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初三适应性训练
数学
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》传播数据创下新纪录，截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次，较去年增长29%．将数据14200000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．2007年10月24日，搭载着我国首颗探月卫星“嫦娥一号”的“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心三号塔架发射成功，技术人员对“嫦娥一号”进行了月球环境适应性设计，这是因为月球表面的昼夜温差可达310，白天阳光垂直照射的地方可达127，那么夜晚的温度降至（ ）
A．437 B．183 C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．在某校举行的投篮比赛上，甲班有6名同学参加了比赛，比赛结束后，统计了他们各自的投篮数，成绩如下:4，5，10，6，10，11，则这组数据的中位数是（ ）
A．5 B．9 C．8 D．10
6．在平面直角坐标系中，将点向左平移2个单位长度后得到点P，则点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．对于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数值随自变量的增大而增大 B．函数的图象经过第三象限
C．函数的图象与轴的交点坐标是 D．函数的图象向下平移4个单位得的图象
8．如图，在中，，过点A作，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，中，弦，的半径长为5，则圆心到的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，，射线和互相垂直，点是上的一个动点，点在射线上，，作并截取，连接并延长交射线于点．设，，则关于的函数解析式是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．为比较甲、乙两种小麦秧苗的长势，分别从中抽取10株秧苗，经测量发现两组秧苗的平均高度相同，方差分别是，则长势比较整齐的是________种秧苗．
12．某校倡议全校学生周末回家任选一项家务劳动参加：①为父母做一次饭；②洗一次衣服；③倒一次生活垃圾．小宇和大明选择同一项家务劳动的概率是________．
13．要使有意义，的取值应满足的条件是________．
14．一个扇形的半径为4，圆心角为，则此扇形的弧长为________．
15．如图，在中，，，，、分别是、的中点，连接，则的长为________．
16．如图，长郡双语实验中学的图书码共有7位数字，它是由6位“数字代码”和1位“校验码”构成，其中校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性的，它的编制是按照特定的算法得来的．以图1所示的图书码为例，其算法为：
第1步，计算前6位数字中从左向右数偶数位上的数字之和为，即；
第2步，计算前6位数字中从左向右数奇数位上的数字之和为，即；
第3步，计算与的和为，即;
第4步，取大于或等于且为10的整数倍的最小数，即；
第5步，计算与的差就是校验码，即．
如图2，某个图书码中的一位数字被墨水污染了，这位数字的值为________．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．计算：
18．先化简，再求值：其中．
19．如图，在中，，为边的中线，为上一点，连接，，为的中点，且平分．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
20．2025年1月，中共中央、国务院印发《教育强国建设规划纲要（2024-2035年）》．《纲要》指出：促进学生健康成长、全面发展．深入实施素质教育，健全德智体美劳全面培养体系，加快补齐体育、美育、劳动教育短板．落实健康第一教育理念，实施学生体质强健计划．某校为落实文件精神，随即调整完善学生体育训练计划，保证学生每天在校综合体育活动时间不低于2小时．学校通过增加体育课程和各类比赛等不断丰富体育项目，让学生健康快乐成长．为了解同学们对比赛项目的喜爱情况，体育组老师对部分同学进行了项目喜好情况调查（每位同学只能选一种），特制定如下统计表和统计图．
比赛项目 人数
A 篮球比赛 60
B 足球比赛 50
C 排球比赛
D 乒乓球比赛
E 羽毛球比赛 25
F 空竹比赛
根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有________人，表中________，________；
（2）在扇形统计图中，求“A”“E”比赛项目对应的圆心角度数；
（3）若学校共有1600名学生，请你根据调查结果，估计选择“F”比赛项目的学生人数．
21．2025年哈尔滨亚冬会期间，为了能让游客更好的体验滑雪运动，亚布力某滑雪场欲新增一些滑雪板．若购进单板雪板30套，双板雪板50套共需66000元；若购进单板雪板40套，双板雪板10套共需37000元．
（1）求购进的单板雪板和双板雪板的单价分别是多少元
（2）若该滑雪场准备用少于123000元的金额购进这两种雪板共计150套，求单板雪板至少要购进多少套
22．如图，已知为的直径，，弦，直线，相交于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）当，时，求的半径．
23．如图，在平行四边形中，，是边上一点，延长交的延长线于点，连接．
（1）若，求证：四边形是矩形．
（2）在（1）的条件下，，，求的值．
24．我们约定：若抛物线和抛物线的顶点分别为不重合的两点与，同时满足：在的图象上，在的图象上．则称抛物线与是互为“携手共进”的抛物线，根据该约定，完成下列问题：
（1）请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题后相应的横线上，正确的打“√”，错误的打“×”．
①的“携手共进”抛物线一定经过．________
②与是互为“携手共进”的抛物线．________
③若两条抛物线是互为“携手共进”的抛物线，则这两条抛物线的二次项系数互为相反数．________．
（2）若抛物线（为实数且）与互为“携手共进”的抛物线，且当时，抛物线最低点的纵坐标为，求的值；
（3）已知抛物线的顶点为点，与轴交于点、，抛物线的顶点为点，与轴交于点、，若抛物线与是互为“携手共进”的抛物线，且，请问线段是否为定值，若是，求出这个值；若不是，请说明理由．
25．通过教科书九上-P 活动·2“探究四点共圆的条件”可得：
引理1对角互补的四边形的四个顶点共圆．
例如，如图1，四边形，若，则、、、四点共圆．
类似探究可得：
引理2线段同旁张等角，四点共圆．
例如，如图1，、在线段同旁，若，则、、、四点共圆．（注：可直接运用引理解决下述问题）
图1 图2
如图2，在平面直角坐标系中，已知点，过原点和轴上另一点，有动点，点在第一象限，且为等边三角形，连接交于，过作的平行线与射线交于点，连接交于，与交于．连接、、．
（1）可求得________，________．（2分）
（2）请判断的形状并证明；（3分）
（3）记（即三线段长度和），请求出关于的函数关系式，并求出最小时劣弧的长度；（3分）
（4）在图2中作出、的延长线交于点，连接，请直接写出的最小值为________．（2分）
初三适应性训练答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D C C B D B A A
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．甲 12． 13． 14． 15．3 16．2
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解：
．
18．解：原式
当时，原式．
19．（1）证明：为斜边的中点，为的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
；
（2）解：由（1）知是的中位线，
，
，
是斜边中点，是直角三角形，
，．
20．解：（1）本次调查的学生共有（名）．
，
，
故答案为：50，30，20；
（2）“”比赛项目对应的圆心角度数为，
“”比赛项目对应的圆心角度数为；
（3）（人）．
答：估计选择“”比赛项目的学生人数有120人．
21．解：（1）设购进的单板雪板的单价是元，双板雪板的单价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：购进的单板雪板的单价是700元，双板雪板的单价是900元；
（2）设购进套单板雪板，则购进套双板雪板，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为61．
答：单板雪板至少要购进61套．
22．（1）证明：连接，则，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
是的半径，且，
直线是的切线．
（2）解：由（1）得，，
，
，
，
，
，
，
，
的半径长为．9分
23．（1）证明：四边形是平行四边形，延长交的延长线于点，
，
，
在和中，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形．
（2）解：作于点，则，
四边形是平行四边形，四边形是矩形，，，，，
，
，
，，
，
，
，
24．分点计分解：（1）①√
②×，理由：的顶点在上，而的顶点不在图像上，所以彼此不是“携手共进”的抛物线．
③√ 顶点不同的两条抛物线与携手共进，
有，
两方程相加得，
，
，
解析式中的二次项系数一定是互为相反数；
故答案为：①√，②×，③√；
（2），
的顶点坐标为，
抛物线（，为实数且）与互为“携手共进”的抛物线，
点在抛物线上，
，化简得，
由题意得，当时，抛物线最低点的纵坐标为，
即当时，的最小值为，
，，开口向下，对称轴为直线，时，，
综上所述，；
（3）是定值，理由如下：
，，
抛物线的顶点为点，抛物线的顶点为点，
抛物线与轴交于点、，
，，
，
抛物线与轴交于点、，
，，
，
，
，
，
，
，
①，
抛物线与是“携手共进”的抛物线，
点在抛物线上，
，
化简得：②，
把①代入②，得：，
即③，
④，
把③代入④，得：，
线段的长为．
25．分点计分
（1）30 60 （4）（提示：延长与圆交于点，连接）
（2）为等边三角形
证明为等边三角形，，
由引理2知，，，四点共圆，
，，，
由引理1知，，，四点共圆
，从而，为等边三角形
（3）在上截取，由得为等边三角形
，
，又，，
作轴于，则，
作于，则，，，
当，即与重合，也即为弧中点时最小此时，

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