点上，则和的数量关系是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图，
在 和 中，
故答案为：A.
【分析】利用SAS证明 根据全等三角形的性质求出再根据邻补角定义求解即可.
8．（2025·路桥二模）已知一组数据33，42，42，4●，51，68，第四个阿位数的个位数字被墨水涂污，关于这组数据，下列统计量的计量结果与被涂污数字无关的是（　　）
A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：由题意知，被墨水涂污的数字的十位数是4，这组数据中42已出现2次，次数最多，所以这组数据的众数为42，
所以统计量的计算结果与被涂污数字无关的是众数.
故答案为：D.
【分析】根据平均数、众数、中位数及方差的定义求解即可.
9．（2025·路桥二模）已知分式（a，b为常数），的部分取值及对应分式的值如下表，则的值是（　　）
-3 3
无意义 0 2
A．-2 B．-5 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；分式的值
【解析】【解答】解：由表格可知当 时，分式 无意义，即
解得
当 时，分式
即
即
当 时，分式 即 解得
故答案为：B.
【分析】根据分式无意义求出b的值，根据当 时分式的值是0求出a的值，再把 代入计算即可.
10．（2025·路桥二模）如图，等边三角形ABC的边长为2，点在边BC上，延长CA至点，使，连接DE交AB于点，记，当x，y的值变化时，下列代数式的值保持不变的是（　　）
A．xy B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点D作DH∥AC交AB于点H， 过点F作FP⊥AC于点P，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，且边长为2，
∴AB=BC=CA=2，
∠B=∠C =∠BAD=60°，
∵DH∥AC，
∴∠BDH =∠C =60°， ∠FDH =∠E，
∴∠B=∠BDH =60°，
∴△BDH是等边三角形，
∴BD = BH = DH = x，
，
在 和 中，
，
∴在 中，
由勾股定理得：
在 中， 由勾股定理得：
整理得：
∴代数式 的值保持不变，始终为
故答案为：C.
【分析】过点D作DH∥AC交AB于点H， 过点F作FP⊥AC于点P，证明△BDH是等边三角形得BD=BH = DH =x， 则AH =2-x，DH =BD =AE =x， 由此可判定△DHF和△EAF全等， 则DF = EF =y， 在Rt△AFP中， 根据∠AFP=30°得 ， 然后在Rt△EFP中， 由勾股定理得 整理得 据此即可得出答案.
11．（2025·路桥二模）计算： 　 　．
【答案】2a
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：3a-a=2a.
故答案为：2a．
【分析】合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此计算.
12．（2025·路桥二模）若是二元一次方程的一个解，则m的值为　 　。
【答案】-1
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将 代入原方程得
解得：
∴m的值为
故答案为：
【分析】将x，y的值入原方程，可得出： 解之即可得出m的值.
13．（2025·路桥二模）如图，D，E分别是的边AB，AC的中点，将线段DE沿AC方向平移得到线段FC，若，则AC的长是　 　cm．
【答案】12
【知识点】平移的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D， E分别是△ABC的边AB， AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∵将线段DE沿AC方向平移得到线段FC，
∴DE=CF，
∴四边形DECF是平行四边形，
∴CE=DF=6cm，
∵E是△ABC的边AC的中点，
AC=2CE=12(cm)，
故答案为： 12.
【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，根据平行的性质得到DE=CF，根据平行四边形的性质得到CE= DF=6cm， 于是得到结论.
14．（2025·路桥二模）将50张完全相同的卡片从依次编号，打乱顺序后从中随机抽出一张，则它的编号是10的整数倍的概率为　 　。
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵1~50共有50个数， 10， 20， 30， 40， 50是10的倍数共5个，
∴从中随机抽出一张，则它的编号是10的整数倍的概率为
故答案为：
【分析】直接利用概率公式解答即可
15．（2025·路桥二模）如图，的弦CD与直径AB交于点，过点的切线与AB的延长线交于点，连接CA，若，则的度数是　 　。
【答案】51°
【知识点】圆周角定理；切线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接OC， OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，
∵∠DEA=42°，
∴∠DOE=90°-42°=48°，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=27°，
∴∠COE =∠A+∠ACO=54°，
∴∠COD =∠COE+∠DOE =102°，
∵OC=OD，
∴∠MDE=90°-39°=51°，
故答案为： 51°.
【分析】连接OC， OD， 根据切线的性质得到OD⊥DE，求得∠ODE=90°， 得到∠DOE=90°-42°=48°， 根据等腰三角形的性质得到∠ACO=∠A=27°，根据三角形外角的性质即可得到结论.
16．（2025·路桥二模）如图，把正方形ABCD的边DA绕点逆时针旋转，得到线段DF，连接BF并延长交DA于点，连接CE，若，则的值是　 　。
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接AF， CF， 过F作. 于H， 如图：
∵边DA绕点D逆时针旋转 得到线段DF，
∵四边形ABCD是正方形，.
是等边三角形，
∵AD=DF=CF = BC，
∴△ADF≌△BCF(SAS)，
∴AF=BF，
∴∠FAB=∠FBA，
∴90°-∠FAB=90°-∠FBA， 即∠FAE =∠FEA，
∴AF=EF，
∴BF=EF，
∵∠BAE=90°=∠FHE，
∴HF∥AB，
，
，
故答案为：
【分析】连接AF， CF， 过F作 于H， 求出 可得 再证 ≌知 从而可证 ， 又 故得 最后用勾股定理可得 的值.
17．（2025·路桥二模）计算：。
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据算术平方根、绝对值、零指数幂的运算法则计算，再根据有理数加减法则计算即可.
18．（2025·路桥二模）解不等式，并把解集在数轴上表示出来。
【答案】解：
把解集在数轴上表示如下：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】先解不等式求出解集，然后在数轴上表示解集即可.
19．（2025·路桥二模）如图，在等腰三角形ABC中，于点。
（1）求AD的长；
（2）求的值。
【答案】（1），
．
，
．
．
．
（2）由（1），得，
，
．
．
【知识点】勾股定理；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】(1)先求出BD的长，再利用勾股定理求出AD的长即可.
(2)先求出CD的长，进一步得出 的正切，最后借助等腰三角形的性质即可解决问题.
20．（2025·路桥二模）某校为了解七年级学生身体素质情况，从该年级抽取120名学生进行跑步测试（男生1000米，女生800米），将测试成绩（分）整理成五组，A：，并绘制成如下不完整的统计图表。（满分均为10分）
跑步测试成绩频数分布表
组别 成绩（分） 频数（人）
男生 女生
A 5 4
B 17 18
C 30 m
D 5 n
E 3 4
女生跑步测试成绩统计图
（1）填空： ▲ ， ▲ ；
（2）已知该校七年级共有1000名学生，若跑步测试成绩不低于6分为优秀，请你估计该校七年级跑步测试成绩达到优秀的人数。
【答案】（1）．
（2）样本中优秀的比例为：，
根据样本估计总体，得（人）．
答：估计该校七年级跑步测试成绩达到优秀的人数约为150人．
【知识点】统计表；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】(1)女生的人数有 (人)，
故答案为： 28， 6；
【分析】(1)先根据总人数和男生的人数求出女生的人数，再用女生人数乘D组所占的百分比即可求出n的值，最后计算m的值即可；
(2)用总人数乘D组和E组所占的百分比即可.
21．（2025·路桥二模）如图，四边形ABCD是菱形，延长AB到点，使，连接DF交CB于点。
（1）请你用无刻度的直尺和圆规把图形补充完整（保留作图痕迹），并证明是BC的中点；
（2）连接DB，若，求DE的长。
【答案】（1）作图如图所示：
证明：四边形ABCD是菱形，
．
．
，
．
．
，即是BC的中点．
（2）是BC的中点，
．
四边形ABCD是菱形，
．
．
．
．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)由题意画出图形，再证明 得 即可得出结论；
(2)由线段垂直平分线的性质得则 再由菱形的性质得 ， 则 然后由勾股定理求出DE的长即可.
22．（2025·路桥二模）甲、乙同学周末相约去爬山，山脚到山顶的路程为720米，由于乙同学因事迟到，等他到达山脚时，甲同学已爬到距离山脚120米的位置，接着两人均以匀速爬山，乙同学在12分钟时停下休息，然后继续按原来的速度爬山，结果两人同时到达山顶。甲、乙同学距离山脚的路程y（米）和乙同学的爬山时间（分钟）之间的函数关系如图所示。
（1）甲同学的爬山速度是 ▲ 米／分，乙同学的爬山速度是 ▲ 米／分；
（2）求线段MN的函数关系式；
（3）乙同学休息结束后，经过几分钟与甲同学之间恰好相距90米？
【答案】（1）15，30.
（2）由（1）知，乙爬山的时间为：（分钟），
乙休息的时间为：（分钟）．
点的坐标为．
设线段MN的函数关系式为，
把分别代入上式，得
解得
线段MN的函数关系式为．
（函数关系式的取值范围未写，不扣分）
（3）设甲同学对应函数图象的关系式为，
把分别代入上式，得
解得
甲同学对应函数图象的关系式为．
再由（2），得，
解得．
（分钟）。
乙同学休息结束后，经过6分钟与甲同学之间恰好相距90米.
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】(1)解：甲同学的爬山速度是(米/分钟)，
乙同学的爬山速度是 (米/分钟) .
故答案为： 15， 30.
【分析】(1)根据速度=路程：时间计算即可；
(2)根据时间=路程÷速度求出乙在爬山过程中所用时间，得出求出M的坐标，N的坐标，从而运用待定系数法求出线段MN的函数关系式即可；
(3)根据“乙同学休息结束后，甲同学距山脚的距离--乙同学距山脚的距离=90”列关于x的方程并求解，再根据点M的横坐标计算即可.
23．（2025·路桥二模）已知抛物线（m，n是常数）。
（1）当时，求该抛物线的顶点坐标；
（2）当该抛物线的顶点在轴上时，，求的值；
（3）若该抛物线经过点，且当时，函数的最大值为3，求该抛物线的表达式。
【答案】（1）当时，
．
抛物线的顶点坐标为．
（2）当抛物线的顶点在轴上时，．
．
把代入上式，得．
（3）把代入，得．
．
．
当抛物线的对称轴在轴左侧时，即．
此时，当时，函数有最大值．
．
解得（不合题意，舍去），
（不合题意，舍去）．
当抛物线的对称轴是轴或在轴右侧时，即．
此时，当时，函数有最大值．
，解得．
抛物线的表达式为．
综上所述，抛物线的表达式为．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；
(2)由题意可知抛物线的顶点在x轴上时，则 ， 则 解得
(3)分两种情况讨论：当 即 时，则 时， 解得 当 即 时， 解得 或 (不合题意，舍去)，进一步求得 ，即可得到抛物线的表达式
24．（2025·路桥二模）如图，DB是平行四边形ABCD的对角线，的外接圆与边BC交于点（不与点B，C重合），连接DE。
（1）求证：；
（2）如图2，连接DO并延长交AB于点。
①求证：DF垂直平分AB；
②若的半径为，求EC的长；
（3）如图3，连接AE，若AE是的平分线，的面积为10，求平行四边形ABCD的面积。
【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
．
，
．
．
又，
．
（2）①证法1：如图，连接AO，BO．
，
点D，O都在AB的垂直平分线上，
即DF垂直平分AB．
证法2：，
经过圆心，
垂直平分AB．
②由①，得．
，
．
，即．
设，则．
，
由勾股定理，得．
．
．
由勾股定理，得．
由（1），得．
．
．
（3）是的平分线，
．
，
，
．
又，
．
由，得．
设，
则．
解得（不合题意，舍去）．
．
记AD与BC之间的距离为，
则．
，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)由题易得 进而即可得证；
(2) ①由，所以点D，O都在AB的垂直平分线上，进而得证；
②先证 可得 即 ， 在 中，利用勾股定理可得 由勾股定理，得 再由 求解即可；
(3) 先证由 得 进而可求 进而求解即可.
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