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4.3《对数函数》课堂训练
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B.
C. D.
2.若，则的大小关系为( )
A. B. C. D.
3.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
4.设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
5.若，则( )
A. B. C. D.
6.已知，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知，，，则，，的大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
8.已知，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
9.下列函数中，不存在反函数的是( )
A. B.
C. D.
10.函数的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
11.“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
12.函数的定义域是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共1小题，共6分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
13.下列叙述中正确的是( )
A. 若，则
B. 在定义域内既是奇函数，又是减函数
C. 若有意义，则
D. 为奇函数
三、填空题：本题共7小题，每小题5分，共35分。
14.函数且的图象过定点 ．
15.设，，行列式中第行第列的代数余子式记作，函数的反函数图象经过点，则______．
16.已知函数若，则实数的取值范围是 ．
17.函数且恒过的定点为 ．
18.函数，的值域是______．
19.若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围用区间表示为 ______．
20.正弦函数在上的反函数，叫做反正弦函数，记作，表示一个正弦值为的角，该角的取值范围在区间内，则 ．
四、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题分
已知函数．
求函数的定义域；
判断并证明函数的奇偶性．
22.本小题分
设函数，其中，解不等式：．
23.本小题分
已知集合，．
若，求；
若，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由已知得，所以
故选：．
2.【答案】
【解析】解：因为在上递增，且，
所以，即，
因为在上递增，且，
所以，即，
因为，所以，
所以，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：由，解得．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
可得出，然后即可得出，，的大小关系．
【解答】
解：，，，
．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：，
，，
，，，．
故选D
6.【答案】
【解析】解：，，，
所以．
故选：．
结合指数函数与对数函数的单调性确定，，的范围，即可比较大小．
本题主要考查了指数函数与对数函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由题意得，
，
，
所以，
故选C．
8.【答案】
【解析】解：
，
所以．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：选项A：，，
正弦函数在上是单调递增的，
因此对于每一个值，都有唯一的值与之对应，所以存在反函数；
选项B：在上是单调递增的，
因此对于每一个值，都有唯一的值与之对应，所以存在反函数；
选项C：，在和上是单调递减的，
因此对于每一个值，都有唯一的值与之对应，所以存在反函数；
选项D：在上不单调，
例如当和时，值都是，所以不存在反函数．
故选：．
根据反函数存在的条件进行判定即可．
本题考查反函数的存在条件，属基础题．
10.【答案】
【解析】解：由，得，
即，
解得．
所以函数的定义域为，
又的对称轴为，开口向下，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又在上单调递增，
故由复合函数的单调性可得的单调递增区间是．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：当时，
由于函数是正实数集上的增函数，故可得；
当时，
由于函数是正实数集上的增函数，可得，
所以是的充要条件．
故选A．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了对数函数的定义域，属于容易题．
利用对数函数的定义域即可得出．
【解答】
解：要使函数有意义，
则，即，
故函数的定义域是
故选A．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于：因为，可得，，故A正确；
对于：，，，则在定义域内不是减函数，故B错误；
对于：若有意义，则，可得定义域为，故C错误；
对于：的定义域为关于原点对称，为奇函数，故D正确．
故选：．
根据题意，先根据同角三角函数关系判断，根据函数单调性，对数函数定义域和奇偶性判断选项B，，即可，综合可得答案．
本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，涉及对数函数的性质，属于基础题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查对数型函数图象过定点问题，属于基础题．
当时，函数中与相关的部分等于，从而求出所过定点．
【解答】
解：当时，，与无关，
所以函数且的图象恒过点．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：由题意得第行第列元素的代数余子式
依题意，点在函数的图象上，
将，，代入中，
得，解得．
故答案为：．
根据余子式的定义可知，在行列式中划去第行第列后所余下的阶行列式为第行第列元素的代数余子式，求出值即可．函数的反函数图象经过点，可知点点在函数的图象上，由此代入数值即可求得．
此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义、反函数以及原函数与反函数之间的关系，会进行矩阵的运算，是一道基础题．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查分段函数求参，属于基础题．
由，只能代入中，结合对数函数定义域，可得．
【详解】
解：，应代入中，故
又，，
故．
故答案为：
17.【答案】
【解析】【分析】
本题考查对数函数图象过定点问题，属于基础题．
若且过定点，则点的坐标与的取值无关，由对数的性质可知，令即可求出．
【解答】
解：由题意得：，解得，
当时，，
所以定点坐标为．
18.【答案】
【解析】解：函数，在上单调递增，
又当时，，
则函数，的值域是．
故答案为：．
根据对数函数单调性可解．
本题考查对数函数的单调性，属于基础题．
19.【答案】
【解析】解：由可得，
若“”是“”的充分不必要条件，则．
故答案为：．
20.【答案】
【解析】解：令，，
依据反正弦函数的定义可得，，，
，，可得，
即，
因为，，所以．
故答案为：．
21.【答案】解：要使有意义，
则，解得，
函数的定义域为；
函数是偶函数，
证明如下：
由知函数的定义域为，关于原点对称，
，
函数是上的偶函数．

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
22.【答案】解：因函数的定义域为，且是严格的增函数，
故由可得，
由可得，或；
由可得，，
故不等式的解集为．

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
23.【答案】解：因为，所以．
又，
所以．
因为，所以当时，，即；
当时，或解得．
综上，的取值范围为．

【解析】详细解答和解析过程见【答案】

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