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4.2《对数的运算》课堂训练
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.若函数的定义域和值域都是，则的值为( )
A. B. C. D.
3.在生活中，人们常用声强级单位：来表示声强度单位：的相对大小，具体关系式为，其中基准值若声强度为时的声强级为，那么当声强度变为时的声强级约为 参考数据：
A. B. C. D.
4.已知等差数列的公差为，则( )
A. B. C. D.
5.若，，，则( )
A. B. C. D.
6.若正实数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.若与互为相反数，则( )
A. B. C. D.
8.若关于的不等式的解集为，则 ( )
A. B. C. D.
9.设曲线在处的切线与轴交点的横坐标为，则的值为( )
A. B. C. D.
10.若，，则下列各式中，恒等的是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
11.若，，则下列等式正确的是( )
A. B. C. D.
12.在中，若且，则的形状可能是( )
A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形
三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
13.等比数列各项均为正数，且，则 ．
14.已知实数，满足，则 ．
15.方程的解为 ______．
16.已知，则_____请用含的代数式表达
17.计算： ．
四、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
化简
已知，，用，表示．
19.本小题分
．
已知，，计算的值．
20.本小题分
求下列各式的值：
；
；
已知，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由于，
所以．
故选：．
利用对数的运算和二倍角公式以及差角的余弦公式求解即可．
本题考查的知识点：三角函数的关系式的求法，三角函数的值，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查对数的基本运算以及函数定义域和值域的应用，比较基础．
判断函数的单调性，结合对数的运算法则进行求解即可．
【解答】解：当时，，则函数为减函数，故，则当时，，即，即，
则，则，
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了根据实际问题建立函数模型的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
由题意当时，，代入函数关系式即可求出的值，进而可以求解．
【解答】
解：由题意可得：，
当时，，则，解得，
所以当时，，
所以声强度变为时的声强级约为，
故选：．
4.【答案】
【解析】解：由题意知，
所以．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：因为在上单调递增，
，，，即，故A错误；
因为，所以，所以，即，故B错误；
，故C正确；
，故D错误．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，和对数的运算，是基础题．
由条件可得，然后利用基本不等式求解即可．
【解答】
解：由正实数，满足 ，得，得，
则由基本不等式有，
当且仅当即，时等号成立．
故选D．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了对数的运算，是基础题．
直接计算即可．
【解答】
解：，且，，，即，故选C．
8.【答案】
【解析】解：因为不等式可化为，
即，所以，，
则．
故选B．
9.【答案】
【解析】解：由 ，可得 ，
所以曲线 在 处的切线方程是 ，
令 得 ，所以
．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：对于选项，，均错；
对于选项，，错；
对于选项，，对．
故选：．
利用对数的运算法则可判断各选项的正误．
本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查指数和对数互化，考查对数运算，属于基础题．
由已知求得，然后对选项逐个判断即可．
【解答】
解：由，得，
对于、，故A正确；
对于、由，得，故B错误；
对于、，故C错误
对于、，故D正确．
故选AD．
12.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查余弦定理在判断三角形形状中的综合应用，涉及对数计算，属于中档题．
由已知式子化简可得，进而由的范围求得，再由余弦定理得到、关系，即可求得、、的大小，判断三角形形状．
【解答】
解：，
，
，，且，
，
，
，，为等腰直角三角形．
故正确选项为．
13.【答案】
【解析】解：由已知得数列是各项均为正数的等比数列，
则，
所以．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查对数的运算，属于基础题．
根据对数运算性质进行求解即可．
【解答】
解：由题可知，得，
由对数的运算法则有，
即，
解得或，
所以或舍去．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：方程，可化为，
所以，
令，则，
所以，
即，
解得或，
即或，
又因为时，，不符合题意，
所以，
解得．
故答案为：．
原方程可化为，令，则，即，求出的值，进而求出的值．
本题主要考查了对数函数的性质，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：
17.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
18.【答案】解：
；
，由可得，
则．
【解析】本题主要考查对数的运算，属于基础题．
根据对数的运算法则运算即可．
本题主要考查对数的运算，属于基础题．
根据指对互化，得，由换底公式得，代入可得．
19.【答案】解：原式
由得，而，
所以．

【解析】本题考查指数幂的化简求值，对数式的化简求值，属于基础题．
根据给定条件，利用指数运算法则计算作答
利用指数式与对数式互化求出，代入并结合对数运算法则求解作答．
20.【答案】解：原式
．
原式
．
原式，
因为，所以，故．

【解析】详细解答和解析过程见【答案】

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