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2024-2025学年陕西省咸阳市武功县普集高级中学高一下学期5月月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知正四棱锥的底面边长为，且其侧面积是底面积的倍，则此正四棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
3.如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的面积为( )
A. B. C. D.
4.已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
5.如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为( )
A. B. C. D.
6.从一堆产品其中正品与次品均多于两件中任取两件，观察所抽取的正品件数与次品件数，则下列每对事件中，是对立事件的是( )
A. 恰好有一件次品与全是次品 B. 至少有一件次品与全是次品
C. 至少有一件次品与全是正品 D. 至少有一件正品与至少有一件次品
7.在图示正方体中，为的中点，直线平面，下列说法错误的是( )
A. ，，，四点共面 B. ，，三点共线
C. 平面 D. 与异面
8.如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿称为“表”和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺称为“圭”当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，太阳光与圭面成角也就是太阳高度角．圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，投影点为冬至线．日影长度最短的那一天定为夏至，投影点为夏至线．已知景德镇冬至正午太阳高度角为，夏至正午太阳高度角为，表高厘米，圭面上冬至线与夏至线之间的距离为厘米，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，，，在复平面内对应的点分别为，，则( )
A. ，两点在以原点为圆心的同一个圆上
B. ，两点之间的距离为
C. 满足的复数对应的点形成的图形的周长是
D. 满足的复数对应的点形成的图形的面积是
10.多选为了解某企业员工的学习情况，对该企业员工进行问卷调查，已知他们的得分都处在，，，四个区间内，根据调查结果得到下面的统计图．已知该企业男员工占，则下列结论错误的是( )
A. 男、女员工得分在区间的占比相同
B. 在各得分区间男员工的人数都多于女员工的人数
C. 得分在区间的员工最多
D. 得分在区间的员工占总人数的
11.如图，棱长为的正方体中，点，，分别是棱的中点，则下列说法正确的有( )
A. 直线与直线共面
B.
C. 过点，，的平面，截正方体的截面面积为
D. 二面角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某校学生高一年级有人，高二年级有人，高三年级有人，现用分层随机抽样方法共选取名学生进行竞赛答题，已知高三年级选出名选手，则 ；选出的高三年级名选手分别答对题目数量为：，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数为 ．
13.已知某组数据为，，，，它的平均数为，方差为，则的值为 ．
14.已知某圆台的体积为，其上底面和下底面的面积分别为，且该圆台两个底面的圆周都在球的球面上，则球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，是同一平面内的三个向量，其中．
若，且，求的坐标；
若，且，求与的夹角．
16.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
求角的大小；
设，．
求的值；
求的值．
17.本小题分
如图，在长方体中，，和交于点，为的中点．

求证：平面；
已知与平面所成角为，求点到平面的距离．
18.本小题分
某校名学生期中考试化学成绩单位：分的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是，，，，．
求图中的值；
根据频率分布直方图，估计这名学生化学成绩的平均分及中位数；
若这名学生化学成绩某些分数段的人数与数学成绩相应分数段的人数之比如下表所示，求数学成绩在之外的人数．
分数段
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，为棱的中点，．
求证：平面；
求二面角的余弦值．
参考答案
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14.
15.由已知，则存在实数，使，
又，则，
解得，
所以或；
由，得，
又，
所以，
即，
解得，，
所以．
16.因为得；
即，得；
所以，因为；
所以．
，则．
，则，．
所以．
17.由题意证明如下，
连接，，．

在长方体中，且，
四边形为平行四边形．
为的中点，
在中，，分别为和的中点，
．
平面，平面，
平面．
由题意，
与平面所成角为连接．

长方体中，所以所以．
长方体中，平面，平面，
．
为直线与平面所成角，即故
为等腰直角三角形，则．
在中，
知．
在中，
，，
，
，
设点到平面的距离为．
由知，，得．
点到平面的距离为．
18.依题意，，解得，
所以．
这名学生化学成绩的平均分为：分，
化学成绩在区间内的频率为，在区间内的频率为，则化学成绩的中位数，
则有，解得，
所以这名学生化学成绩的中位数为．
由频率分布直方图知，化学成绩在的人数分别为：人，人，人，人，
由数表知，数学成绩在的人数分别为：人，人，人，人，
所以数学成绩在之外的人数为：人．
19.在四棱锥中，因平面平面，平面平面，
又，平面，
所以平面．
取的中点，过作于，连接，如图，
因为棱的中点，则，由得：平面，而平面，
即有，又，且平面，
因此平面，而平面，则，即为二面角的平面角，
，则，正方形中，，，
于是得，所以二面角的余弦值是．

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