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浙江省杭州市滨江区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·滨江期末）下列调查中，适宜采用全面调查的是（　　）
A．了解一批圆珠笔的使用寿命
B．了解某市初中学生是否知道父母的生日
C．企业招聘，对应聘人员进行面试
D．考察人们保护海洋的意识
2．（2024七下·滨江期末）下列方程中，属于二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024七下·滨江期末）图中与为内错角的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024七下·滨江期末）下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024七下·滨江期末）若是二元一次方程的一个解，则的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2024七下·滨江期末）要使分式有意义，x的取值应满足（　　）
A． B． C．或 D．且
7．（2024七下·滨江期末）若，，则（　　）
A． B． C．5 D．6
8．（2024七下·滨江期末）某市为美化城市环境，计划在道路两旁种植花卉20万株，由于工作人员的齐心协力，实际每天种植花卉比原计划多，结果提前2天完成任务．设原计划每天种植x万株，则可列方程（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024七下·滨江期末）将长方形纸片按图所示方式进行折叠，且满足．若增大10°，则（　　）
A．增大 B．减少 C．不变 D．增大
10．（2024七下·滨江期末）对于实数a，b，定义一种运算：
①．
②当时，则．
上述结论正确的是（　　）
A．①②都正确 B．①错误②正确
C．①正确②错误 D．①②都错误
11．（2024七下·滨江期末）计算：　 　．
12．（2024七下·滨江期末）一个容量为50的样本，该样本的数据分别落在4个组内，若第1，2，3组数据的频率分别是0.1，0.3，0.4，则第4组的频数为　 　．
13．（2024七下·滨江期末）1纳米=米，1微米毫米，则1纳米=　 　微米（用科学记数法表述）．
14．（2024七下·滨江期末）利用可求某些整式的最值．例如，，由知，当时，多项式有最小值1．对于多项式，当　 　时，有最小值是　 　．
15．（2024七下·滨江期末）如图，点C在线段上，分别以和为边，在线段同侧作正方形、正方形，连接．若两正方形面积和为40，三角形面积为6，则　 　．
16．（2024七下·滨江期末）已知，．
（1）若，则c与a的等量关系是　 　．
（2）若，则　 　．（用含k，t的代数式表示）
17．（2024七下·滨江期末）计算：
（1）．
（2）．
（3）．
18．（2024七下·滨江期末）分解因式：
（1）．
（2）．
（3）．
19．（2024七下·滨江期末）解下列方程（组）：
（1）
（2）
（3）．
20．（2024七下·滨江期末）某校为了解学生对人工智能相关知识的掌握情况，从全校600名学生中随机抽取部分学生进行“人工智能知识”竞赛，并对此竞赛成绩进行统计，绘制成如下不完整的直方图和扇形统计图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）：
根据该图所给的信息，解答下列问题：
（1）求扇形统计图中80~90分所对应的圆心角的度数．
（2）若80分及以上为优秀，试估计该校“人工智能知识”竞赛成绩优秀学生的人数．
21．（2024七下·滨江期末）某商店计划销售进价分别为每台8000元，6000元的A款，B款跑步机，该商店用万元购进这两款跑步机共20台．
（1）该商店购进A款和B款跑步机各多少台？
（2）若A款和B款跑步机的售价分别为10000元和8500元，售出部分跑步机后，商店决定按售价的8折清仓处理，A，B两款跑步机全部售出后，共获利28900元，问打折前售出A，B两款跑步机各多少台？
22．（2024七下·滨江期末）如图，，点E，P，F分别在，，上，连结，，且满足．
（1）若，求的度数．
（2）若度，度，探索m，n之间的数量关系，并说明理由．
23．（2024七下·滨江期末）【综合与实践】制作靠垫面子．
材料准备：两块完全相同的长方形布料（），其它若干布料．
【操作1】小江把长方形布料裁成形状、大小都相同的四块（如图①），拼成如图②的大正方形靠垫面子，其中，正中部分从其它布料处裁得．求从其它布料处裁得的正中部分的小正方形布料的面积．（裁剪、接缝处布料忽略不计，结果用a，b表示）
【操作2】小滨把长方形布料裁成如图③形状的四块，每一块形状、大小都相同，拼成如图④的大正方形靠垫面子，其中，正中部分从其它布料处裁得（裁剪、接缝处布料忽略不计）．若原长方形布料的面积为90平方分米，图②中的大正方形靠垫面子的面积为106平方分米，试求图④中的大正方形靠垫面子的面积．
24．（2024七下·滨江期末）定义：代数式中只含有两个字母（如x，y），若把其中的一个字母（x）均换成另一个字母（y），同时另一个字母（y）均换成这个字母（x），若所得代数式是和原代数式相同的代数式，我们称这样的代数式为“对称式”．如，，等．
（1）代数式①，②，③，④中，是对称式的有____．
（2）若关于m，n的代数式（k是常数，）是对称式，求常数k的值．
（3）在（2）的条件下，若，当时，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、了解一批圆珠笔的使用寿命，适宜采用抽样调查，故A不符合题意；
B、了解某市初中学生是否知道父母的生日，适宜采用抽样调查，故B不符合题意；
C、企业招聘，对应聘人员进行面试，适宜采用全面调查，故C符合题意；
D、考察人们保护海洋的意识，适宜采用抽样调查，故D不符合题意；
故选：C．
【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
2．【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意；
B、不是等式，它不是方程，故本选项不符合题意；
C、该方程不是二元一次方程，因为其未知数的项的最高次数为2，故本选项不符合题意；
D、该方程符合二元一次方程的定义，故本选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据二元一次方程的定义“只含有2个未知数，未知数的项的最高次数是1的整式方程”逐项判断解题．
3．【答案】C
【知识点】内错角的概念
【解析】【解答】解：根据内错角的定义，选项C中的和是内错角，选项B为内角，其它两个选项什么角都不是；
故选：C．
【分析】根据内错角的定义“截线的两侧，被截线的内部的两个角是内错角”逐项解答即可．
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意．
故选：B．
【分析】根据同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方法则逐项判断解答即可．
5．【答案】A
【知识点】二元一次方程的解；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵是二元一次方程的一个解，
∴，即，
∴，
故选：A．
【分析】将x与y的值代入原方程得到 ，然后整体代入计算解题．
6．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：且，
故选：D．
【分析】根据分式的分母不等于零解答即可．
7．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴得，，
∴，
故选：C．
【分析】根据完全平方公式的变形解答即可．
8．【答案】A
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：设原计划每天植树万棵，则实际每天植树万棵，
根据题意得：．
故选：A．
【分析】 设原计划每天种植x万株，根据“ 实际每天种植花卉比原计划多， 提前2天完成任务”列分式方程即可．
9．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，、是直线上的两点，
根据折叠的性质得，，，
∵，
，，
，，
，
∵，
，
，
，
若增大，则减少，
故选：B．
【分析】根据折叠可得，，然后根据两直线平行，内错角相等得到，，利用邻补角定义得到，即可得到，解答即可．
10．【答案】C
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：，，
则，
那么①正确；
时，
即，
整理得：，
，
则，
那么②错误；
故选：C．
【分析】根据新定义的运算法则列等式，求出a的值即可．
11．【答案】
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】把除法化为乘法，然后约分化为最简分式即可．
12．【答案】10
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：由题意得：第4组数据的频率，
∴第4组的频数，
故答案为：10．
【分析】用整体1减去其它组的频率求出第四组数据的频率，再利用频数＝总次数×频率计算解题．
13．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】1纳米米毫米毫米微米微米，
故答案为：．
【分析】科学记数法的一般形式为，其中1≤|a|<10，n为左边第一个不为零的数字前面的0个数的相反数．
14．【答案】；
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
．
由，
当时，多项式有最小值．
故答案为：，．
【分析】将多项式化为完全平方式，根据偶次方为非负数求出最值即可．
15．【答案】4
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：设，，则，
∵三角形面积为6，
∴，
∴
∵正方形、正方形面积和为40，
∴，
∴，
∴，
∴，
将①代入②得，
∴（负值已舍去）
∴，
故答案为：4．
【分析】根据三角形面积为6可得，利用两正方形的面积和为40可得，然后整体代入计算解答即可．
16．【答案】；
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：（1）已知，，
，
，
，，
，，
则，
那么，
故答案为：；
（2）已知，，
则，，
，
，
，
则
，
故答案为：．
【分析】
（1）把t和k的值代入，运用代入消元法去掉字母b解答即可；
（2）把式子变形表示a和c，然后整体代入化简解答即可．
17．【答案】（1）解：
；

（2）解：
；

（3）解：
．

【知识点】整式的混合运算；分式的加减法；多项式除以单项式
【解析】【分析】（1）利用多项式除以单项式的运算法则解答即可；
（2）先利用完全平方公式、平方差公式展开，再合并同类项解答即可；
（3）把括号内的分式通分，再把除法化为乘法，然后把分子、分母因式分解约分即可．
18．【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式．
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）先提取公因式，然后运用平方差公式分解因式即可；
（2）提取负号，然后利用完全平方公式分解因式；
（3）根据完全平方公式运算，再利用平方差公式分解因式即可．
19．【答案】（1）解：，
将②代入①得，
，
解得，
把代入②得，，
∴方程组的解为；
（2）解：，
将①整体代入②得，
，
解得，
把代入①得，，
解得，
∴方程组的解为；
（3）解：，
两边都乘以得，，
解得，
经检验是原方程的根，
∴方程的解为：．
【知识点】解分式方程；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）用代入消元法解二元一次方程组即可；
（2）运用代入消元法解二元一次方程组即可；
（3）两边同时乘以化成整式方程，求出整式方程的解，然后检验解题即可.
20．【答案】（1）解：抽取的学生人数为（人），
成绩为分的人数为（人），
扇形统计图中分所对应的圆心角的度数为．
（2）解：（人）．
估计该校“人工智能知识”竞赛成绩优秀学生的人数约360人．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）利用分的人数除以占比可得抽取的学生人数，然后运用乘以成绩为分的人数占比即可得出答案．
（2）用600乘以样本中成绩为分以及分的学生人数占比解答即可．
21．【答案】（1）解：设该商店购进款跑步机台，则购进款跑步机台，
由题意可得：，
解得，
，
答：该商店购进款跑步机12台，则购进款跑步机8台；
（2）解：设打折前款跑步机售出台，款跑步机售出台，
由题意可得：，
化简，得：，
、均为正整数，
解得，，
答：打折前款跑步机售出7台，款跑步机售出5台．
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设该商店购进款跑步机台，根据“用万元购进这两款跑步机共20台”列一元一次方程解答即可；
（2）设打折前款跑步机售出台，款跑步机售出台，根据题意列二元一次方程，求a，b的整数解即可．
22．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：延长交反向延长线于K，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补解答即可．
（2）延长交反向延长线于K，根据两直线平行，内错角相等得到，根据垂直可得，然后根据三角形的外角解答即可．
23．【答案】解：操作1：∵图②大正方形的边长为，
∴图②大正方形的面积为，
∴图②中间小正方形的面积为；
操作2：根据题意得：
，
得：，
解得（负值已舍去），
∴③，
把③代入①得：，
解得或，
当时，；当时，，
∵，
∴，，
∴图④大正方形面积为（平方分米）．
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理；图形的剪拼
【解析】【分析】操作1：根据图形的剪拼及勾股定理表示出图②大正方形的边长，进而根据正中部分的小正方形布料的面积=大正方形的面积－图①的面积，列式即可；
操作2：由图③面积为90平方分米，列方程2a×2b=90，由图②中的大正方形靠垫面子面积为106平方分米，列出a2+4b2=106，联立求解得出a、b的值，再根据图④求正方形的面积.
24．【答案】（1）②③④
（2）解：∵是对称式，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：由题意，得：∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的加减法
【解析】【解答】（1）解：对于①，将互换后，得到，不符合题意；
对于②，将互换后，得到，符合题意；
对于③，将互换后，得到，符合题意；
对于④，将互换后，得到，符合题意；
故答案为：②③④
【分析】（1）利用新定义的运算法则逐一判断解答；
（2）根据新定义的运算法则运算即可求出k的值；
（3）将值代入求出，mn的值，根据完全平方公式的变形解答即可．
1 / 1浙江省杭州市滨江区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·滨江期末）下列调查中，适宜采用全面调查的是（　　）
A．了解一批圆珠笔的使用寿命
B．了解某市初中学生是否知道父母的生日
C．企业招聘，对应聘人员进行面试
D．考察人们保护海洋的意识
【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、了解一批圆珠笔的使用寿命，适宜采用抽样调查，故A不符合题意；
B、了解某市初中学生是否知道父母的生日，适宜采用抽样调查，故B不符合题意；
C、企业招聘，对应聘人员进行面试，适宜采用全面调查，故C符合题意；
D、考察人们保护海洋的意识，适宜采用抽样调查，故D不符合题意；
故选：C．
【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
2．（2024七下·滨江期末）下列方程中，属于二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意；
B、不是等式，它不是方程，故本选项不符合题意；
C、该方程不是二元一次方程，因为其未知数的项的最高次数为2，故本选项不符合题意；
D、该方程符合二元一次方程的定义，故本选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据二元一次方程的定义“只含有2个未知数，未知数的项的最高次数是1的整式方程”逐项判断解题．
3．（2024七下·滨江期末）图中与为内错角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】内错角的概念
【解析】【解答】解：根据内错角的定义，选项C中的和是内错角，选项B为内角，其它两个选项什么角都不是；
故选：C．
【分析】根据内错角的定义“截线的两侧，被截线的内部的两个角是内错角”逐项解答即可．
4．（2024七下·滨江期末）下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意．
故选：B．
【分析】根据同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方法则逐项判断解答即可．
5．（2024七下·滨江期末）若是二元一次方程的一个解，则的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】二元一次方程的解；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵是二元一次方程的一个解，
∴，即，
∴，
故选：A．
【分析】将x与y的值代入原方程得到 ，然后整体代入计算解题．
6．（2024七下·滨江期末）要使分式有意义，x的取值应满足（　　）
A． B． C．或 D．且
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：且，
故选：D．
【分析】根据分式的分母不等于零解答即可．
7．（2024七下·滨江期末）若，，则（　　）
A． B． C．5 D．6
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴得，，
∴，
故选：C．
【分析】根据完全平方公式的变形解答即可．
8．（2024七下·滨江期末）某市为美化城市环境，计划在道路两旁种植花卉20万株，由于工作人员的齐心协力，实际每天种植花卉比原计划多，结果提前2天完成任务．设原计划每天种植x万株，则可列方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：设原计划每天植树万棵，则实际每天植树万棵，
根据题意得：．
故选：A．
【分析】 设原计划每天种植x万株，根据“ 实际每天种植花卉比原计划多， 提前2天完成任务”列分式方程即可．
9．（2024七下·滨江期末）将长方形纸片按图所示方式进行折叠，且满足．若增大10°，则（　　）
A．增大 B．减少 C．不变 D．增大
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，、是直线上的两点，
根据折叠的性质得，，，
∵，
，，
，，
，
∵，
，
，
，
若增大，则减少，
故选：B．
【分析】根据折叠可得，，然后根据两直线平行，内错角相等得到，，利用邻补角定义得到，即可得到，解答即可．
10．（2024七下·滨江期末）对于实数a，b，定义一种运算：
①．
②当时，则．
上述结论正确的是（　　）
A．①②都正确 B．①错误②正确
C．①正确②错误 D．①②都错误
【答案】C
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：，，
则，
那么①正确；
时，
即，
整理得：，
，
则，
那么②错误；
故选：C．
【分析】根据新定义的运算法则列等式，求出a的值即可．
11．（2024七下·滨江期末）计算：　 　．
【答案】
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】把除法化为乘法，然后约分化为最简分式即可．
12．（2024七下·滨江期末）一个容量为50的样本，该样本的数据分别落在4个组内，若第1，2，3组数据的频率分别是0.1，0.3，0.4，则第4组的频数为　 　．
【答案】10
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：由题意得：第4组数据的频率，
∴第4组的频数，
故答案为：10．
【分析】用整体1减去其它组的频率求出第四组数据的频率，再利用频数＝总次数×频率计算解题．
13．（2024七下·滨江期末）1纳米=米，1微米毫米，则1纳米=　 　微米（用科学记数法表述）．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】1纳米米毫米毫米微米微米，
故答案为：．
【分析】科学记数法的一般形式为，其中1≤|a|<10，n为左边第一个不为零的数字前面的0个数的相反数．
14．（2024七下·滨江期末）利用可求某些整式的最值．例如，，由知，当时，多项式有最小值1．对于多项式，当　 　时，有最小值是　 　．
【答案】；
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
．
由，
当时，多项式有最小值．
故答案为：，．
【分析】将多项式化为完全平方式，根据偶次方为非负数求出最值即可．
15．（2024七下·滨江期末）如图，点C在线段上，分别以和为边，在线段同侧作正方形、正方形，连接．若两正方形面积和为40，三角形面积为6，则　 　．
【答案】4
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：设，，则，
∵三角形面积为6，
∴，
∴
∵正方形、正方形面积和为40，
∴，
∴，
∴，
∴，
将①代入②得，
∴（负值已舍去）
∴，
故答案为：4．
【分析】根据三角形面积为6可得，利用两正方形的面积和为40可得，然后整体代入计算解答即可．
16．（2024七下·滨江期末）已知，．
（1）若，则c与a的等量关系是　 　．
（2）若，则　 　．（用含k，t的代数式表示）
【答案】；
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：（1）已知，，
，
，
，，
，，
则，
那么，
故答案为：；
（2）已知，，
则，，
，
，
，
则
，
故答案为：．
【分析】
（1）把t和k的值代入，运用代入消元法去掉字母b解答即可；
（2）把式子变形表示a和c，然后整体代入化简解答即可．
17．（2024七下·滨江期末）计算：
（1）．
（2）．
（3）．
【答案】（1）解：
；

（2）解：
；

（3）解：
．

【知识点】整式的混合运算；分式的加减法；多项式除以单项式
【解析】【分析】（1）利用多项式除以单项式的运算法则解答即可；
（2）先利用完全平方公式、平方差公式展开，再合并同类项解答即可；
（3）把括号内的分式通分，再把除法化为乘法，然后把分子、分母因式分解约分即可．
18．（2024七下·滨江期末）分解因式：
（1）．
（2）．
（3）．
【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式．
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）先提取公因式，然后运用平方差公式分解因式即可；
（2）提取负号，然后利用完全平方公式分解因式；
（3）根据完全平方公式运算，再利用平方差公式分解因式即可．
19．（2024七下·滨江期末）解下列方程（组）：
（1）
（2）
（3）．
【答案】（1）解：，
将②代入①得，
，
解得，
把代入②得，，
∴方程组的解为；
（2）解：，
将①整体代入②得，
，
解得，
把代入①得，，
解得，
∴方程组的解为；
（3）解：，
两边都乘以得，，
解得，
经检验是原方程的根，
∴方程的解为：．
【知识点】解分式方程；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）用代入消元法解二元一次方程组即可；
（2）运用代入消元法解二元一次方程组即可；
（3）两边同时乘以化成整式方程，求出整式方程的解，然后检验解题即可.
20．（2024七下·滨江期末）某校为了解学生对人工智能相关知识的掌握情况，从全校600名学生中随机抽取部分学生进行“人工智能知识”竞赛，并对此竞赛成绩进行统计，绘制成如下不完整的直方图和扇形统计图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）：
根据该图所给的信息，解答下列问题：
（1）求扇形统计图中80~90分所对应的圆心角的度数．
（2）若80分及以上为优秀，试估计该校“人工智能知识”竞赛成绩优秀学生的人数．
【答案】（1）解：抽取的学生人数为（人），
成绩为分的人数为（人），
扇形统计图中分所对应的圆心角的度数为．
（2）解：（人）．
估计该校“人工智能知识”竞赛成绩优秀学生的人数约360人．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）利用分的人数除以占比可得抽取的学生人数，然后运用乘以成绩为分的人数占比即可得出答案．
（2）用600乘以样本中成绩为分以及分的学生人数占比解答即可．
21．（2024七下·滨江期末）某商店计划销售进价分别为每台8000元，6000元的A款，B款跑步机，该商店用万元购进这两款跑步机共20台．
（1）该商店购进A款和B款跑步机各多少台？
（2）若A款和B款跑步机的售价分别为10000元和8500元，售出部分跑步机后，商店决定按售价的8折清仓处理，A，B两款跑步机全部售出后，共获利28900元，问打折前售出A，B两款跑步机各多少台？
【答案】（1）解：设该商店购进款跑步机台，则购进款跑步机台，
由题意可得：，
解得，
，
答：该商店购进款跑步机12台，则购进款跑步机8台；
（2）解：设打折前款跑步机售出台，款跑步机售出台，
由题意可得：，
化简，得：，
、均为正整数，
解得，，
答：打折前款跑步机售出7台，款跑步机售出5台．
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设该商店购进款跑步机台，根据“用万元购进这两款跑步机共20台”列一元一次方程解答即可；
（2）设打折前款跑步机售出台，款跑步机售出台，根据题意列二元一次方程，求a，b的整数解即可．
22．（2024七下·滨江期末）如图，，点E，P，F分别在，，上，连结，，且满足．
（1）若，求的度数．
（2）若度，度，探索m，n之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：延长交反向延长线于K，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补解答即可．
（2）延长交反向延长线于K，根据两直线平行，内错角相等得到，根据垂直可得，然后根据三角形的外角解答即可．
23．（2024七下·滨江期末）【综合与实践】制作靠垫面子．
材料准备：两块完全相同的长方形布料（），其它若干布料．
【操作1】小江把长方形布料裁成形状、大小都相同的四块（如图①），拼成如图②的大正方形靠垫面子，其中，正中部分从其它布料处裁得．求从其它布料处裁得的正中部分的小正方形布料的面积．（裁剪、接缝处布料忽略不计，结果用a，b表示）
【操作2】小滨把长方形布料裁成如图③形状的四块，每一块形状、大小都相同，拼成如图④的大正方形靠垫面子，其中，正中部分从其它布料处裁得（裁剪、接缝处布料忽略不计）．若原长方形布料的面积为90平方分米，图②中的大正方形靠垫面子的面积为106平方分米，试求图④中的大正方形靠垫面子的面积．
【答案】解：操作1：∵图②大正方形的边长为，
∴图②大正方形的面积为，
∴图②中间小正方形的面积为；
操作2：根据题意得：
，
得：，
解得（负值已舍去），
∴③，
把③代入①得：，
解得或，
当时，；当时，，
∵，
∴，，
∴图④大正方形面积为（平方分米）．
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理；图形的剪拼
【解析】【分析】操作1：根据图形的剪拼及勾股定理表示出图②大正方形的边长，进而根据正中部分的小正方形布料的面积=大正方形的面积－图①的面积，列式即可；
操作2：由图③面积为90平方分米，列方程2a×2b=90，由图②中的大正方形靠垫面子面积为106平方分米，列出a2+4b2=106，联立求解得出a、b的值，再根据图④求正方形的面积.
24．（2024七下·滨江期末）定义：代数式中只含有两个字母（如x，y），若把其中的一个字母（x）均换成另一个字母（y），同时另一个字母（y）均换成这个字母（x），若所得代数式是和原代数式相同的代数式，我们称这样的代数式为“对称式”．如，，等．
（1）代数式①，②，③，④中，是对称式的有____．
（2）若关于m，n的代数式（k是常数，）是对称式，求常数k的值．
（3）在（2）的条件下，若，当时，求的值．
【答案】（1）②③④
（2）解：∵是对称式，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：由题意，得：∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的加减法
【解析】【解答】（1）解：对于①，将互换后，得到，不符合题意；
对于②，将互换后，得到，符合题意；
对于③，将互换后，得到，符合题意；
对于④，将互换后，得到，符合题意；
故答案为：②③④
【分析】（1）利用新定义的运算法则逐一判断解答；
（2）根据新定义的运算法则运算即可求出k的值；
（3）将值代入求出，mn的值，根据完全平方公式的变形解答即可．
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