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2024-2025学年重庆市第一中学校高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若向量，则实数的值为( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则的虚部是( )
A. B. C. D.
3.如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是三角形，若，，则原三角形的面积为( )
A. B. C. D.
4.设有两条不同的直线，和两个不同的平面，，则下列命题正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
5.已知三个内角，，的对边分别是，，，若，则的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
6.如图，在梯形中，，为线段的中点，先将梯形挖去一个以为直径的半圆，再将所得平面图形以直线为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为( )
A. B. C. D.
7.蹴鞠如图所示，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、踢、踢皮球的活动，类似于今日的足球．年月日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知某鞠球的表面上有四个点，，，，面，，则该鞠球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.如图，在凸四边形中，，当变化时，对角线的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是( )
A. 直线与直线所成角为
B. 平面
C. 、、三点共线
D. 直线与平面所成角的为
10.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A.
B. 为函数的一个对称中心
C. 将的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数图形
D. 在上单调递增，则的取值范围为
11.已知正方体的棱长为，为线段的中点，，其中，则下列选项正确的是( )
A. 时，
B. 时，的最小值为
C. 时，三棱锥的体积为定值
D. 时，直线与平面的交点轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数满足，则的值为 ．
13.如图所示，三棱台中，，且三棱锥的体积，则三棱锥的体积为 ．
14.设为单位向量，满足，，若的夹角为，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在直三棱柱中，底面为直角三角形，，，分别为，的中点．求证：
平面；
若，求点到平面的距离．
16.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，满足．
求角；
若，，求的周长．
17.本小题分
在平行六面体中，底面为正方形，，，侧面底面．
求证：平面平面；
求二面角的平面角的正弦值．
18.本小题分
如图．在梯形中，，、是的两个三等分点，、是的两个三等分点，线段上一动点满足分别交于、两点，记．
当时，求的值；
若，求的值；
若，求的取值范围．
19.本小题分
三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名．当内一点满足条件时，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在中，角，，所对边长分别为，，，点为的布洛卡点，其布洛卡角为．
求证：；
若，是否存在常数，使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
若，试判断的形状．
参考答案
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14.
15.解：因为，分别为，的中点，所以，
因为，所以，
因为平面，平面，
所以平面．
因为底面为直角三角形，，，所以，
因为，所以，
由于，所以的面积为；
因为底面为等腰直角三角形，所以，所以的面积为
设点到平面的距离为，，所以，
解得，
即点到平面的距离为．

16.解：因为，
由正弦定理得，即，
整理得，
由余弦定理得，
又，所以；
因为，，，
所以，
因为，
所以，，
所以的周长为．

17.解：由底面为正方形，得，又底面，
侧面底面，侧面底面，
则平面，而平面，
所以平面平面．
法：由知平面，又，则平面，
如图以为原点建立空间直接坐标系，
由，，得，，
则到的距离为，故，，，
设平面的一个法向量，
，不妨取，则，
侧面底面，故平面的一个法向量，
设二面角的平面角为，
，
所以二面角的平面角的正弦值．
法：在平行六面体中，连接，连接，
由，，得是菱形，且是正三角形，
则，由知平面，而，则平面，
又平面平面，于是平面，又平面，
则，而平面，因此平面，
又平面，则，为二面角的平面角，
在中，，则斜边，
所以，即二面角的平面角的正弦值．

18.解：
由题意，
，
所以
；
，
若，则，
，
因为三点共线，
所以可设，
由于三点共线，所以设，
所以，解得，，
所以；
，
则
，
，
因为三点共线，
所以可设，
因为，所以，
所以，即，
所以，
令，所以，
由对勾函数性质可知，在上单调递增，
故所求为．

19.解：依题意，，
所以．
存在实数使等式成立．理由如下：
由得，在中，由余弦定理得：
，，
三式相加整理得
，所以时，存在实数使．
当时，由得，
由得，，
在中，由余弦定理得，
于是
，当且仅当且时取等号，
由，得，则，，
即当且仅当且时取等号，亦即当且仅当为等边三角形时取等号，
因此，当且仅当为等边三角形时取等号，
而，所以为等边三角形．

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