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2024-2025学年河南省信阳市信阳高级中学高二下学期5月测试(二)
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设，为同一个随机试验中的两个事件，若，，，则( )
A. B. C. D.
3.已知各项均为正数的等比数列的前项和为，，，则的值为( )
A. B. C. D.
4.通过随机询问某中学名中学生是否爱好跳绳，得到列联表，并由计算得：，参照附表，则下列结论正确的是( )
附：
A. 根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关
B. 根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过
C. 根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关
D. 在犯错误的概率不超过的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关
5.已知函数在处取得极大值，则( )
A. B. C. D.
6.若，则( )
A. B. C. D.
7.已知一件工艺品由外层一个封闭的大正方体，内层一个正四面体构成，已知外层正方体的棱长为，在该大正方体内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体可在大正方体内任意转动，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知过抛物线焦点的直线与该抛物线交于两点，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若随机变量满足：，则相互独立
B. 已知随机变量，若，则．
C. 若的展开式中二项式系数的和为，则系数最大的项为第项
D. 一组数据的经验回归方程为，则当时，残差为
10.某文化传播公司拟派包含，在内的名员工同一时间去往甲、乙、丙等个不同的地方参观学习，每个地方至少要派遣名员工，则下列说法正确的是( )
A. 若甲地只安排名员工参观学习，则不同的派遣方案有种
B. 若不去乙地，则不同的派遣方案有种
C. 若，去往不同的地方，则不同的派遣方案有种
D. 若去往甲地的人数不得少于丙地，则不同的派遣方案有种
11.已知函数的定义域，满足，，，，，则下列说法正确的是( )
A.
B. 是等差数列
C.
D. 数列的前项和
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知某市高三年级某次模拟考试中数学试卷的满分为分，阅卷结果显示，全市名学生的数学成绩近似服从正态分布，则这次考试数学成绩超过分的人数约为 附：若随机变量服从，则，
13.已知圆的方程为，直线的方程为，直线被圆截得的弦中长度为整数的共有 条
14.某公司举行抽奖活动，在箱子里装有个红球和个黑球，这些小球除颜色外完全相同在一次抽奖过程中，某员工从中一次性抽取两个小球，抽出两个小球颜色均为红色视为中奖，其余情况均未中奖假设在有放回地连续次抽奖中恰好中奖一次的概率为，则当取到最大值时的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
若恒成立，求实数的取值集合；
证明：．
16.本小题分
如图，在四棱台中，底面为正方形，为的中点，．
求证：；
在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
17.本小题分
年月日，我国神舟十九号载人飞船顺利升空，并与中国空间站成功对接．为弘扬航天精神，某大学举办了一次“逐梦星辰大海航天杯”知识竞赛．竞赛分为初赛和决赛，初赛规则为：每位参赛者依次回答道题，连续答错道题或道题都答完，则比赛结束．假定大学生张某答对这道题的概率依次为，且各题是否答对互不影响．
若至少连续答对道题，可得到一张直升卡，直接进入决赛，求张某得到直升卡的概率；
记张某初赛结束时已答题的个数为，求的分布列及数学期望．
18.本小题分
对于数列且，则称数列为的“四分差数列”已知数列为数列的“四分差数列”．
若，求的值．
设．
求的通项公式；
若数列满足，且的前项和为，证明：．
19.本小题分
已知椭圆的离心率为，且过点．
求椭圆的方程；
若直线与交于不同两点，且满足为坐标原点，则：
的面积是否为定值？
椭圆上是否存在点异于点，满足，如果存在，请判断的形状；如果不存在，请说明理由．
参考答案
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14.
15.解：因为，所以，
当时，，函数在区间上单调递增；
当时，令，令，
所以在上单调递减，在上单调递增．
由得：当，函数在区间上单调递增，
又，所以，则，与条件矛盾，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，由已知，所以，
设，则，
当时，单调递增，当时，单调递减，
又，所以不等式的解集为．
证明：设，则，
时，单调递减，时，单调递增，
又，所以，当且仅当时取等号，
由结论易得：，仅当时取等号，
综上，．

16.解：证明：连接，
因为，所以．
因为是的中点，所以，
因为，平面，所以平面，
所以，
因为，
所以．
因为，
所以，所以，
又由知，且平面，
所以平面，
因为为四棱台，底面为正方形，四棱台的上下底面对应边平行且比例相同，
所以四边形为正方形，上下面平行
所以平面，．
因为点是的中点，，所以．
所以且，所以四边形为平行四边形
所以．
又平面，所以平面．
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设，则，．
设平面的法向量为，
则
令．
设直线与平面所成角为，
则，
化简得，
即，所以．

17.解：用表示张某第道题答对，
用表示张某第道题答错，
由题意得，
记张某得到直升卡为事件，
则
．
即张某得到直升卡的概率为．
由题可得的可能取值为．
，
，
，
，
则的分布列如下，
所以．
18.解：由题意可设：，则，
若，则，
且，可得，
所以．
由可得，
若，则，
且，可得，
所以的通项公式；
因为，即，
则，
可得，
所以．
19.解：由题可得，解得，
所以椭圆的方程为；
当直线的斜率不存在时，则，，由于
所以，，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，且，
联立，得，
由得，则，
则，
整理得，则或；
当直线的斜率不存在时，，
当直线的斜率存在时，点到直线的距离为，
则的面积
，
若，则不是定值；
若，为定值．
设，则，
由于，
则点到三边的距离等于对应边上的高长的，
故为的重心，则
由已得：，
则，
，
，代入，可得，
又，联立后无解，
故椭圆上不存在点，满足．

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