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2024-2025学年广东省江门市新会第一中学高二下学期月考(二)
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在一个关于智能助手的准确率测试中，有三种不同的模型，，模型的准确率为，模型的准确率为，模型的准确率为已知选择模型，，的概率分别为，，现随机选取一个模型进行测试，则准确率为( )
A. B. C. D.
2.的展开式中的系数是( )
A. B. C. D.
3.已知函数，函数在上的最大值为( )
A. B. C. D.
4.在等比数列中，，，则首项( )
A. B. C. D.
5.有件产品，其中件是次品，从中任取两件，若表示取得次品的件数，则( )
A. B. C. D.
6.如图，用种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有( )
A. B. C. D.
7.我国天文学和数学著作周髀算经中记载；一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸一丈等于十尺，一尺等于十寸，则说法不正确的是( )
A. 相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺 B. 春分和秋分两个节气的晷长相同
C. 立春的晷长与立秋的晷长相同 D. 立冬的晷长为一丈五寸
8.小王家附近有，两家超市，小王第一次购物时从两家超市中随机选择一家，且去每家超市的概率相等如果他第一次购物时去超市，那么第二次购物去超市的概率为，如果他第一次购物时去超市，那么第二次购物去超市的概率为，则小王第二次购物去超市的概率是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式中与排列数相等的是( )
A. B.
C. D.
10.已知，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
11.记、分别为函数、的导函数，若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”，则下列说法正确的为( )
A. 函数与存在唯一“点”
B. 函数与存在两个“点”
C. 函数与不存在“点”
D. 若函数与存在“点”，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数为 用数字作答．
13.天津有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客每天分别从包子、麻花、炸糕、素卷圈、锅巴菜、大饼卷一切这种美食中随机选择品尝，每天至少品尝一种且每天不重样，若三天后他品尝完这种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为 ．
14.设，则 ， ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知在的展开式中，第项为常数项，求：
的值；
展开式中的系数；
含的整数次幂的项的个数．
16.本小题分
甲、乙两人玩投篮游戏，规则如下：两人轮流投篮，每人至多投次，甲先投，若有人投中即停止投篮，结束游戏，已知甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，求：
乙投篮次数不超过的概率；
记甲、乙两人投篮次数总和为，求的分布列．
17.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
求在区间上的值域．
18.本小题分
已知数列的前项和为，且．
求的通项公式；
若，求数列的前项和．
19.本小题分
已知函数，，设．
若，求的最大值；
求在上的最小值；
若有两个不同的零点，求证：．
参考答案
1.
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14.
15.解：由已知得二项展开式的通项为．
因为第项为常数项，所以当时，，即，解得．
由知，
令，得，所以的系数为．
要使为整数，只需为偶数，由于，，因此含的整数次幂的项共有项，分别为展开式的第，，，，，项．

16.解：记“甲投篮投中”为事件，“乙投篮投中”为事件．
“乙投篮次数不超过”包括三种情况：
第一种是甲第次投篮投中，
第二种是甲第次投篮未投中而乙第次投篮投中，
第三种是甲、乙第次投篮均未投中而甲第次投篮投中．
故所求的概率
．
所以乙投篮次数不超过的概率为
甲、乙投篮次数总和的值为，，，，
，
，
，
．
所以甲、乙投篮次数总和的分布列为

17.解：函数的定义域是，
．
令，解得或．
当变化时，，的变化情况如下表：
极大值
极小值
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为．
由可知在区间内，
当时，取得极小值．
由，，，
得，
所以在区间上的值域为．

18.解：当时，，解得．
当时，由，得，
两式相减得，即，
利用累乘可得，
即，因为，所以；
所以的通项公式为．
由可知，裂项可得，
则．
所以数列的前项和

19.解：依题意，函数，其定义域为，
当时，，求导得，
当时，，；当时，，，
函数在上单调递增，在上单调递增减，
所以的最大值为．
函数，求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，而，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，又，
所以当时，；当时，．
依题意，不妨令，，即
两式相减得，
不等式，
令，则，
令函数，，函数在上单调递增，
因此，即，则，
所以．

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