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2024-2025学年重庆一中高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若在同一个平面直角坐标系内，一个椭圆绕其中心旋转，所得椭圆短轴两个顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，则这个椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
2.一组数据，，，，，，，，，的第百分位数是( )
A. B. C. D.
3.若曲线其中为自然对数的底数有两条过坐标原点的切线，则实数的取值范围是( )
A. 或 B. C. D.
4.某人有个孩子：在已知其中一个是男孩的条件下，另外一个是女孩的概率为( )
A. B. C. D.
5.在的展开式中，常数项为( )
A. B. C. D.
6.年春节档电影哪吒之魔童闹海成为中国影史票房最高的电影，某班甲、乙、丙、丁、戊这位同学相约一起去电影院观看，要求人坐在同一排相邻的个位置，甲、乙、丙这三人相邻，且丙不与丁相邻，则不同的座位排列方法有种．
A. B. C. D.
7.英国数学家泰勒给出如下公式：，其在数学、物理、工程等领域有广泛应用，则的近似值结果精确到最接近为( )
A. B. C. D.
8.若关于的方程其中、有实根，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则下列说法正确的有( )
A. 有两个极值点 B. 直线是函数的切线
C. 的对称中心是 D. 有且仅有三个零点
10.已知抛物线的焦点为，直线，过的直线交抛物线于，两点，交直线于点，，，则( )
A. 的面积的最大值为 B.
C. D.
11.在正方体中，若点处有一个质点，随机的沿正方体的各条棱或面对角线或体对角线移动到其它顶点为一次移动，且每个顶点移动到其它任意一个顶点的概率都相同，设质点移动次后还在底面的概率为，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 为等比数列 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若随机变量且，则 ．
13.直线与双曲线交于、两点，且过该双曲线的右焦点若满足条件的直线有且仅有条，则的取值范围是 ．
14.已知有一组数据共个，其平均数是，方差是，现去掉其中个数据：，，，，，则余下的个数据的方差为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
随着“一带一路”的发展，中国同某国贸易频繁，现统计近年两国交易额单位：百亿元，结果见表：
年份
年份代码
交易额
统计学中常用线性相关系数来衡量两个变量与之间线性关系的强弱一般认为：若，则负相关性很强；若，则正相关性很强；若，则相关性一般；若，则相关性很弱请用表中数据计算出，并说明与的线性相关程度．
求出关于的线性回归方程，并预测年两国的交易额．
参考数据：；
参考公式：；回归方程，，．
16.本小题分
年月，某视频发布，该模型在全球范围内引发广泛关注，现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了若干名用户的每日使用时长单位：分钟，得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于分钟的用户称为“忠实粉丝”．
求的值：
采用分层抽样的方法，已经从样本中每日使用时长在的用户中抽取出了人，现从这人中随机抽取人作进一步分析，记为人中忠实粉丝的人数，求的分布列和期望．
用样本频率估计总体概率，从该产品所有用户中随机抽取人，记为其中“忠实粉丝”的人数，时对应的概率记为，则为多少时最大？
17.本小题分
正在改变着我们的工作和生活为了解不同学历人群对的使用情况，随机调查了人，得到如下数据：
学历 使用情况 合计
经常使用 不经常使用
本科及以上
本科以下
合计
依据的独立性检验，能否认为的使用情况与学历有关？
某校组织“模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有道题目，甲、乙同时依次作答，道试题作答完毕后比赛结束规定：对同一道题目，若两人同时答对或同时答错，每人得分；若一人答对而另一人答错，答对的得分，答错的得分比赛结束后，道题的得分之和为该选手的最后总分两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，且甲正确回答每道题的概率为，乙正确回答每道题的概率为．
求甲的总分为分的概率；
求在甲的总分为分的条件下，乙恰好回答对道题的概率．
参考公式与数据：，其中．
临界值表
18.本小题分
已知双曲线，点．
过点分别作和垂直于双曲线的两条渐近线，、为垂足，求的面积：
若、两点都在双曲线上运动，且，作于点，求证：动点在定圆上，并求出此定圆的方程．
19.本小题分
已知函数其中为自然对数的底数，
若函数在其定义域上不单调，求证：．
若对任意恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意，根据表格中的数据，
可得：，，
则，
，
所以
所以变量与的线性相关程度很强．
由可得，，，
又由，
所以，则，
可得关于的线性回归方程为
令，可得，
即年两国的交易额交易额百亿元．
16.解：由，解得．
由频率分布直方图可知，与的用户数之比为：，
所以用分层抽样抽取的人中，有人是忠实粉丝，从人中任取人，取，，，
，，
所以的分布列为
所以；
用样本的频率估计概率，从该公司所有用户中任取人，他为忠实粉丝的概率为
所以
，解得：，又，故时概率最大．

17.解：零假设为：的使用情况与学历无关，
根据列联表中的数据，可得，
依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为的使用情况与学历无关；
当甲，乙同时回答第道题时，甲得分为，
，
，
，
比赛结束甲的得分的取值为的概率为：
，
(ⅱ)设“比赛结束后甲总分是分”，“比赛结束时乙恰好答对一道题”，
由可得，
，
则，
所以比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对道题的概率为．

18.解：两渐近线的方程分别为，即．
则，
设的倾斜角为，则．
故．
从而．
若直线的斜率存在时，设，联立，消得：
，设，则．
由
即，
即，
即，
即，
即，
解得或，
直线的方程为：不符，舍或．
直线过定点．
若直线的斜率不存在时，设，联立，
得或
即，
由得或不符，舍去．
直线的方程为，此时也过定点．
在中，取中点，则．
故动点在以点为圆心，为半径的定圆上，
且此定圆的方程为．

19.解：因为，所以，
当时，，在上为减函数，不合题意．
当时，由得，由得，
所以在上单调递增，在上单调递减，符合题意，
此时，
要证，只需证，即证，
不等式等价于，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，故．
由题意得，
，
令，则等价于恒成立，
令，则，
当时，，则，在上单调递减，
当时，令，则，故在上单调递增，
又，所以存在唯一的，使得，
且当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，
综上所述，在上单调递减，在上单调递增，
因为，故存在唯一，使得，
从而；
由知：当时，是减函数，故的值域为，此时存在恒成立，符合题意；
当时，是减函数，故的值域为，此时存在，不符合题意；
当时，，又当时，，故的值域为
若即时，，此时恒成立，符合题意，
若即时，取，此时存在，不符合题意．
综上所述，实数的取值范围为．

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