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2.4《函数的奇偶性与简单的幂函数》课堂训练
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数在上的图象为( )
A. B.
C. D.
2.已知是奇函数，则在处的切线方程是( )
A. B. C. D.
3.两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“平行”函数，给出四个函数：，，，，则此四个函数中的“平行”函数是( )
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
4.已知某函数的图象如图所示，则下列函数中，图象最契合的函数是( )
A.
B.
C.
D.
5.若其中是偶函数，则( )
A. B. C. D.
6.下列既是奇函数，又是增函数的是( )
A. B. C. D.
7.已知是表示不超过的最大整数，例如若是函数的零点，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，( )
A. B. C. D.
9.设是定义域为的奇函数，且若，则 ( )
A. B. C. D.
10.已知函数为奇函数，则实数的值为( )
A. B. C. D.
11.已知函数是奇函数，则实数的值为( )
A. B. C. D.
12.下列函数中，是奇函数的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共1小题，共6分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
13.下列函数既是奇函数又在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
14.已知是奇函数，则_________．
15.已知幂函数的图象过点，则 ．
16.已知是奇函数，当时，，则的值是____________．
17.已知函数是奇函数，当时，，则时， 若，则的值为 ．
18.已知是偶函数，则 ．
19.设函数是上的奇函数，若时，则______．
四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.本小题分
已知幂函数为偶函数．
Ⅰ求的解析式；
Ⅱ若在区间上不单调，求实数的取值范围．
21.本小题分
已知定义在上的函数是奇函数．
求，的值；
判断并证明在上的单调性．
若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数图像识别，是基础题．
直接利用函数的性质奇偶性和特殊区间结合排除法求出结果．
【解答】
解：函数的解析式满足，
且的定义域关于轴对称，
则函数为偶函数，排除、选项，
当时，由
可知：当时，排除选项．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性和导数的几何意义，属于基础题．
利用奇偶性求，由导数的几何意义求切线方程．
【解答】
解：因为是奇函数，
则，解得，
故，则，则，
又，
故切线方程为，即．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了对数函数图象的平移变换．属于基础题．
利用对数运算，结合函数图象的平移变换和题目定义得结论．
【解答】
解：的图象可由向左平移个单位得到，
，它的图象可由向上平移个单位得到，
所以将的图象向下平移个单位，然后向左平移个单位可得函数的图象，
故与为“平行”函数．
故选C．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的图象及性质的运用，考查数形结合思想，属于基础题．
由图象可知，所求函数应为偶函数，且满足，结合选项判断即可．
【解答】
解：由图象可知，函数图象关于轴对称，
对于，因为，所以为奇函数，图象关于原点对称，故排除；
由图象知，对于，当时，，故排除，
对于，当时，，故排除．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：由题意知：，
则，化简为，
则，解得．
故选A．
6.【答案】
【解析】解：对于选项A：因为，可知函数不为增函数，故A错误；
对于选项B：因为，可知函数不为增函数，故B错误；
对于选项C：由幂函数性质可知既是奇函数，又是增函数，故C正确；
对于选项D：因为，可知函数不为增函数，故D错误；
故选：．
7.【答案】
【解析】解：易知函数的定义域为，且在上单调递增；
显然，，
所以，再根据的定义可知．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：当时，，
因为函数是定义在上的偶函数，
所以．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数值，属于基础题．
由已知及进行转化得，再结合从而可求．
【解答】
解：由题意得，又，
所以，
又，则．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数解析式的分析计算，属于基础题．
根据题意，由奇函数的定义可得，变形分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，函数为奇函数，则有，
即，
变形可得：，
整理变形可得：，即．
11.【答案】
【解析】解：是奇函数，且函数的定义域为
，即，
即，
即，
即，
则，得，
故选：．
12.【答案】
【解析】解：对于，，定义域为，，为偶函数，所以A错误；
对于，，定义域为，，为奇函数，故B正确；
对于，，定义域为，为非奇非偶函数，故C错误；
对于，，定义域为，为非奇非偶函数，故D错误．
13.【答案】
【解析】解：对于，由幂函数的性质可得既是奇函数又在上单调递增，故A正确；
对于，由指数函数的性质可得不是奇函数，故B错误；
对于，当时，；当时，，所以函数在上不是单调递增，故C错误；
对于，定义域为，关于原点对称，
又，所以为奇函数，
又在上单调递增，在上单调递增，
可得在上单调递增，故D正确．
故选：
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用函数的奇偶性求参数问题，属于基础题．
利用奇函数的定义可求答案．
【解答】
解：因为，故，
因为为奇函数，
故，，
整理解得 ，经检验符合题意，
故答案为：
15.【答案】
【解析】解：由题意，函数是幂函数，所以，
又幂函数过点，
，解得，
故答案为：
由幂函数过点，将坐标代入，解得的值得到幂函数的解析式，再求即可．
本题考查幂函数的解析式，解题的关键是熟练掌握幂函数的定义及幂函数解析式的形式．
16.【答案】
【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性，计算函数值，属于基础题．
根据是奇函数，求出即可得到答案．
【解答】
解：由题意可得．
17.【答案】

【解析】【分析】
略
【解答】
略
18.【答案】
【解析】解：因为函数是偶函数，则，即：
，
解得：．
故答案为．
19.【答案】
【解析】解：因为是定义在上的奇函数，
所以，
因为当时，，
所以．
20.【答案】解：由题意，为幂函数，
所以，解得：或，
当时，，为奇函数，不合题意舍去，
当时，，为偶函数，
所以；
，的对称轴是，
若在上不是单调函数，
则，解得：，
故实数的取值范围是．
【解析】本题考查幂函数的解析式、函数的奇偶性，考查二次函数的性质，属于基础题．
根据幂函数的定义求出的值，再根据函数为偶函数，即可求出函数的解析式；
若函数在上不是单调函数，则，即可求出实数的取值范围．
21.【答案】解：是奇函数，，，
，，
由知，
在上为减函数
在上为减函数，是奇函数，
所以等价于．
即对一切有：，
从而判别式．
的取值范围是．
【解析】利用奇函数定义中的特殊值求的值，，求的值；
根据导数的正负得到函数的单调性；
结合单调性和奇函数的性质把不等式转化为关于的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出的取值范围．
本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用；同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略，是一道综合题．

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