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济南育才中学九年级第二次模拟考试数学试题（2025.3）
一：选择题（共10小题,每小题4分，共40分）
1．以下四个城市最高气温和最低气温差是多少度（　　）
北京 济南 太原 郑州
0℃ ﹣1℃ ﹣2℃ 3℃
A．3℃ B．4℃ C．5℃ D．-4℃
2．5个相同正方体搭成的几何体主视图为（　　）
A． B． C． D．
3．2024年浙江经济一季度GDP为201370000万元，其中201370000用科学记数法表示为（　　）
A．20.137×109 B．0.20137×108 C．2.0137×109 D．2.0137×108
4．将一直尺和一块含30°角的三角尺按如图放置，若∠CDE＝40°，则∠BFA的度数为（　　）
A．40° B．50° C．130° D．140°
5．下列式子运算正确的是（　　）
A．x3+x2＝x5 B．x3 x2＝x6 C．（x3）2＝x9 D．x6÷x2＝x4
6．对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑，器物，绘画，标识等作品的设计上．下面四个标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（2，y3）都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
8．如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中间一个小正方形EFGH组成，连接DE．若AE＝4，BE＝3，则DE＝（　　）
A．5 B． C． D．4
9．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝36°．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列结论：①；②△AED≌△BCD；③∠AED＝∠ABC；④∠DEN＝54°中，正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
10.在数学活动课上，小明兴起小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数，y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上的点A（x，y）的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点A1（x，x+y）．他们把这个点A：定义为点A的“简朴”点．他们发现：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）所有简朴点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为y＝ax2+bx+c（a≠0）的“简朴曲线”．例如，二次函数y＝x2+x+1的“简朴曲线”就是y＝x2+x+1+x＝x2+2x+1，请按照定义完成：已知抛物线y＝x2+bx+c图象上的点B（x，y）的“简朴点”是B1（﹣1，1），若该抛物线的“简朴曲线”的顶点坐标为（m，n），当0≤c≤3时，n的取值范围为（ ）．
A 0二：填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
11．方程的解为 　 　．
12．重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源．甲、乙两人相约来到重庆旅游，两人分别从A，B，C三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人同时选择景点B的概率为 　 　．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝4，分别以AC、BC为半径画圆，则阴影部分的面积为 　．
14.小明和小亮分别从同一直线跑道A、B两端同时相向匀速出发，第一次相遇后小明觉得自己速度太慢便立即提速至原速的1.5倍，然后匀速运动到B端，且小明到达B端后立即以提速后的速度调头返回．小亮匀速跑步到A端后，立即按原速返回（忽略小明、小亮调头时间），当小明、小亮再次相遇时二人停止运动．已知两人相距的距离y（米）与小亮出发时间x（秒）之间的关系如图所示，则第二次相遇时小明与B端的距离为　 　米．
15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，BC＝6，CD＝4，O是BC的中点，P是边CD上一动点，将△OCP沿OP翻折得△OC′P，连接C′D，在C′D左侧有一点E，使得△C′DE为等腰直角三角形，且∠DC′E＝90°，连接CE．则CE的最小值为 　 　．
三．解答题（共10小题，共90分）
16．(6分)计算：．
17．(8分)解不等式组，并写出它的最大整数解．
18．(8分)已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，点E、F、G、H分别在边AD、AB、BC、CD上，且DE＝BG，AF＝CH．求证：EF＝GH．
19．(8分)脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋项A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为55°，房屋的顶层横梁EF＝12m，EF∥CB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4）
（1）求屋顶到横梁的距离AG；（2）求房屋的高AB．（结果精确到1m）
20．(8分)某市教育行政部门为了解初三学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查了某校初三学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图（如图）．请你根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）该校初三学生总数为 　　人；
（2）分别求出活动时间为5天、7天的学生人数为 　　、　　，并补全频数分布直方图；
（3）扇形统计图中“活动时间为5天”的扇形所对圆心角的度数是 　　；
（4）在这次抽样调查中，众数和中位数分别是 　　、　　；
（5）如果该市共有初三学生96000人，请你估计“活动时间不少于5天”的大约有多少人？
21．(8分)如图，AB是⊙O的直径，BE与⊙O相切于点B，点D是⊙O上一点，连接ED并延长交BA的延长线于点P．连接BD、EO相交于点G，延长EO交⊙O于点F．若EO平分∠DEB，且EG⊥BD．
（1）求证：EP是⊙O的切线；（2）若AP＝3，PD＝6，求OA及EF的长．
22．(10分)春分是二十四个节气中的第四个节气．这天以后太阳直射位置便向北移，北半球昼长夜短．所以春分是北半球春季的开始，也是农民播种蔬菜的好时机．我国农谚有云：“春分有雨家家忙，先种瓜豆后插秧”．种植户农民刘大伯开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格比菜苗基地贵5元，用375元在市场上购买的A种菜苗捆数和用300元在菜苗基地购买的捆数一样多．
（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．
（2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．刘大伯决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持刘大伯，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求刘大伯本次购买最少花费多少钱．
23．(10分)如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与坐标轴分别交于点A、点B，且与反比例函数图象交于点C（1，4）、点D（﹣4，n）；（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）如图2，点P为反比例函数图象在第一象限上的一点，且在点C的右边，当△ADP的面积为6时，y轴上有一点Q，若|QD﹣QP|有最大值时，求出这个最大值；
（3）如图3，将△AOB沿着射线OC的方向平移个单位，点B平移后的对应点为B′，y轴上有一点E，平面中有一点F，当以点C、B′、E、F为顶点的四边形是以CB′为边的菱形时，直接写出点F的坐标．
24．(12分)综合与实践 小明在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．小明继续利用上述结论进行探究．【提出问题】如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．
探究展示：
如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则∠AEC+∠D＝180又∵∠B＝∠D，∴　 　， ∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）， ∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上∴点A，B，C，D四点在同一个圆上．
【反思归纳】（1）上述探究过程中的横线上填的内容是 　 　；
【拓展延伸】（2）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转得△ANM，连接CM交BN于点D，连接BM、AD．小明发现，在旋转过程中，∠CDB永远等于45°，不会发生改变．
①根据∠CDB＝45°，利用四点共圆的思想，试证明ND＝DB；
②在（1）的条件下，当△BDM为直角三角形，且BN＝4时，直接写出BC的长．
25．(12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（2，﹣3），与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），连接AC，OC＝3OA．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC，垂足为D，点Q为线段BP的中点，点M是线段OB上一点（不与点B重合），在BQ的左侧作平行四边形BMNQ，连接PN，PM．当线段PD的长度取得最大值时，求PM+PN的最小值；
（3）将抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）沿着y轴翻折得到抛物线y'，y'与x轴交于E，F两点（E在F的左侧）．在（2）中线段PD的长度取得最大值时，直线AP上是否存在点G，使得，若存在，请直接写出点G的横坐标；若不存在，请说明理由
．

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