资源简介

2024-2025学年内蒙古赤峰市林西县第一中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，，则的值为( )
A. B. C. D.
3.盲盒中有大小相同的个红球，个黑球，随机有放回的摸两次球，记为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记为摸到黑球的个数，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.若对，恒成立，其中，，则( )
A. B. C. D.
5.已知等差数列的公差不为，其前项和为，且，，当取得最小值时，( )
A. B. C. D.
6.中国空间站已经进入正式建造阶段，天和核心舱问天实验舱和梦天实验舱将在年全部对接，形成“字结构在中国空间站建造阶段，有名航天员共同停留在空间站，预计在某项建造任务中，需名航天员在天和核心舱问天实验舱和梦天实验舱这三个舱内同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少人，至多人，则不同的安排方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.已知是定义在上的函数的导函数，且，则的大小关系为( )
A. B. C. D.
8.已知数列满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，下列说法正确的是( )
A. 函数的图象是中心对称图形
B. 有两个零点
C. 过点只能做一条直线与相切
D. 在上最大值为，则
10.若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如等都是“凸数”，用这五个数字组成无重复数字的三位数，则( )
A. 组成的三位数的个数为
B. 在组成的三位数中，奇数的个数为
C. 在组成的三位数中，“凸数”的个数为
D. 在组成的三位数中，“凸数”的个数为
11.已知数列满足，，的前项和为，则( )
A. 是等比数列 B. 是等比数列
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列的前项和为，，，且，则 ．
13.的展开式中的系数为 用数字作答
14.已知函数，不等式对任意的恒成立，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中国诗词大会的比赛中，选手需要回答两组题展示自己的诗词储备．
第一组题是情境共答题，参与比赛者需根据情境填写诗句小王知道该诗句的概率是，且小王在不知道该诗句的情况下，答对的概率是记事件为“小王答对第一组题”，事件为“小王知道该诗句”．
(ⅰ)求小王答对第一组题的概率；
(ⅱ)在小王答对第一组题的情况下，求他知道该诗句的概率．
小王答对第一组题后开始答第二组题第二组题为画中有诗，该环节共有三道题，每一题答题相互独立，但难度逐级上升，小王知道第题的诗句的概率仍为，但是在不知道该诗句的情况下，答对的概率为，已知每一题答对的得分表如下答错得分为：
题号 第题 第题 第题
得分 分 分 分
若获得分及以上则挑战成功，求小王挑战成功的概率．
16.本小题分
某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计道题进行测试，若这道题中，甲能正确解答其中的道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这道测试题中分别随机抽取题进行解答
求甲、乙共答对道题目的概率；
设甲答对题数为随机变量，求的分布列、数学期望和方差；
从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？
17.本小题分
已知函数在处取得极小值．
求实数，的值；
当时，求函数的最大值．
18.本小题分
已知数列的前项和．
求数列的通项公式，判断这个数列是否是等差数列，并说明理由
记数列的前项和为，若，求．
19.本小题分
函数，．
求函数的单调区间；
当时，若不等式恒成立，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：已知，则．
在知道诗句的情况下一定答对，即；在不知道诗句的情况下答对的概率．
根据全概率公式，将上述概率值代入可得：
．
计算在小王答对第一组题的情况下，他知道该诗句的概率
根据贝叶斯公式．
由前面计算可知，，，代入可得：
．
设事件为“小王答对第二组题中的第题”
已知小王知道第题诗句的概率为，不知道该诗句的情况下答对的概率为．
则；
；
．
因为获得分及以上则挑战成功，所以有以下几种情况：
答对第、题，答错第题，其概率为．
答对第、题，答错第题，其概率为．
答对第、、题，其概率为．
因为这几种情况互斥，所以小王挑战成功的概率为：
．
16.解：由题意得甲、乙两名学生共答对个问题的概率：
．
设学生甲答对的题数为，则的所有可能取值为，，．
，，．
的分布列为：
所以，．
设学生乙答对的题数为，则的所有可能取值为，，，则．
所以，．
因为，，即甲、乙答对的题目数一样，但甲较稳定，
所以应选拔甲学生代表学校参加竞赛．
17.解：，
因为在处取极小值，所以，得，
此时，
令，解得；令，解得或，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在时取极小值，符合题意．
所以，．
又，所以．
综上，，．
由知，，
列表如下：
极大值
极小值
由于，故时，．
18.解：当时，，
当时，有，
又因为，所以当时，也成立，
因此数列的通项公式为，
数列是等差数列，理由如下：
因为，
所以数列是等差数列；
令，解得且，
当时，，
可得；
所以，又因为，所以，
当时，，
可得
，
令，解得或舍去，
所以．

19.解：由题意得，，
当时，则，在上单增，
的递增区间为；
当时，令，则；令，则．
的递增区间为，递减区间为．
当时，令，，
则，，
由题意，得．
因为，
令，则；令，则，
在上递减，在上递增，
，
故
在上递增，
又，
，
实数的取值范围为．

第1页，共1页

展开更多......

收起↑