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第五章《函数应用》课堂训练
一、单选题：本题共13小题，每小题5分，共65分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数若函数恰有个零点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
2.某商场“双十二”期间搞促销活动：如果顾客购物的总金额不超过元，不享受折扣优惠如果顾客的购物总金额超过元，那么超过元的部分享受折扣优惠，折扣优惠按如下表计算：
享受折扣的购物金额 折扣优惠
超过元不超过元的部分
超过元的部分
李女士在商场获得的折扣优惠金额为元，则她实际所付金额为( )
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
3.某企业为研发新产品，投入研发的经费逐月递增已知该企业年月投入该新产品的研发经费为万元，之后每个月的研发经费在上一个月的研发经费的基础上增加，记年月为第个月，第个月该企业投入该新产品的研发经费不低于万元，则的最小值是 参考数据：，
A. B. C. D.
4.若函数有最大值，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.狄利克雷函数定义为：，以下选项中正确的是( )
A. 不存在，使得恒成立
B. 存在，使得恒成立
C. 对任意，，满足
D. 函数图像上存在三点，，，使得是直角三角形
6.已知函数，且对于，都满足，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.由于燃油的价格有升也有降，现本月要加两次油，第一种方案：每次加升的燃油；第二种方案：每次加元的燃油从两次加油的燃油均价角度看，下列说法正确的是( )
A. 无法确定采用哪种方案划算 B. 两种方案一样划算
C. 采用第一种方案划算 D. 采用第二种方案划算
8.已知，函数，在上没有零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.方程在複數集中( )
A. 沒有有理根 B. 有個有理根 C. 有個有理根 D. 有個有理根
10.明市在一条线路总里程为公里市运行“招手即停”的公共汽车，票价元与乘坐里程公里之间的函数解析式是，某人下车时交了票价元，则他乘坐的里程可能是 公里
A. B. C. D.
11.某同学用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示：
则该函数零点的近似值精确度为可以是( )
A. B. C. D.
12.若是函数的零点，则所在区间为( )
A. B. C. D.
13.某停车场的停车收费标准如下表所示：
停车收费标准 小型车 大型车
白天
小时内 元小时 元小时
小时后 元小时 元小时
夜间不含一次日 元小时 元小时
注：白天停车收费以小时为个计时单位，夜间停车收费以小时为个计时单位，满个计时单位后方可收取停车费，不足个计时单位的不收取费用
李明驾驶小型车于进入该停车场，并于次日前驶出该停车场，李明缴纳的停车费为元，则李明可能驶出的时间段是( )
A. 当日 B. 当日 C. 次日 D. 次日
二、多选题：本题共1小题，共6分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
14.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，若，则( )
A. 当时，
B.
C. 函数是增函数
D. 函数的值域为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
15.已知减函数，且的图象过点，且，分别是方程的两个实数根，则的值为______．
16.如果某工厂年的年产量是年的年产量的倍，其中，那么该工厂自年至年的年平均增长率为_________．
17.机械工厂制造特定零件，若一次制造数量在个及以内，每个零件的加工时长为小时；若制造数量超过个但不超过个，超过部分每个零件的加工时长为小时；若超过个，超出个的部分每个零件加工时长为小时．现要制造个零件，总共需要的加工时长为________小时．
四、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
老张投资元建设一个网店销售某型号电子产品，已知该电子产品进价为元个，如图为网店的日销售量个与销售价元之间的关系图象．
求日销售量个与销售价元之间的函数关系式；
老张聘用名员工参与销售与发货，员工工资为元天，网店每天的其他费用为元．
当该电子产品定价为多少元时，每天的销售收入有最大值，并求出这个最大值；
在的条件下，多少天能收回成本？
19.本小题分
如图，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段测速区间上平均速度的方法小明发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间的平均行驶速度单位：与行驶时间单位：是反比例函数关系如图．
求与之间的函数关系式；
若小明的爸爸驾驶汽车通过该测速区间的行驶时间为分钟，求它的平均速度；
已知在该限速区间上行驶的小型汽车的最高车速不得超过，最低车速不得低于，求小明的爸爸按照此规定通过该限速区间的时间范围．
20.本小题分
已知函数，的零点分别为，．
若，求；
是否存在，使？说明理由；
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：作出函数的图象，如图所示：
又因为函数恰有个零点，
即直线与的图象有个交点，
所以．
故选：．
将问题转化为直线与的图象有个交点，作出图象，结合图象求解即可．
本题考查了函数与方程思想、转化思想及数形结合思想，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：设李女士在商场购物的总金额为元，
由题意可得：，
则，
则，
即她实际所付金额为元．
故选：．
阅读题意可得：李女士在商场购物的总金额为元，则，则，然后求解即可．
本题考查了分段函数问题，重点考查了阅读理解能力，属中档题．
3.【答案】
【解析】解：由题意可得，则，所以，
所以，
则，又因为，所以的最小值为．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：因为当时，，
则，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，
当趋于时，趋于，
又因为函数有最大值，
所以，解得，
所以实数的范围为．
故选：．
利用导数确定函数的上的单调性及最值，结合题意及一次函数的性质，列出不等式组求解即可．
本题考查了导数的综合运用、一次函数的性质，考查了数形结合思想，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：对于，取，
当为有理数时，和均为有理数，
此时恒成立，故A错误；
对于，当为有理数时，
当为有理数，则、均为有理数，
此时；
当为无理数，、均为无理数时，
此时；
当为无理数时，
当为有理数，则、均为无理数，
此时；
当为无理数时，
当、均为无理数时，
此时；
当、有一个为无理数，另一个为有理数时，
时；
综上，不存在，使得恒成立，故B错误；
对于，取，，
则，而，
此时，故C错误；
对于，取，，，
则，，，
则有，此时是直角三角形，故D正确．
故选：．
举反例判断；
分为有理数、无理数，为有理数、无理数，判断；
举反例判断；
取，，，可判断．
本题考查了狄利克雷函数的定义及性质，考查了分类讨论思想，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：因为对于，都满足，
所以函数在上单调递增，
当时，，．
在上单调递增，
所以，解得．
因为函数在上单调递增，
在定义域上单调递增，
根据复合函数单调性法则可知，
在上单调递增等价于，所以，
又根据分段函数递增法则可得，所以．
所以．
故选：．
由条件可得函数在上单调递增，结合二次函数单调性，对数函数单调性，分段函数的单调性的性质列不等式求结论．
本题考查了指数函数、对数函数的性质，考查了复合函数的单调性，属于中档题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了利用基本不等式解决实际问题，是基础题．
设两次加油的价格分别为元升和元升，计算两种方案的均价，再比较大小即可．
【解答】
解：设两次加油的价格分别为元升和元升，
则第一种方案的均价为；
第二种方案的均价为；
因为，，所以，当且仅当时取等号；
所以，，
所以，
所以采用第二种方案加油更划算．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：当时，，若无解，
则或，
解得或；
当时，，
若无解，则．
所以，解得或，
所以实数的取值范围是．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：由得、，
因此若方程有有理根、互质，
则是的因数，是的因数，
所以方程可能的有理根是和．
因为，，
，，
所以和都不是方程的有理根，
因此方程没有有理根．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了分段函数，意在考查学生的应用能力，属于基础题．
根据函数解析式得到，得到答案．
【解答】
解：票价元与乘坐里程公里之间的函数解析式是
，则．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：因为函数在上单调递增，
根据零点存在性定理结合图表可知，
方程的解在区间内，
又因为精确度为，
所以函数的零点在区间内，
因为，所以选项C正确．
故选C．
12.【答案】
【解析】【解答】
本题考查函数零点存在性定理，属于基础题．
根据函数零点存在性定理，由，即可求解．
【解答】
解：易知在定义域上单调递减
，，
且在上是连续的函数，
在上有唯一零点．
故选C．
13.【答案】
【解析】由题意得，，停车费元，，停车费元，还需缴纳元停车费由于满个计时单位后方可收取停车费，不足个计时单位的不收取费用，所以夜间停车时长大于小时，不足小时，即驶出时间在之间故选C．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查求具体函数的解析式，判断或证明函数的单调性，求函数的值域，是基础题．
选项，利用，得到A正确；选项，举出反例；选项，画出的图象，得到函数单调性和值域，得到D正确．
【解答】
解：对于，当时，，
故，故A正确；
对于，当时，，
，
此时，故B错误；
对于、，作出函数的图象如下：
由图可知在上不单调，且值域为，故C错误，D正确．
故选：．
15.【答案】
【解析】解：由，
可得，
所以或，
解得或，
当，时，
则，且的图象过点，
所以，解得，
又因为函数为减函数，
所以，
故舍去；
当，时，
则，且的图象过点，
所以，解得，
所以，
所以．
故答案为：．
求得方程的两个实数根分别为或，分，和，，结合指数函数的性质求解即可．
本题考查了函数与方程思想、分类讨论思想，考查了指数函数的性质，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：某工厂年的年产量是年的年产量的倍，其中，
设该工厂年的产量为，自年至年的年平均增长率为，
则，解得．
该工厂自年至年的年平均增长率为．
17.【答案】
【解析】解：设制造个零件，需要时间长为，
则
得．
故答案：．
18.【答案】；
元；天．
【解析】当时，设与的函数关系式为，
根据图象把、代入得：
，解得，
所以；
当时，
设与的函数解析式为，
把、代入得：
，解得，
所以，
综上所述，；
设每日的收入是元，
当时，
，
因为，由二次函数的性质可知函数在上单调递增；
所以当时，最大为元；
当时，
，
因为，由二次函数的性质可知函数在上单调递增；
所以当时，最大为元，
综上所述，时，每日的最大销售收入是元；
设该店至少需要天才能收回成本，
根据题意得：，
解得，
所以该店至少需要天才能收回成本．
用待定系数法求出函数在和上的解析式即可；
设每日的收入是元，分段求出函数的最大值即可；
由求解即可．
本题考查了函数在生活中实际运用，考查了一次函数、二次函数的性质，属于中档题．
19.【答案】；
；
．
【解析】由题意可设，
将代入得，，；
故与的函数表达式为；
分钟小时，
当时，，故它的平均速度是；
当时，，当时，，
小明的爸爸按照此规定通过该限速区间的时间范围为．
根据速度与时间的关系式即可求解；
根据平均速度的性质即可求解；
根据最高车速和最低车速即可求解．
本题考查了速度与时间的关系式，属于中档题．
20.【答案】解：若 ，则，
有，而单调递增，故
存在
，
，得，
令，则
由，代入解得，
代入中，有正解，故存在
【解析】详细解答和解析过程见【答案】

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