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2024-2025学年湖南省衡阳市衡山县岳云中学高一下学期期中考试
数学试卷(树人班)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，在上的投影向量为，则向量与夹角余弦值为( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
4.圆锥的高为，其侧面积是底面积的倍，则它的体积为( )
A. B. C. D.
5.已知的内角，，的对边分别为，，，，是上靠近的三等分点，，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.已知单位向量满足，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
7.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速单位：可以表示为为常数，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数当鲑鱼的游速时，鲑鱼的耗氧量的单位数为，若鲑鱼的游速，则鲑鱼的耗氧量的单位数为( )
A. B. C. D.
8.若点在的边上，且，是的中点，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台
B. 以等腰三角形的底边上的高线所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥
C. 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面
D. 用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面
10.已知函数则下列说法正确的是( )
A. 函数的最小正周期为 B. 是函数图象的一个对称中心
C. 函数在区间的最小值为 D. 函数在区间上单调递增
11.下列说法中正确的是( )
A. 各侧棱都相等的棱锥为正棱锥
B. 棱锥的侧面一定都是三角形
C. 棱台各侧棱的长都相等
D. 在棱长为的正方体中，为的中点，则三棱锥的体积是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则当 时，取最小值为 ．
13.在三角形中，若，，，则角的大小是 ；
14.设，当时，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，，，所对的边分别为，，，已知，．
求的值；
求的值；
求的值．
16.本小题分
球的半径长为，求球的表面积；
已知正四棱锥的侧面都是等边三角形，它的斜高为，求这个正四棱锥的体积；
已知长方体的长宽高的比是，若表面积为，求长方体的体积．
17.本小题分
在中，满足：，是的中点．
若，求向量与向量的夹角的余弦值；
若是线段上任意一点，且，求的最小值；
若点是内一点，且，，，求的最小值．
18.本小题分
在中，．
若的面积为，求；
若，且为锐角三角形，求周长的取值范围．
19.本小题分
若函数为幂函数，则称与互为“和幂函数”；若函数为幂函数，则称与互为“积幂函数”．
试问函数与是否互为“和幂函数”？请说明你的理由．
已知函数与互为“积幂函数”．
证明：函数存在负零点，且负零点唯一．
已知函数在上单调递增，在上单调递减，且，若函数在上有两个零点，求的取值范围结果用含字母的区间表示．
参考答案
1.
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10.
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14.
15.由已知结合正弦定理角化边可得，
又，所以，．
由结合余弦定理可得，．
又，
所以为锐角，
所以，．
由知，，，
所以，
，
所以，．
16.；
顶点在底面的射影是正方形的中心，如图所示；

正四棱锥的侧面都是等边三角形，它的斜高为，设是中点，则，
设底面边长为，由勾股定理有：，则，解得，
所以正四棱锥的侧棱长为，底面边长为，所以该正四棱锥的高长度为：
，所以棱锥的体积为：．
即这个正四棱锥的体积：．
由题意，设该长方体的长宽高分别为，
则，解得，
所以长宽高分别为，
体积．
17.根据题意，在中，有，且，
则，
又，
又，
故．
因为，
所以，．
设，则，而，
则
，
当且仅当时，的最小值是．
根据题意，设，，则，
若，则，变形可得．
同时，，则，即，
则有
．
又由，则，
由三角函数的性质，当，，，
则，变形可得：，
故的最小值为．
18.因为，所以由正弦定理可得，
，
又因为在中，，
所以，
整理可得，又因为，，
所以，因为，所以．
因为，所以．
因为，所以由余弦定理可知，，
所以．
因为，又由可知，所以，
由正弦定理可知，
所以，
所以的周长
．
因为为锐角三角形，所以
解得，所以，
所以，
所以，
即周长的取值范围为．
19.对任意的，，
所以，、恒成立，
所以，函数、的定义域均为，
，
故函数与互为“和幂函数”；
，
由函数与互为“积幂函数”，
则，即，故，
则与，
则，
令，即，令，
由函数在上单调递增，在上单调递减，
故在定义域内单调递增，
又，，
故在上存在唯一零点，
即函数存在负零点，且负零点唯一；
，则，
又，则当时，，
由在上单调递增，在上单调递减，
又在上单调递增，则当时，
在上单调递增，在上单调递减，
由，则，又，，
若函数在上有两个零点，
则在上有两个不同根，故．

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