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2024-2025学年安徽省六安市独山中学高二下学期5月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.本不同的课外读物分给位同学，每人一本，则不同的分配方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2.已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为( )
A. B. C. D.
3.在数列中，，，则的值为( )
A. B. C. D. 以上都不对
4.函数的单调递减区间是( )
A. B. C. D.
5.一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是( )
A. B. C. D.
6.设离散型随机变量的概率分布为
若随机变量，则等于( )
A. B. C. D.
7.在的展开式中，含的项的系数是( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题：
函数在区间上单调递减；
若，则；
函数在上有个极值点；
若，则．
其中正确命题的序号是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于函数，若，则当无限趋近于时，在下列式子中无限趋近于的式子有( )
A. B.
C. D.
10.已知递增等差数列的前项和为，若，则下列各式中为正的是( )
A. B. C. D.
11.某市为丰富青少年暑假生活，推出多项益智游乐项目．小乐与好朋友一起选择了该市的甲、乙两个儿童乐园游乐场去打卡．小乐与好朋友第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为和如果他们第一天去甲游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为；如果第一天去乙游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为，则小乐与好朋友( )
A. 第二天去甲游乐场的概率为
B. 第二天去乙游乐场的概率为
C. 第二天去了甲游乐场，则第一天去乙游乐场的概率为
D. 第二天去了乙游乐场，则第一天去甲游乐场的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知曲线在处的切线方程为，则 ．
13.在等差数列中，，其前项和为，若，则 ．
14.袋中有个白球和个黑球，不放回地摸球两次，则第二次摸到白球的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数
求函数的单调区间；
求在区间上的最大值和最小值．
16.本小题分
已知等差数列的前项和为，，．
求的通项公式；
求，并求当取何值时有最小值．
17.本小题分
已知的展开式中，二项式系数和为．
此展开式中有没有常数项？有理项的个数是几个？并说明理由；
展开式中系数最大的项是第几项，并说明理由：
18.本小题分
假设有两个密闭的盒子，第一个盒子里装有个白球个红球，第二个盒子里装有个白球个红球，这些小球除颜色外完全相同．
每次从第一个盒子里随机取出一个球，取出的球不再放回，经过两次取球，求取出的两球中有红球的条件下，第二次取出的是红球的概率；
若先从第一个盒子里随机取出一个球放入第二个盒子中，摇匀后，再从第二个盒子里随机取出一个球，求从第二个盒子里取出的球是红球的概率．
19.本小题分
袋中装有大小相同的个白球和个黑球．
采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；
采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记为摸出两球中白球的个数，求的期望和方差．
参考答案
1.
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14.
15.因为，所以，
当或时，，所以在和上单调递增；
当时，，所以在上单调递减；
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为；
由知是的极大值点，是的极小值点，
所以，，
又，，
所以在区间上的最大值，最小值．

16.解：设的公差为，由题意得，即
解得，
所以的通项公式为；
解：由得，
所以当时，取得最小值，最小值为．

17.因为二项式系数和为，
所以．
原二项式展开式的通项为．
令，得，
故此展开式中没有常数项．
当时，可取，
故有理项有个．
由得展开式中系数的通项为，
当时，递增；当时，递减．
同时在递增．
故前项均不可能为最大．
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
故当或时，展开式中对应项的系数最大，为．
即展开式中系数最大的项是第项和第项．

18.依题意，记事件表示第次从第一个盒子里取出红球，记事件表示两次取球中有红球，
则，
．
记事件表示从第一个盒子里取出红球，记事件表示从第一个盒子里取出白球，记事件表示从第二个盒子里取出红球，
则．

19.记“摸出一球，放回后再摸出一个球，两球颜色不同”为事件，
摸出一球是白球的概率为，摸出一球是黑球的概率为，
由互斥事件和相互独立事件的概率公式得到．
由题意知，的可能取值为，，，
当时，表示摸出两球中白球的个数为，
当时，表示摸出两球中白球的个数为，
当时，表示摸出两球中白球的个数为，
，
．
即摸出白球个数的期望和方差分别是，．

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