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2024-2025学年湖南省岳阳市岳阳县第一中学高二下学期5月期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
3.函数有且只有一个零点的充要条件是( )
A. B. C. D. 或
4.若随机变量，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知椭圆：，点，若直线与椭圆交于，两点，则的周长为( )
A. B. C. D.
6.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
7.已知正三棱锥的外接球为球，点为的中点，过点作球的截面，则所得截面图形面积的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.学校要举办足球比赛，现在要从高一年级各班体育委员中挑选名不同的裁判员一名主裁判，一名助理裁判，一名助理裁判，一名第四裁判，其中高一共个班，每个班各一名体育委员，共个女生，个男生，要求四名裁判中既要有男生，也要有女生，那么在女裁判员担任主裁判的条件下，第四裁判员是男生的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论中，正确的有( )
A. 数据，，，，，，的第百分位数为
B. 若随机变量，则
C. 若，且，则，相互独立
D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于
10.已知为正实数，，则下列说法正确的是( )
A. B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
11.如图所示，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是( )
A. 棱上存在一点，使得平面
B. 点到平面的距离为
C. 过且与面平行的平面截正方体所得截面面积为
D. 过的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为
12.已知抛物线：的焦点为，准线为，与轴的交点为，过的直线与分别交于，两点，则以下选项正确的是( )
A. 坐标为
B. 当时，
C. 若，则
D. 过点作与垂直的直线与交于、两点，则四边形面积的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知，且，则的最小值是 ．
14.在数和之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令则数列的通项公式为 ．
15.已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项和为，所有偶数项和为，则该数列的项数为 ．
16.甲口袋中装有个黑球和个白球，乙口袋中装有个白球现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放
入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有个黑球的概率为，恰有个黑球的概率为，则 ，的数学期望 用表示
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设数列的前项和为，已知，数列是以为公差的等差数列．
求数列的通项公式；
设，数列的前项和为，证明：．
18.本小题分
已知数列的首项为，且满足．
求证：是等比数列；
求数列的前项和．
19.本小题分
在一个温馨的周末，甲同学一家人齐聚在宽敞明亮的客厅里进行掷游戏币活动，假设每次掷游戏币出现正面的概率为，且，每次掷游戏币的结果相互独立．
当时，若甲连续投掷了两次，求至少出现一次正面向上的概率
若规定每轮游戏只要连续不断的出现三次正面向上，则游戏结束，每轮最多连续投掷次．
甲在一轮游戏中恰好投掷了次游戏结束的概率为，求的表达式
设甲在一轮游戏中投掷次数为，求的最大值．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，点在上，且，．
若为线段中点，求证：平面．
若平面，求平面与平面夹角的余弦值．
21.本小题分
为了测试一种新药对某种疾病的治疗效果，研究人员对一地区某种动物种群数量较大进行试验，从该试验种群中随机抽查了只，得到如下的样本数据单位：只：
发病 没发病 合计
使用药物
没使用药物
合计
能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为该药物与预防该疾病有关？
从该地区此动物群中任取一只，记表示此动物发病，表示此动物没发病，表示此动物使用药物，定义事件的优势，在事件发生的条件下的优势，证明：，并利用表中数据求出值．
若把表中的频率视作概率，现从该地区没发病的动物中抽取只动物，记抽取的只动物中使用药物的只数为，求随机变量的分布列，数学期望．
附：，其中．
22.本小题分
已知函数，．
求函数的值域；
设函数，证明：有且只有一个零点，且．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.，
15.
16.
17.因为，则，
因为数列是以为公差的等差数列．
所以，可得，
当时，，
又因为适合上式，因此．
由可得：，
故

18.证明：
数列满足，即，
，
即，
又，
，
数列表示首项为，公比为的等比数列．
由知，
，
，
当为偶数时，可得；
当为奇数时，可得；
综上可得，

19.解：设事件表示第次正面向上，其中，，，，，，且，，
设事件“至少出现一次正面向上”，
；
设事件“恰好投掷了次游戏结束”，
则，
故
，
所以；
的可能取值为，，，，
则，，，
，
则，
令，
则，
当，，则在上单调递减，
当时，的最大值为．
20.解：取的中点为，接，则，
而，故，故四边形为平行四边形，
故，而平面，平面，
所以平面．
因为，故，故，
故四边形为平行四边形，故，所以平面，
而平面，故，而，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则
设平面的法向量为，
则由可得，取，
设平面的法向量为，
则由可得，取，
故，
故平面与平面夹角的余弦值为．
21.提出零假设该药物与预防该疾病无关，
根据表格得出，，
由此推断不成立，
则能在犯错误的概率不超过的前提下，认为该药物与预防该疾病有关．
由条件可得，
由表中数据可知，，，则．
样本中没发病的动物有只，其中使用药物的有只，
则使用药物且没发病的频率为，
将频率视作概率，则，
则，，
，，
则的分布列为：
期望．

22.因为，
所以，
则，
所以为偶函数，
当时，
令，则，令，，
，又，，
所以，
即当时，根据偶函数关于轴对称，所以当时，
综上可得．
因为，
当时，函数与函数均在上单调递增，
故在上单调递增，
又，，
故存在唯一零点，
当时，，，故，
当时，，，故，
故当时，无零点，
综上所述，有且只有一个零点，且该零点；
由上可知，且有，
则，
即，
由函数在区间上单调递增，
故．

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