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4.4《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》课堂训练
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.现测得某放射性元素的半衰期为年每经过年，该元素的存量为原来的一半，某生物标本中该放射性元素的初始存量为，经检测现在的存量为据此推测该生物距今约为参考数据：
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
2.人类已进入大数据时代，目前，数据量已经从级别跃升到，乃至级别．国际数据公司研究表明，数据量与时间单位：年之间满足关系式：已知第年年全球产生的数据量约为，第年全球产生的数据量约为那么从第 年开始全球产生的数据量不低于
A. B. C. D.
3.德国心理学家艾宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”“遗忘曲线”中记忆率随时间小时变化的趋势可由函数近似描述，则当记忆率为时所经过的时间约为 参考数据：，
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
4.如图，某池塘里浮萍的面积单位：与时间单位：月的关系为，关于下列说法，其中正确的说法是( )
浮萍每月的增长率相同；
若函数与的图像关于直线对称，则函数的值域为的充要条件是
若，则当时，恒成立
若浮萍蔓延到，，，所经过的时间分别是，则
A. B. C. D.
5.升温系数是衡量空调制热效果好坏的主要依据之一，把物体放在制热空调的房间里升温，如果物体初始温度为，空气的温度为小时后物体的温度可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的升温系数现有两个物体放在空气中升温，已知两物体的初始温度相同，升温小时后，两个物体的温度分别为，假设两个物体的升温系数分别为，则( )
A. B. C. D.
6.原价为元的商品阶梯降价处理，若每次降价幅度均为，则 次降价后价格为元( )
A. B. C. D.
7.在一定条件下，大气压强单位：百帕随海拔高度单位：米的变化满足如下函数关系式：为正常数已知海拔高度米处的大气压强为百帕，海拔高度米处的大气压强为百帕，那么，若大气压强增加倍，则海拔高度降低( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8.某科技有限公司为了鼓励员工创新，打破发达国家的芯片垄断，计划逐年增加研发资金投入，若该公司年全年投入的研发资金为万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增加，则该公司全年投入的研发资金开始超过万元的年份是参考数据：，，( )
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
9.核酸检测主要采用荧光定量方法，通过化学物质的荧光信号，对在扩增进程中成指数级增加的靶标实时监测，在扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，的数量与扩增次数满足，其中为扩增效率，为的初始数量已知某被测标本扩增次后，数量变为原来的倍，那么该标本的扩增效率约为参考数据：，( )
A. B. C. D.
10.酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，达到及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了如果在此刻停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？参考数据：( )
A. B. C. D.
11.已知某种水果的保鲜时间单位：小时与温度单位：近似满足函数关系为常数，为自然对数底数，若该种水果在时的保鲜时间约为小时，在时的保鲜时间约为小时，则在时，该种水果的保鲜时间约为( )
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
12.某企业年的年收益约为万元，如果按的年平均增长率，写出经过的年以后的年收益( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过最初含量的已知在过滤过程中废气中的污染物含量单位：毫克升与过滤时间单位：小时之间的函数关系为均为正常数如果在前个小时的过滤过程中污染物被排除了，那么排放前至少还需要过滤的时间是 小时．
14.将甲桶中的升水缓慢注入空桶乙中，分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线假设过分钟后甲桶和乙桶中的水量相等，若再过分钟后甲桶中的水只有升，则的值为__________．
15.某集团军举行登岛演习，演习要求该集团军的导弹旅捣毁岛上的目标，导弹旅的每辆登陆艇每次发射一枚导弹，由于受到天气以及“敌方”反导弹的拦截，命中率是，至少要有一枚导弹击中目标，才能说明目标被捣毁，因此采用多辆登陆艇同时发射导弹的方法去捣毁目标至少需要 辆登陆艇同时发射导弹，才能有不小于的把握保证目标被捣毁参考数据：
16.某室内场所采用药熏消毒法，当消毒药品释放完成后，空气中药品浓度与时间的关系满足函数其中为常数，当时，测得室内空气中药品浓度为，则室内空气中药品浓度降到需要的时间为
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
正安县是中国白茶之乡人们在饮用中发现，茶水的口感与水的温度有关经实验表明，用的水泡制，待茶水温度降至时，饮用口感最佳某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表：
时间
水温
设茶水温度从经过后温度变为，现给出以下三种函数模型：
从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前组数据求出该解析式
根据中所求函数模型，求刚泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间精确到
考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少参考数据：，
18.本小题分
某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的倍时，所用时间是年．
求森林面积的年增长率；
到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？
为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林多少年精确到整数？
参考数据：，
19.本小题分
某城市年人口总数为万人，若在之后的年内每年自然增长率为，设经过年该城市人口总数为万人．
写出该城市人口总数万人与的函数关系式；
求到年该城市人口总数精确到万人；
大约多少年以后该城市人口将突破万人精确到年．
20.本小题分
正安县是中国白茶之乡．在饮用中发现，茶水的口感与水的温度有关．经实验表明，用的水泡制，待茶水温度降至时，饮用口感最佳．某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的．
时间
水温
设茶水温度从经过后温度变为，现给出以下三种函数模型：
；
．
从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前组数据求出该解析式；
根据中所求函数模型，求刚泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间精确到；
考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少．
参考数据：，
21.本小题分
电影流浪地球中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条；行车不规范，亲人两行泪”，讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”年公安部交通管理局下发关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，其中车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值如表所示．
驾驶行为类别 阈值
饮酒驾车
醉酒驾车
经反复试验，一般情况下某人喝一瓶啤酒后酒精含量在人体血液中的变化规律“散点图”如图所示，且图中所示的酒精含量单位：随时间单位：变化的函数模型可表示为，根据上述条件：
试计算某人喝瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？
试计算某人喝瓶啤酒后多少小时才可以驾车？时间以整小时计；参考数据：，
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查指数型函数的应用，属于基础题．
由题意得，解得即可．
【解答】
解： 由题意可知，
两边取对数得，
所以，
故选C．
2.【答案】
【解析】解：由题意得，所以，令，则，两边同时取以为底的对数可得，即，
所以，所以取，即从第年开始全球产生的数据量不低于．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查指数函数的实际应用，属于基础题．
由题意可知，记忆率为即为，又函数为，代入函数即可求解．
【解答】
解：根据题意得，整理得到，两边取以为底的对数，
得，所以，所以
故选：．
4.【答案】
【解析】解：图象过点，即，，
，每月的增长率为，正确
因为函数与的图像关于直线对称，
所以，
因为函数的值域为，
所以可以取到一切正数，
所以，所以或，错误
，是下凹函数，所以当时，恒成立，正确
，，，，，，正确．
故选A．
5.【答案】
【解析】解：由题意可知： ，
则 ，
，
则 ，
可得： ，
则 ， ，
化简可得 ．
故选C．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查指数模型的应用，属于基础题
由题意得，求出的值即可
【解答】
解：由题意得，解得．
7.【答案】
【解析】解：由题意可得，，所以，，
设大气压强增加倍，则海拔高度降低米，则，
所以，
所以，即，所以，所以．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：设年后，该公司全年投入的研发资金开始超过万元．
由题意，知，即，
因为是增函数，
且，，，
所以，
故该公司全年投入的研发资金开始超过万元的年份是年．
故选B．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数模型的应用，属于基础题．
由题意，得 ，化简计算可得的值．
【解答】
解：由题意知， ，
即，
所以，解得．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查指数函数模型，对数的运算，属于基础题．
利用题中给出的信息，设他至少要经过小时后才可以驾驶机动车，则，然后利用指数与对数的互化以及对数的运算性质进行求解，即可得到答案．
【解答】
解：某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了，
则血液中酒精含量达到，在停止喝酒以后，
他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，
假设他至少要经过小时后才可以驾驶机动车．则，，
．
他至少经过个小时才能驾驶．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：由题意得：，两式相除得：，则，
即该种水果的保鲜时间约为小时，选D．
12.【答案】
【解析】解：某企业年的年收益约为万元，如果按的年平均增长率，
年后的年收益为，
年后的年收益为，
年后的年收益为．
故选A．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查指数函数的应用，指对互化，属于中档题．
先利用函数关系式，结合前个小时消除了的污染物，求出常数的值，然后根据指数函数式，即可求出结论．
【解答】
解：由题意，当时，，
前个小时消除了的污染物，，
，
，
即
；
则由，得，
，
即，
，
要能够按规定排放废气，至少还需要过滤小时．
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：后甲桶和乙桶中的水量相等，
函数，满足，可得，
令，则，即为，解得，
故．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了指数函数模型的应用，属于基础题．
由题意求出，代入函数解析式，把代入函数解析式求出的值即可．
16.【答案】
【解析】
【解答】
解：由题意得：，解得：．
所以，
当时，，
即，即，
则，所以．
故室内空气中药品浓度降到需要的时间为
17.【答案】解：由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢，
故模型不符合，
选模型，则
即
可得
所以且；
令，
则，
所以泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间为；
由，即
所以进行实验时的室温约为．

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
18.【答案】解：设年增长率为，则，即，解得，
因此，森林面积的年增长率为；
设已植树造林年，则，即，
，解得，
因此，该地已经植树造林年；
设需要植树造林年，则，可得，
所以：，
，
因此，至少需要植树造林年

【解析】本题主要考查了函数的实际运用．
设森林面积的年增长率为，则：，即可求出结果；
设已经植树造林年，则由题意可知：，利用的结果求出的值即可；
设为使森林面积至少达到亩至少需要植树造林年，则：，利用的结果解出的值即可．
19.【答案】解：由题意得，
到年时，经过年，即时，
人口总数万人．
答：到年，该城市人口总数为万人．
由已知，即
两边取常用对数得
，
所以大约年该城市人口突破万人．
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
20.【答案】解：由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢，故模型不符合，
选模型，则
即，可得
所以且．
令，
则．
所以泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间约为．
由，即，所以进行实验时的室温约为．

【解析】【分析】
本题考查函数模型的综合应用，属中档题．
根据表格数据判断函数的单调性及增长率，根据一次函数、指对数函数性质确定模型，再结合数据求解析式；
令，利用指对数关系及对数运算性质求结果；
根据指数函数性质求函数的值域，即可确定进行实验时的室温．
21.【答案】解：由图可知，当函数取得最大值时，．
此时．
当时，即时，函数取得最大值为，
故喝一瓶啤酒后小时血液中的酒精达到最大值，最大值是毫克百毫升
由题意知当车辆驾驶人员血液中的酒精小于毫克毫升可以驾车，此时，
由，即
解得，
，的最小值为，
故某人故喝一瓶啤酒后小时才可以驾车．
【解析】详细解答和解析过程见【答案】

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