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2024-2025学年山东省烟台市牟平第一中学高一下学期5月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列几何元素可以确定唯一平面的是( )
A. 三个点 B. 圆心和圆上两点 C. 梯形的两条边 D. 一个点和一条直线
2.设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法中正确的是( )
A. 若，，则，为异面直线
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
3.在中，为直角，，，若用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为( )
A. B. C. D.
4.已知四面体中，，分别是，的中点，若，，与所成角的度数为，则与所成角的度数为
A. B. C. D.
5.一化学器皿为圆台形状，其上、下底面半径分别为和，高为器皿厚度忽略不计现将该器皿水平放置后上底位于上方注入盐酸溶液，若溶液高度恰为，则溶液体积为( )
A. B. C. D.
6.已知为等腰直角三角形，为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线与平面所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
7.在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则( )
A. B. 与平面所成的角为
C. D. 与平面所成的角为
8.设三棱柱的侧棱垂直于底面，，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的有( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，是异面直线，，，，，则
10.已知圆锥的底面半径为，高为，为顶点，，为底面圆周上两个动点，则( )
A. 圆锥的体积为
B. 圆锥的侧面展开图的圆心角大小为
C. 圆锥截面的面积的最大值为
D. 从点出发绕圆锥侧面一周回到点的无弹性细绳的最短长度为
11.如图正方体的棱长为，则下列四个命题中正确的是( )
A. 正方体被面分割成两部分的体积比为
B. 点到平面的距离为．
C. 四面体的外接球体积为
D. 二面角的大小为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.国家二级文化保护遗址玉皇阁的台基可近似看作上，下底面边长分别为，，侧棱长为的正四棱台，则该台基的体积为 ．
13.已知正三棱台由正三棱锥截得的棱台的高为，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ．
14.在矩形中，平面，则平面与平面的夹角的正切值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为．

计算该模型的体积结果精确到
现需使用油漆对个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米元，总费用是多少？结果精确到元
16.本小题分
如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面．是的中点．
求证：平面；
求证：；
若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由．
17.本小题分
如图，在四面体中，是边长为的正三角形，且．
证明：；
若是的中点，且二面角的大小为，求与平面所成角的大小．
18.本小题分
如图，在三棱柱中，平面，，是的中点．
求证：平面
求证：平面平面
求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
如图，三棱柱中，，，，，．

证明：．
求三棱柱的体积．
求二面角的平面角余弦值大小．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.解：设圆锥的高为，
由题意得圆锥母线为，圆锥的底面半径为，
则，
设圆柱的底面半径为，高为，由已知可得，，
所以圆柱的体积，
圆锥的体积
；
圆柱的侧面积为，圆柱的上底面的面积为，
圆锥侧面积为．
一个模型的表面积，
所以总费用为元．

16.证明：在四棱锥中，取中点，连、，
平行且等于，平行且等于，
平行且等于，
四边形为平行四边形，
，
又平面，平面，
平面
梯形中，
又面，面，
面，
面，面面，
，．
取中点，连接，，
，分别为，的中点，
，
平面，平面，
平面，
又由可得平面，，、平面，
平面平面，
是上的动点，平面，
平面，
当为的中点时，平面．
17.解：取中点，连接，
由已知条件是边长为的正三角形，得．
平面，所以平面，
又平面，所以．
二面角的大小为，即平面平面．
由平面平面，且由知，平面，
所以平面，从而即为与平面所成角
在中，，从而，
在中，，
因为平面，且平面，所以，
所以在中，，且，
易求得，即与平面所成角的大小为．
18.解：在三棱柱中，连接交于，连接，
则是的中点，又是的中点，，
而平面，平面，
所以平面．
由，是的中点，得，
由平面，得平面，又平面，则，
又是平面内的两条相交直线，因此平面，而平面，
所以平面平面
在平面内过作于，连，
由知，平面平面，平面平面，
则平面，是与平面所成的角，
在直角中，令，则，，
在直角中，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．

19.解：取中点，连结，，，
，，
是正三角形，．
，，
，平面，
平面．
又平面，；
由题设知与都是边长为的等边三角形，
所以．
又，则，故．
因为，、平面，
所以平面，即为三棱柱的高，
又的面积，
故三棱柱的体积．
过作于点，连接，
因为，，，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
又，，平面，
所以平面，
因为平面，
故，．
则即为二面角的平面角．
在中：，，
所以，
所以 ，
即二面角的平面角余弦值大小为．


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