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2024-2025学年山东省淄博市实验中学、齐盛高级中学高二下学期期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.为等差数列的前项和，已知，则为( )
A. B. C. D.
2.已知是等比数列，若，则的公比( )
A. B. C. D.
3.曲线在处的切线方程为( )
A. B. C. D.
4.自然对数也称为欧拉数，它是数学上最重要的常数之一，的近似值约为，若用欧拉数的前位数字、、、、设置一个位数的密码，则不同的密码有个．
A. B. C. D.
5.已知的二项式系数的最大值分别为，，则正整数( )
A. B. C. D.
6.现有两位游客来淄博旅游，他们分别从淄博海岱楼、淄博市博物馆、鲁山森林公园、红叶柿岩景区、蒲松龄故居、周村古商城、这个景点中随机选择个景点游玩记事件“两位游客中至少有一人选择淄博海岱楼”，事件“两位游客选择的景点不同”，则( )
A. B. C. D.
7.若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二除以余，五五数之剩三除以余，七七数之剩二除以余，问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数满足二二数之剩一，三三数之剩一，将符合条件的所有正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若二项式的展开式中，第项的二项式系数最大，则
B. 若，则
C. 被除的余数为
D. 的展开式中含项的数为
10.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 函数与轴有三个不同的交点
B. 函数存在最小值但没有最大值
C. 若当时，，则的最大值为
D. 若方程有个实根，则
11.数列的各项均为正数，，函数在点处的切线过点，则下列正确的是( )
A. B. 数列是等比数列
C. 数列是等比数列 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.甲、乙等位老师到某地所学校进行送教服务，要求每人只去一所学校，每所学校不能少于人，且甲、乙在不同一所学校，则不同的安排方法有种 ．
13.同一种产品由甲乙丙三个厂商供应由长期的经验知，三家产品的正品率分别为，甲乙丙三家产品数占比例为，将三家产品混合在一起从中任取一件，求此产品为正品的概率 ．
14.已知函数，若恒成立，则正数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和为，且满足．
求数列的通项公式；
已知，求数列的前项和为．
16.本小题分
已知数列为等差数列，，，数列的前项和为，且满足．
求和的通项公式；
若，数列的前项和为，且对恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数，若曲线在点处的切线方程为．
求的解析式；
求在区间上的最值．
18.本小题分
已知函数．
求在处的切线方程；
若，，求的取值范围；
若、，讨论与的大小关系，并说明理由．
19.本小题分
已知函数．
判断函数在区间上的单调性，并说明理由；
若函数在上的最大值在区间内，求整数的值．
参考答案
1.
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9.
10.
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13.
14.
15.解：，
当时，，解得，
当时，，
式子得，故，
因为，所以，所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以；
，
．
16.解：解：等差数列中，设公差为，
则
数列中的前项和为，且
当时，
当时，
得：
故数列是以为首项，为公比的等比数列，所以．
解：数列中，．
则
所以
故
所以
对恒成立．
当为奇数时，，
当为偶数时，
综上：实数的取值范围为．
17.解：依题意，，故切点为，
由切点在切线上，得．
，
又，切线方程为，其斜率为，
即，
，
．
所以，的解析式为
由知，
由，得，或，
因为，，，，
易知，
所以，
因此，函数最小值为，最大值为．
18.解：因为，则，所以，又
所以在处的切线方程为，即．
令，其中，则，
由，可得．
当时，即当时，对任意的，，
此时，函数在上单调递增，则，合乎题意；
当时，即当时，由可得，由可得，
所以，函数在区间上单调递减，
故，不合乎题意．
综上所述，实数的取值范围是．
不妨设，且当时，，故函数在上单调递增，
先比较与的大小，即比较与的大小关系，
令，其中，所以，
故函数在上单调递增，
因为，所以，即，
即，故，
19.解：，，
当时，，，，，
在单调递增．
，
令，则，所以在上单调递增，
因为，，
所以存在，使得，即，即，
故当时，，当时，，
又当时，等号仅在时成立，
所以当时，，
当时，等号仅在时成立，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，
令，，则，，
所以在上单调递增，则，，
所以，所以．

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