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2024-2025学年重庆市部分校联考高二下学期5月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知离散型随机变量的分布列为
则实数的值为( )
A. B. C. D.
2.某地天气预报资料显示，近段时间中一天下雨的概率是，连续两天都下雨的概率是已知某天下雨，则随后一天也下雨的概率是( )
A. B. C. D.
3.要安排名学生到个乡村做志愿者，每名学生只能选择去个村，每个村里至少有名志愿者，则不同的安排方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.在的展开式中，则的系数为( )
A. B. C. D.
6.某次数学测试有道单选题选小王能完整做对其中道题，剩余道题中，有道题有思路，且做对的概率都是，有道题完全没有思路，且猜对的概率是从中任选道题，小王做对该题的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知是定义在上的奇函数，且当时，，则( )
A. B.
C. D.
8.拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下说法正确的是( )
A. 相关系数用来衡量成对样本数据的线性相关程度，而决定系数可以用来比较两个模型的拟合效果
B. 若，，则，
C. 已知经验回归方程为，且样本点的中心为，则的预测值为
D. 某校高二年级的男生身高单位：近似服从正态分布若该校高二年级有名男生，则身高在内的男生大约有人参考数据：，
10.已知函数，若曲线过点的切线有两条，则实数的值不可能为( )
A. B. C. D.
11.我国南宋数学家杨辉年所著的详解九章算法一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究下列结论正确的是( )
A.
B. 第行的第个数和第个数相等
C. 记杨辉三角中第行的第个数为，则
D. 在杨辉三角中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从名女生、名男生中任选人参加数学竞赛，且至多有名男生入选，则不同的选法共有 种用数字作答
13.若函数在区间上有个极值点，则实数的取值范围是 ．
14.某病毒感染率为现对某地区进行抽样调查，若抽到感染者，则停止抽样，否则继续抽样直到抽到感染者为止，但抽样次数不超过次记抽查次数为，则 要使抽查次数的期望值不超过，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的展开式中只有第项的二项式系数最大．
求的值；
设，求的值．
16.本小题分
教师节来临，学校预在今年的“教职工趣味运动会”中添加一个新的比赛项目为了解教职工对该项目的兴趣，现从全校教职工中随机抽取人进行调查，得到如下列联表．
性别 喜欢 不喜欢 总计
男
女
总计
请补充完整该列联表，并判断能否在犯错误不超过的前提条件下，认为喜欢此项目与性别有关．
参考公式：，其中．
参考数据：
现按性别从这名教职工中分层抽样抽取人参加抽奖活动，奖品共份如果是女职工获奖，那么奖品价值元如果是男职工获奖，那么奖品价值元求奖品总价值的分布列及期望．
17.本小题分
已知函数．
讨论的单调性
若有三个零点，求的取值范围．
18.本小题分
一个袋子中装有外观、材质完全相同的红、白两种球，其中红球个，白球个现从袋中一次性摸出个球，若个球同色，记分，否则记分．
求一次摸球得分为的概率
若，有放回地摸三次球，求得分的分布列及期望、方差
有放回地摸四次球，记四次摸球后得分为的概率为，则当为多少时，最大
19.本小题分
若函数在区间上有意义，且存在，使得对任意的，当时，单调递增，当时，单调递减，则称为上的“抛物线型函数”，其中为在上的峰值．
Ⅰ若函数，试判断是否是区间上的“抛物线型函数”
Ⅱ若是区间上的“抛物线型函数”，求实数的取值范围
Ⅲ若函数，求证：是区间上的“抛物线型函数”，并求在区间上的峰值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由的展开式中只有第项的二项式系数最大，得的展开式共有项，
所以．
由知，，
取，得，取时，，
所以．
16.解：补充完整列联表：
性别 喜欢 不喜欢 总计
男
女
总计
零假设为：喜欢此项目与性别无关，
根据列联表中的数据，经过计算得到：
，
则根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为喜欢此项目与性别有关，此推断犯错误的概率不大于，
所以能在犯错误不超过的前提条件下，认为喜欢此项目与性别有关；
由题意，抽取人中男职工为人，女职工为人，
设获奖女职员数为，则总价值，
又，故，
，
，
，
则的分布列为：
则．
17.解：已知，
则，
令，即，解得或，
若，即，
则当或时，，
即在，上单调递增，
当时，，
即在上单调递减；
若，则，且不恒为，
即在上单调递增；
若，即，
则当或时，，
即在，上单调递增，
当时，，
即在上单调递减；
综上所述，
当时，在，上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
由可知，当时，有两个极值点和，
，
，
因为有三个零点，所以的极大值大于，极小值小于，
当时，的极大值为，极小值，
解得，
当时，的极大值为，极小值，
解得且，
综上，的取值范围为
18.解：从个球中一次性摸出个球的总组合数为，
若个球同色，分两种情况：
两个都是红球的组合数为，
两个都是白球的组合数为，
一次摸球得分为即个球同色的概率：
；
当时，即袋子里有个红球和个白球，共个球，
一次摸球得分为的概率，
则一次摸球得分为的概率，
因为有放回地摸三次球，则服从二项分布∽，
，
，
，
，
期望，
方差；
有放回地摸四次球，每次摸球得分为的概率为
，，
得分为的概率为，
由，
得当时，，即单调递增，
可得，
四次摸球后得分为，即有三次得分，一次得分，
根据二项分布概率公式，
设，，
则，令，得，
则当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故令，得，
即，所以有，
又，
结合，的单调性，
得当时，取得最大，
又时，，
时，，
比较得，当时，最大．
19.解：Ⅰ因为，所以，
设，则当时，，
所以在区间上单调递减，且，
所以，在区间上单调递减，
故不是区间上的“抛物线型函数”．
Ⅱ因为，所以．
当时在区间上单调递增，在区间上单调递减，
但区间为，在区间上单调递增，故不满足题意，
当时，令，得或．
若，当时，，在区间上单调递增，
当时在区间上单调递减，
当时，在区间上单调递增，
若是区间上的“抛物线型函数”，则解得．
若在区间上单调递减，在区间上单调递增，
在区间上单调递减，不存在，使得在区间上先增后减，故不满足题意．
综上，的取值范围是．
Ⅲ因为，所以
设，则在区间上单调递减，且，，
所以存在，使得，
当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减，
所以是区间上的“抛物线型函数”
由，得，，
所以，
即在区间上的峰值为．
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