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2024-2025学年四川省德阳市第五中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.复数是虚数单位对应的点位于复平面的( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知向量，，且，则( )
A. 或 B. 或 C. D.
4.在中，，，，则( )
A. B. C. D.
5.在中，，，的对边分别为，，，若，则的形状是( )
A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形或直角三角形
C. 直角三角形 D. 等腰三角形
6.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述以织女星的亮度为标准，天体的星等与亮度满足，已知北极星的星等为，牛郎星的星等为，则北极星与牛郎星的亮度之比为( )
A. B. C. D.
7.已知三点共线，不共线且在线段上不含端点，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知平面向量，的夹角为，，且对任意的，恒成立，则，的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知是虚数单位，下列说法正确的是( )
A. 若复数，为纯虚数，则
B. 若，则
C. 已知，则
D. 若，，则的最小值为
10.下列说法中正确的是( )
A. 各侧棱都相等的棱锥为正棱锥
B. 棱锥的侧面一定都是三角形
C. 棱台各侧棱的长都相等
D. 在棱长为的正方体中，为的中点，则三棱锥的体积是
11.已知中角，，的对边分别是，，，则下列结论正确的是( )
A. 若，则点是的外心
B. 若，则是锐角三角形
C. 已知，，，则内切圆的半径为
D. 若，是的外心，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为锐角，且，则 ．
13.的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为 ．
14.已知中角，，的对边分别是，，，且是最小的边，，则的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量夹角为的向量，满足，．
求的值；
求向量与的夹角的余弦值．
16.本小题分
已知中角，，的对边分别是，，，且．
求；
若，，求的面积．
17.本小题分
已知向量，，函数．
求的最小正周期及其对称中心；
若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围．
18.本小题分
某学校的一个数学兴趣小组在学习了正弦定理、余弦定理的应用后，准备测量学校附近一座建筑物的高度建筑物最高点在地面上的投影位于建筑物内部，不可到达且不可从外部看到，该小组在学校操场上任意选择了相距的，两点进行测量有三位同学各自提出了一种方案，并测出了相应的数据．
方案一：从，两点分别测得点的仰角和，再从点测得其中，，．
方案二：从点处测得，从点处测得和点的仰角其中，，．
方案三：从点处分别测得点和的俯角和，以及其中，，．
从上述三种方案中选择一种你认为能够测出建筑物的高度的方案，并根据该方案中的数据计算出的长注意：只能使用你所选择的方案中的数据，不能使用未选择的方案中的数据如果选择多个方案，则按照所选的第一个方案的解答计分
19.本小题分
十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔德费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：“当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知，，分别是三个内角，，的对边，且，点为的费马点．
求角；
若，求的值；
若，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.解：因为，，，
所以
．
所以．

16.解：，
由余弦定理，
而为三角形内角，．
，，，
．
17.解：，
的最小正周期．
令，解得，则对称中心为
由题知在区间上恰有两个不同的实数根，
即函数在区间上的图像与直线恰有两个交点，
令，
做出的图像与直线，如图．
由图知，当时，的图像与直线有两个交点．
18.解：选择方案二，则，
．
由于，
所以
．
在中，由正弦定理可得，
因此，
从而．
选择方案三：设，则，．
在中，由余弦定理可得，
即，解得舍去负根．
所以．
如果选择方案一，因为，所以，
设，则，．
由正弦定理计算可得，
则有两种可能取值，
所以，
故不能唯一确定的值．

19.解：，
，
，
，
又，，
，，，
，
，又，
，
设，，，
，三角形的三个角均小于，
根据题意可得，
又，
，
，
．
由，
，，
由余弦定理可得，
同理可得，，
相加可得，
又，
所以，
由于，
所以又
故，所以，
故，且
故，当且仅当时等号成立，
又，所以
，
令，则，
所以，
由于函数均为上的单调递增函数，故为的单调递增函数，
故，进而
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