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2.3《函数的单调性和最值》课堂训练
一、单选题：本题共11小题，每小题5分，共55分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数，当时，有恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.设函数，则函数的单调性( )
A. 与的取值有关，且与的取值有关 B. 与的取值有关，且与的取值无关
C. 与的取值无关，且与的取值有关 D. 与的取值无关，且与的取值无关
3.已知函数，若，则( )
A. 是奇函数，且在上单调递增
B. 是奇函数，且在上单调递减
C. 是偶函数，且在上单调递增
D. 是偶函数，且在上单调递减
4.函数的图象如图所示，则该函数的定义域和单调区间分别是( )
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
5.下列函数既是偶函数又在上单调递减的是( )
A. B. C. D.
6.已知函数在上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知函数的定义域为，图象关于原点对称，部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. B. 的最小值为
C. 的单调递增区间为 D.
8.下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
9.函数的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
10.下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
11.已知函数在定义域上为增函数，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
12.下列函数既是奇函数又在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
13.下列函数中，在区间上为增函数的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
14.若为常数，且函数是奇函数，则的值为______．
15.函数的单调递减区间为_________
16.已知函数，若实数满足，则 ；的取值范围是 ．
17.函数的单调减区间为__________．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
函数．
根据不同取值，讨论函数的奇偶性；
若，对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
若已知，设函数，，存在、，使得，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知在等差数列中，，．
求等差数列的通项
求等差数列前项和；
当为何值时取得最大，并求出此最大值．
20.本小题分
已知函数，且．
判断并证明函数在其定义域上的奇偶性．
证明函数在上是增函数．
求函数在区间上的最大值和最小值．
21.本小题分
已知函数 ．
证明在上是严格增函数；
求在上的最大值及最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查不等式恒成立问题，一般是转化为函数的最值问题来解决，而本题涉及到了可导函数在闭区间上的最值问题，因此我们只是从端点值和极值中找最值，而极值点处导数为零，因此最终是从导数为零、端点值中找的最值，属于中档题，要使原式恒成立，只需，然后再利用导数求函数，当的最值即可．
【解答】
解：因为，当
所以，令得，
因为该函数在闭区间上连续可导，且极值点处的导数为零，
所以最小值一定在端点处或极值点处取得，
而，，，，
所以该函数的最小值为，
因为恒成立，
所以，故选C．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复合函数的单调性，指数函数的单调性与最值，对数函数的单调性与最值，属于基础题．
根据指数对数函数的性质判断即可．
【解答】
解：因为恒成立，故函数的定义域为，
当时，函数单调递增，单调递增，故函数单调递增，所以单调递增
当时，函数单调递减，单调递减，故函数单调递增，所以单调递增，
所以，是增函数，与、的取值无关，D正确．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：由题意可得 的定义域为，，即，解得，
因为，故 是奇函数，
又 上单调递减，
故选B．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的定义域与单调区间，属于基础题．
根据函数定义域和单调区间的定义，即可由图象判断．
【解答】
解：定义域是函数自变量的取值范围，由函数图象可得定义域为：
函数的单调递增区间有个，不能用并集，并且单调区间是定义域的子集，即．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：，设定义域为，因为，是奇函数，A错误
，设，定义域为，因为，是偶函数，
又是二次函数在上单调递减，B正确
，设，定义域为，因为，是偶函数，
当时，，其在上单调递增，C错误
，设，定义域为，因为，其为奇函数，D错误．
6.【答案】
【解析】解：由，得或．
令，
外层函数是其定义域内的增函数，
要使函数在上单调递增，
则需内层函数在上单调递增且恒大于，
则，即．
的取值范围是．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，属于基础题，
根据奇函数图象以及单调性，即可求解．
【解答】
解：对于，由函数为奇函数，且在上单调递增，故有，则A正确；
对于，由函数为奇函数以及图象得为最小值，则B错误；
对于，由函数为奇函数以及函数图象得其上单调递增，则C错误；
对于，由函数为奇函数则，则D错误．
故选A．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查判断函数的奇偶性，判断函数的单调性，属于基础题．
根据函数的单调性和奇偶性确定正确答案．
【解答】
解： 、 是奇函数，不符合题意．
在 上单调递减，不符合题意．
是偶函数，且 ，
所以 在 上单调递增．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：由得，解得或，
所以函数的定义域为，
二次函数开口向上，对称轴为直线，在上单调递减，在上单调递增，
而函数在定义域内单调递增，在定义域内单调递增，
结合复合函数的单调性可得的单调递增区间为
故选D．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了函数的奇偶性的判断和单调性的判断，属于基础题．
根据函数的奇偶性的定义对选项中的函数逐项判断，即可求解．
【解答】
解：的定义域为，
，
是奇函数，
选项A错误，
由图象可知是偶函数且在上是减函数，
选项B错误，
，
为奇函数，
选项C错误，
，
是偶函数，
，当增大，减小，减小，增大，
故此函数在上是增函数，
选项D正确．
故选D．
11.【答案】
【解析】解：由函数在定义域上为增函数，
则满足，解得，即实数的取值范围为．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：对于，由幂函数的性质可得既是奇函数又在上单调递增，故A正确；
对于，由指数函数的性质可得不是奇函数，故B错误；
对于，当时，；当时，，所以函数在上不是单调递增，故C错误；
对于，定义域为，关于原点对称，
又，所以为奇函数，
又在上单调递增，在上单调递增，
可得在上单调递增，故D正确．
故选：
13.【答案】
【解析】解：对于选项A，当，那么，那么在上不单调，所以选项A错误；
对于选项B，不等式在区间上恒成立，那么在区间上为增函数，因此选项B正确；
对于选项C，不等式在区间上恒成立，那么函数在区间上为增函数，故C正确；
对于选项D，表达式在区间上恒成立，那么在区间上为减函数，故D错误．
故选：．
利用正弦型函数的单调性可判断选项；利用导数法可判断选项．
本题考查导数的综合应用，属于简单题．
14.【答案】
【解析】解：是奇函数，
，即，
，即，
，
展开整理得，
要使等式恒成立，则有，即，解得．
当时，，
由，得，
解得或，即定义域为或，
定义域关于原点对称，且满足，
成立．
故答案为：．
利用函数是奇函数，得到，建立方程求解即可．
本题主要考查函数奇偶性的应用，利用求解，本题不能使用奇函数的性质，注意检验函数的定义域．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了复合函数的单调性，对数函数及其性质和二次函数利用对数函数和二次函数的单调性及单调区间，结合复合函数的单调性“同增异减”的原则得结论．
【解答】
解：令，解得，
函数的定义域为．
而函数由函数和复合而成，
函数是其定义域内的增函数，
二次函数在内单调递减，在内单调递增，
所以函数的单调增区间是，单调减区间为．
故答案为 ．
16.【答案】

【解析】解： ，
故在和上单调递减，在上单调递增，
且有，，，，
由，得，
当时，，
则的图象关于直线对称，故，
则．
17.【答案】写成也正确
【解析】【分析】
本题考查复合函数的单调性，属基础题．
先求定义域，由复合函数的单调性，即得结论．
【解答】
解：函数是由函数和组成的复合函数，
，解得或，
函数的定义域是或，
因为函数在单调递减，在单调递增，
而在上单调递增，
由复合函数单调性的“同增异减”，可得函数的单调减区间．
故答案为：写成也正确．
18.【答案】解：函数的定义域为，关于原点对称，
当时，，，
此时，函数为奇函数；
当时，，，，则，，
此时，函数为非奇非偶函数；
当时，则有恒成立，此时；
当时，由，即，
即，，，则，
所以，不等式对任意的恒成立，
由，即，，
即，
函数在区间上单调递增，，
函数在区间上单调递减，则，，
因此，实数的取值范围是；
由题意知，当时，，
当时，
当时，，
此时，函数在区间上单调递增，在上单调递减，且，，则；
当时，，
此时，函数在区间上单调递增，则，
所以，函数在区间上的最小值为，
对于函数，内层函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，外层函数是减函数，
所以，，
由题意得，则有，解得，
因此，实数的取值范围是．
【解析】本题考查函数的奇偶性，不等式的恒成立问题，复合函数的单调性，涉及函数，函数的单调性与单调区间，函数的最值，考查分类讨论思想，划归与转化思想和运算化简的能力，属于综合题．
按与讨论，利用函数奇偶性定义可得；
当时，，当时，问题转化为不等式对任意的恒成立，即，对任意的恒成立，构造函数求最值即可；
问题转化为当时，，分别求出最值即可．
19.【答案】解：根据题意，设等差数列的公差为，
由于，，
则，
故，
所以；
由，且，
由知，，
故时取得最大，最大值为．
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
20.【答案】解： 在其定义域上为奇函数，
，定义域为，，
，，，
在定义域上为奇函数．
任取，，且，
，
，，，．
，，
在上为增函数．
在上单调递增，
在上的最小值和最大值为，．

【解析】本题考查函数的奇偶性，单调性，函数求最值，属函数性质综合考查，是基础题目．
根据函数奇偶性定义证明函数奇偶性即可；
根据函数单调性的定义证明函数单调性；
由知函数在为增函数，由其单调性易求得函数的最值．
21.【答案】解：设，且，
则 ，
，，
，，即，
在上是严格增函数
由知，在上是严格增函数，
函数在上的最大值为，最小值为．

【解析】本题主要考查函数的单调性与最值，属于较易题．
利用定义判定函数的单调性．
结合单调性求函数最值．

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