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北京市东直门中学2023-2024学年度第二学期6月学情调研
高一数学
考试时间：120分钟 总分：150分
班级： 姓名： 学号：
一、选择题：（共12小题，每小题4分，共48分）
1. 已知向量．若，则（ ）
A. B. C. D.
2. （ ）
A. B. C. D.
3. 要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）
A 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度
4. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5. 设是一条直线，，是两个平面，下列结论正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
6. 已知A，B，C，D是平面内四个不同的点，则“”是“四边形为平行四边形”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 如图，平面，中，，则是（ ）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C 钝角三角形 D. 以上都有可能
8. 如图，在正方体中，与直线互为异面直线是（ ）
A. B. C. D.
9. 已知正四棱锥，底面边长是，体积是，那么这个四棱锥的侧棱长为（ ）
A. B. C. D.
10. 设为非零向量，，则“夹角为钝角”是“”（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
11. 已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为的中点，则下列结论中正确的是（ ）
①直线与直线垂直； ②直线与平面平行；
③点C与点G到平面的距离相等； ④平面截正方体所得的截面面积为．
A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④
12. 沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成.这两个圆锥的底面直径和高分别相等，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度（h）的（细管长度忽略不计）.假设细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.这个沙堆的高与圆锥的高h的比值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：（共6小题，每小题5分，共30分）
13. 函数的初始相位为____________.
14. 已知复数，，那么___________.
15. 已知均为单位向量，且，那么___________.
16. 已知在中，，，，则______.
17. 已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个论断：①，②，③，④.以其中的两个论断作为命题的条件，作为命题的结论，写出一个真命题：______.
18. 如图，在正方体中，点为线段上异于的动点，则下列四个命题：
①是等边三角形；
②平面平面；
③设，则三棱锥的体积随着增大先减少后增大；
④连接，总有平面.
其中正确的命题是___________.
三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共6道题，共72分）
19. 在△中，若．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，，求△的面积．
20. 已知向量．
（1）求；
（2）求与夹角的大小；
（3）求．
21. 已知，.
（1）求值；
（2）求的值；
（3）在平面直角坐标系中，以为始边，已知角的终边与角的终边关于轴对称，求的值.
22. 如图，在正四棱柱中，，，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）证明：；
（3）求点到平面的距离．
23. 已知函数．
（1）求的值；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）若函数在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围．
24. 如图，从长、宽，高分别为，，的长方体中截去部分几何体后，所得几何体为三棱锥．
（1）求三棱锥的体积；
（2）证明：三棱锥的每个面都是锐角三角形；
（3）直接写出一组，，的值，使得二面角是直二面
1.A
2.A
3.D
4.B
5.C
6.B
7.A
8.D
9.C
10.A
11.C
12.A
13.
14.##
15.
16.或.
17.若，，则
18.①②④
19.解：（Ⅰ）在△中，由正弦定理可知，，
所以．
所以．
即．
（Ⅱ）在△中，由余弦定理可知，
．
所以．
所以．
所以△的面积．
20.解：（1）因为，
所以，
（2）设与夹角为，则
，
因为，所以，
所以与夹角的大小为，
（3）因为，
所以，
所以
21.（1）因，，所以，
所以；
（2）因为，，
所以，，
所以；
（3）因为角的终边与角的终边关于轴对称，
所以，，
所以.
22.（1）设,连接
在四棱柱 中, 四边形 是正方形,
为 中点, 又为 中点,
,
又 平面平面,
平面;
（2）在四棱柱 中,平面,
又 平面
,
又在正方形 中,,
且 平面 平面 ,
平面, 又平面,
;
（3）令点到平面的距离为,
即 ,
是的中点,
,
即 ,
解得 ,
即点到平面的距离为 .
23.（1）.
（2）
，
由，，
得，，
所以的单调递增区间是．
（3）因为，所以．
依题意，解得．
所以m的取值范围为．
24.（1）在长方体中，
三棱锥，
同理可得，
所以，所以.
（2）由已知易得三棱锥的每个面的三角形的三条边均为，，，
不妨设，则为最大边，各面的最大角为，
则，
又，所以各面的最大角为为锐角，
所以三棱锥的每个面都是锐角三角形.
（3）不妨令，，（满足或均可）（答案不唯一），
连接交于点，连接、，则，
为的中点，所以，，所以为二面角的平面角，
又，，
，
所以，所以，即，
所以二面角是直二面

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