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苏州市2025年初三数学中考考前练习卷（一）
一．选择题（共8小题）
1．如图，等边三角形△ABC的边长为2，点D是边AC上一动点，过D作BC的垂线，垂足为E，记BE的长度为x，△BDE的面积为y，则y的最大值是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，点A是直线在第一象限图象上一动点，以OA为边向左边作正方形OABC，若点B（a，b），则的值为（　　）A． B． C． D．
第1题第2题第3题
3．自行车停车架，主要用于自行车稳定停放及快速取放，如图1是自行车固定好后，后轮与车架的摆放方式，图2是它的简化示意图．已知后轮⊙O与底部停车架切于点A，与侧面停车架切于点B，已知AC⊥BC，车轮半径为40cm，则的长度为（　　）
A．40πcm B．30πcm C．20πcm D．10πcm
第4题第6题第8题
4．如图，△DEF是由△ABC沿BC方向平移得到的，E是BC的中点，DE与AC相交于点G．若△ABC的面积为16，则△GEC的面积为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
5．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．正五边形； B．直角三角形； C．圆； D．平行四边形
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，P的坐标分别为（3，5），（1，1），（4，2）．若存在点C，使得直线AP平分△ABC的（6，5），（6，6），（7，3）这四个点中，可作为点C的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．已知在正方形ABCD中，AB长为6，分别以A，B为圆心，以大于AB长度的一半为半径作弧，两弧交于M、N两点，作直线MN，交CD于点E，再分别以A，E为圆心，以大于AE长的一半为半径作弧，两弧交于P、Q两点，作直线PQ，分别与AD，BC交于点F、G，那么四边形AFGB的面积为（　　）
A．18 B． C． D．
8．对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y满足m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a），则称此函数为“k型闭函数”．例如：正比例函数y＝﹣3x，当1≤x≤3时，﹣9≤y≤﹣3，则﹣3﹣（﹣9）＝k（3﹣1），求得：k＝3，所以函数y＝﹣3x为“3型闭函数”．已知二次函数y＝﹣3x2+6ax+a2+2a，当﹣1≤x≤1时，y是“k型闭函数”，则k的取值范围为（　　）
A．k≥6 B． C． D．
二．填空题（共8小题）
9．早在春秋战国时期，我国就开始生产和使用铁器．把焦炭、铁矿石一起放入“高炉”，在高温条件下，焦炭发生一系列反应生成一氧化碳（CO），最后一氧化碳把铁从铁矿石（Fe2O3）里还原出来．一氧化碳还原氧化铁的化学方程式为：xCO+yFe2O3mFe+nCO2，则的值为　 　 ．
10．如图，△ABC的中线BD，CE相交于点F，点M，N分别是BF，CF的中点，连接MN，已知△BEF的面积为4，则△MND的面积为　 　 ．
第10题第12题第13题
11．小亮通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长λ（m）会随着电磁波的频率f（MHz）的变化而变化．已知波长λ与频率f是反比例函数关系，如表是它们的部分对应值．若f＝60MHz，则电磁波的波长λ＝　 　 m．
频率f/MHz 10 15 50
波长λ/m 30 20 6
12．如图，矩形ABCD绕点A顺时针旋转使得CD的对应边C′D′刚好经过点B，连接DD′，若AB＝5，AD＝4，则DD′＝　 　 ．
13．如图，AB是⊙O的直径，点C，D均在⊙O上，CD⊥AB，若∠ABC＝62°，则的度数为　 　 °．
14．如图，点O是边长为1的正六边形的中心，以OA为半径的扇形的圆心角∠AOB＝60°，，则阴影部分的面积为　 　 ．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点P是其重心，延长CP交AB于点D，则CP：PD＝2：1．若⊙P与△ABC的一边相切，则⊙P的半径的所有可能值为　 　 ．
第14题第15题第16题
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E是AB的中点，将△BEC沿EC翻折得到△FEC，延长EF交AD于点G，则AG的长为　 　 ．
三．解答题（共12小题）
17．计算：．
18．解不等式组，并写出这个不等式组的所有整数解．
19．解方程：．
20．仰卧起坐是初中生体能测试项目之一，体育老师为了解九年级甲、乙两名学生仰卧起坐的水平，分别对她们进行了10次测试，整理结果如下：
数据收集： 数据描述：
甲：48 54 47 49 51 48 46 48 52 47；
乙：47 48 49 48 49 48 51 52 48 50；
数据分析：
学生 众数 中位数 平均数 方差
甲 48 b 49 5.8
乙 a 48.5 49 m
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ；
（2）求乙同学10次仰卧起坐个数的方差m；
（3）根据以上数据，你认为哪位同学仰卧起坐水平更好？请说明理由（写出一条即可）．
21．人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．为进一步了解学习，小明打算先从比较热门的人工智能软件随机选择，现有如下四种AI软件，他将四种APP的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．
（1）从中随机抽取一张，抽到B卡片的概率为　 　 ；
（2）从中随机抽取一张，记录后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求两次抽取到相同卡片的概率．
22．景点商店销售某种纪念品，每件成本为50元，经市场调研，该纪念品的月销售量y（件）与销售单价x（元）（x≥50）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求该纪念品的月销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）若商店某月销售这种纪念品共获利12000元，求该纪念品当月的销售单价．
23．已知二次函数y＝mx2﹣2mx+m﹣3（m为常数，且m＞0）．
（1）当x＝1时，求y的值；
（2）若二次函数y＝mx2﹣2mx+m﹣3的图象经过点（2，y1），（3，y2），比较y1和y2的大小，并说明理由；
（3）若二次函数y＝mx2﹣2mx+m﹣3满足当n≤x≤2时，﹣3≤y≤m﹣3，直接写出n的取值范围．
24．已知：和分别是⊙O上的两条劣弧，且⊙O的半径为和都可以在⊙O上运动，且和没有公共点，连接AC，AD，BC，且AD，BC交于点P．
（1）如图1，若BC经过圆心O．
①求AC的长；
②求∠APB的度数；
（2）如图2，在和运动的过程中，∠APB的度数是否发生变化？请说明理由；
（3）如图3，连接BD，在和运动的过程中，四边形ABDC的面积也发生变化，记四边形ABDC的面积为S，请直接写出S的取值范围．
25．在平面直角坐标系中，点A，B在函数的图象上，其中k＞0，点A，B的横坐标分别为m﹣1，m+2．
（1）若点A，B分别在第三、一象限，求m的取值范围；
（2）过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，记d＝AC+CD+BD．
①在（1）的条件下，若k＝3，求d的最小值；
②若m＞0，且k＝am（m﹣1）（m+2），其中k＞0，a为常数，是否存在a的值，使d不随m的变化而变化？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
26．宇树人形机器人亮相春晚后爆火，带动了整个机器人行业的畅销．某公司计划销售甲、乙两款机器人，甲款机器人进价比乙款机器人高1.5万元/件．现计划用160万元购进甲款机器人，150万元购进乙款机器人，且甲款机器人数量与乙款机器人数量之比为2：3．
（1）该公司计划购进甲、乙两款机器人各多少件？
（2）通过市场调研，甲款机器人的利润率是10%，乙款机器人的利润率是20%，该公司决定在原计划的基础上更改购进策略：减少甲款机器人的购进数量，增加乙款机器人的购进数量，且乙款机器人增加的数量是甲款机器人减少的数量的3倍，用于购进这两款机器人的总资金不超过360万元．更改购进策略后，该公司怎样进货，使全部销售后获得的总利润最大？并求出最大总利润．
27．已知二次函数y＝ax2+bx+c的最小值为﹣1，其图象与x轴交于（﹣2，0）和（2，0）两点，与一次函数y＝kx的图象交于A、B两点（A在B左侧），过点（0，﹣2）作x轴的平行线l．
（1）求二次函数的表达式；
（2）过点A作l的垂线，垂足为D，求证：AD＝OA；
（3）取AB中点C，过点C作l的垂线，垂足为F，CF与二次函数的图象交于点G，连接OG，试探究AB和OG的数量关系．
28．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．
（1）如图1，已知四边形ABCD是筝形，则其对角线AC与BD满足的关系是　 　 ；
（2）如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，P为线段BC上一点，将△PAB沿AB向外翻折得△DAB，将△PAC沿AC向右翻折得△EAC，连接DP，若AP⊥DE，判断四边形ADPE是否为筝形，请说明理由，并求出PC的长；
（3）如图3，四边形ABCD中，，BC＝6，，点E在BC上，∠AED＝120°，当BE＝4时，请直接写出AD的最大值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴BC＝2，∠C＝60°，∴EC＝BC﹣BE＝2﹣x，
∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵tanC＝tan60°，∴DE（2﹣x），
∴△DBE的面积BE DE（2﹣x）×x，∴y（x﹣1）2，
∴y的最大值是．故选：D．
【点评】本题考查等边三角形的性质，三角形的面积，二次函数的性质，关键是由三角形的面积公式得到y（x﹣1）2．
2．【解答】解：过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥AE于点F，如图所示：
∴∠AEO＝∠BFA＝90°，∵点A是直线y＝（1/3）x在第一象限图象上一动点，
∴设点A的坐标为（3k，k），∴AE＝3k，OE＝k，
∵四边形OABC是正方形，∴OA＝AB，∠OAB＝90°，
∴∠OAE+∠BAF＝90°，∵∠AEO＝∠BFA＝90°，
∴∠ABF+∠BAF＝90°，∴∠OAE＝∠ABF，
在△OAE和△ABF中，，
∴△OAE≌△ABF（AAS），∴OE＝AF＝k，AE＝BF＝3k，
∴EF＝AE﹣AF＝3k﹣k＝2k，BF+OE＝3k+k＝4k，
∵点B的坐标为（a，b），∴a＝EF＝2k，b＝BF+OE＝4k，
∴．故选：C．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，一次函数的图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，一次函数的图象上点的坐标特征，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
3．【解答】解：连接OA，OB，
∵⊙O与底部停车架切于点A，与侧面停车架切于点B，
∴OA⊥AC，OB⊥BC，∵AC⊥BC，
∴∠OAC＝∠OBC＝∠ACB＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°，
∵车轮半径为40cm，
∴的长度20π（cm）．故选：C．
【点评】考查切线性质，弧长的计算，关键是由切线的性质得到OA⊥AC，OB⊥BC，掌握弧长公式．
4．【解答】解：∵△DEF是由△ABC沿BC方向平移得到的，∴∠DEC＝∠B．
∵∠ECG＝∠BCA，∴△GEC∽△ABC．∵E是BC的中点，∴．
∴，∴．故选：A．
【点评】本题主要考查了平移的性质、相似三角形的判定和性质，熟练掌握“相似三角形的面积比等于相似比的平方”这一性质是解题的关键．
5．【解答】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B．该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
D．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，熟记常见图形的对称性有利于提高解题速度．
6．【解答】解：如图①和②，当点C在（4，3），（6，5）时，直线AP不经过BC中点，故不能使得直线AP平分△ABC 的面积，如图③，当点C在（6，6）时，根据图象可得AC∥BP，AB∥CP，
∴四边形ABPC是平行四边形，∴BD＝CD，∴点D是BC中点，即直线AP经过BC中点，能使得直线AP平分△ABC的面积；
如图④，当点C在（7，3）时，根据图象可得点P是BC中点，即直线AP经过BC中点，能使得直线AP平分△ABC 的面积；故选：B．
【点评】该题考查了三角形中线平分三角形的面积，坐标与图形，平行四边形的性质和判定等知识点，掌握坐标与图形是解题的关键．
7．【解答】解：如图，过点F作FH⊥BC于点H．则四边形CDFH是矩形，设AE交BF于点J．
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝CD＝BC＝6，∠ADE＝90°，
由作图可知MN垂直平分AB，FG垂直平分线段AE，
∴MN是正方形ABCD的对称轴，∴DE＝EC＝3，
在Rt△ADE中，AE3，
∴AJ＝JE，∵cos∠DAE，
∴，∴AF，
∵∠DAE+∠AFJ＝90°，∠HFG+∠AFJ＝90°，
∴∠DAE＝∠HFG，
∵∠ADE＝∠FHG＝90°，FH＝CD＝AD，
∴△ADE≌△FHG（ASA），∴DE＝GH＝3，∵AF＝BH，∴BG＝BH＝GH3，
∴四边形AFGB的面积（）×6．故选：B．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
8．【解答】解：∵二次函数y＝﹣3x2+6ax+a2+2a的对称轴为直线x＝a，
∵当﹣1≤x≤1时，y是“k型闭函数”，∴当x＝﹣1时，y＝a2﹣4a﹣3，
当x＝1时，y＝a2+8a﹣3，当x＝a时，y＝4a2+2a，
①如图1，当a≤﹣1时，当x＝﹣1时，有ymax＝a2﹣4a﹣3，当x＝1时，有ymin＝a2+8a﹣3
∴（a2﹣4a﹣3）﹣（a2+8a﹣3）＝2k，∴k＝﹣6a，∴k≥6，
②如图2，当﹣1＜a≤0时，当x＝a时，有ymax＝4a2+2a，当x＝1时，有ymin＝a2+8a﹣3
∴（4a2+2a）﹣（a2+8a﹣3）＝2k，∴k（a﹣1）2，∴k＜6；
③如图3，当0＜a≤1时，当x＝a时，有ymax＝4a2+2a，当x＝﹣1时，有ymin＝a2﹣4a﹣3
∴（4a2+2a）﹣（a2﹣4a﹣3）＝2k，∴k（a+1）2，∴k≤6，
④如图4，当a＞1时，当x＝1时，有ymax＝a2+8a﹣3，当x＝﹣1时，有ymin＝a2﹣4a﹣3
∴（a2+8a﹣3）﹣（a2﹣4a﹣3）＝2k，∴k＝6a，∴k＞6，即：k的取值范围为k．故选：B．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了的新定义的理解和应用，二次函数的性质，分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
二．填空题（共8小题）
9．【解答】解：由题意得，解得：n＝x，mx，则，故答案为：．
【点评】本题考查三元一次方程组的应用，结合已知条件列得正确的方程组是解题的关键．
10．【解答】解：∵BD，CE是△ABC的两条中线，∴点F是△ABC的重心，∴CF＝2EF，BF＝2DF．
∵△BEF的面积为4，∴△BCF的面积为8．∵点M，N分别是BF，CF的中点，
∴MN是△FBC的中位线，∴MN∥BC，MN，∴△FMN∽△FBC，∴，
∴S△FMN＝2．∵BF＝2DF，点M为BF的中点，∴MF＝DF，
∴S△DFN＝S△FMN＝2，∴△MND的面积为4．故答案为：4．
【点评】本题主要考查了三角形的重心、三角形的面积及三角形中位线定理，熟知三角形重心的性质及三角形的面积公式是解题的关键．
11．【解答】解：设波长λ关于频率f的函数解析式为λ（ k≠0），
把点（10，30）代入上式中得：30，解得：k＝300，∴λ；
当f＝60MHz时，λ5，答：当f＝60MHz时，此电磁波的波长λ为5m．故答案为：5．
【点评】本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键．
12．【解答】解：如图，过点D'作EF⊥AB于F，交CD于E，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转使得CD的对应边C′D′刚好经过点B，
∴AD＝AD'＝4，∠AD'B＝∠ADC＝90°，∴D'B3，
∵S△ABD'AB D'FAD' D'B，∴5D'F＝4×3，∴D'F，
∴AF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵EF⊥AB，∴四边形ADEF是矩形，∴DE＝AF，AD＝EF＝4，∴D'E，
∴DD'，故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
第12题第13题
13．【解答】解：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝62°，∴∠A＝90°﹣∠ABC＝28°，∴∠BOC＝2∠A＝56°，∴的度数为56°，
∵CD⊥AB，∴，∴的度数为56°，故答案为：56．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
14．【解答】如图，设正六边形的边长CD，连接OC，OD，则∠COD＝60°，OC＝OD＝CD＝1，
∵∠AOB＝60＝∠COM＝∠CON，∠COD＝60°＝∠DON+∠CON，∴∠COM＝∠DON，
∵∠ODN＝∠OCM，OC＝OD，∴△COM≌△DON（ASA），∴S四边形OMCN＝S△COD，
∴S阴影部分＝S扇形OAB﹣S四边形OMCN＝S扇形OAB﹣S△COD1
．故答案为：．
【点评】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算，掌握正六边形的性质，扇形面积的计算方法是正确解答的关键．
第14题第15题
15．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴，
若⊙P与△ABC的边AB相切，如图，过P作PQ⊥AB于Q，过C作CH⊥AB于H，
则∠DQP＝∠DHC＝90°，PQ为半径，∵∠PDQ＝∠CDH，∴△DPQ∽△DCH，
∴PQ：CH＝PD：CD，由得，
由CP：PD＝2：1得PD：CD＝1：3，∴；
若⊙P与△ABC的边BC相切，如图2，过P作PQ⊥BC于Q，取BC的中点H，连接DH，则PQ为半径，BH＝CH，∵点P是其重心，∴BD＝AD，∴DH为△ABC的中位线，
∴，DH∥AC，∴∠CHD＝∠ACB＝∠CQP＝90°，又∵∠PCQ＝∠DCH，
∴△CPQ∽△CDH，∴PQ：DH＝CP：CD＝2：3，∴；
图2图3
若⊙P与△ABC的边AC相切，如图3，过P作PQ⊥AC于Q，取AC的中点H，连接DH，则PQ为半径，AH＝CH，同理可证DH为△ABC的中位线，△CPQ∽△CDH，
∴DHBC＝4，PQ：DH＝CP：CD＝2：3，∴；
综上，⊙P的半径的所有可能值为2或或，故答案为：2或或．
【点评】本题考查三角形的重心、圆的切线性质、三角形的中位线性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟知三角形的重心是三角形的三条中线的交点是解答的关键．
16．【解答】解：如图，作EH∥AD交CF于点H，
∴∠AGE＝∠FEH，∵点E是AB的中点，
∴，
∵矩形ABCD，∴∠A＝∠B＝90°，AD∥BC，
∴BC∥EH，∴∠HEC＝∠BCE，
根据翻折的性质可知，CF＝BC＝12，EF＝BE＝4，
∠EFC＝∠B＝90°，∠BCE＝∠FCE，∴∠A＝∠EFH＝90°，∠HEC＝∠HCE，
∴EH＝CH，∴FH＝12﹣CH＝12﹣EH，∴42+（12﹣EH）2＝EH2，解得，
∴，∵∠A＝∠EFH＝90°，∠AGE＝∠FEH，∴△AEG∽△FHE，
∴，∴，∴AG＝3，故答案为：3．
【点评】本题考查了折叠问题，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，证明△AEG∽△FHE是解答本题的关键．
三．解答题（共11小题）
17．【解答】解：
＝1．
【点评】此题考查实数的运算法则，正确掌握二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及整数指数幂的运算法则是解题的关键．
18．【解答】解：，
由①得x≤2，由②得 x＞﹣1，∴原不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
∴原不等式组的所有整数解为0，1，2．
【点评】考查解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
19．【解答】解：，
方程两边同时乘（x﹣2），得1＝x﹣3﹣2（x﹣2），去括号，得1＝x﹣3﹣2x+4，解得：x＝0，
检验：把x＝0代入x﹣2≠0，∴分式方程的解为x＝0．
【点评】本题考查了解分式方程，算术平方根，实数的运算，负整数指数幂运算，特殊角三角函数值，掌握解分式方程的方法，算术平方根定义，负整数指数幂运算法则，特殊角三角函数值是解题的关键．
20．【解答】解：（1）在乙的10次测试成绩中，48出现的次数最多，故众数a＝48；
把甲的10次测试成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是48，48，故中位数b48；
故答案为：48，48；
（2）乙同学10次仰卧起坐个数的平均数为：49，
故乙同学10次仰卧起坐个数的方差m[（47﹣49）2+4×（48﹣49）2+2×（49﹣49）2+（50﹣49）2+（51﹣49）2+（52﹣49）2]＝2.2；
（3）乙同学仰卧起坐水平更好，理由如下：
乙同学仰卧起坐的平均数比甲高，方差比甲小，成绩更稳定，所以乙同学仰卧起坐水平更好．（答案不唯一）．
【点评】此题考查了中位数的定义，众数以及方差，能读懂统计图表并正确分析数据是解题的关键．
21．【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到B卡片的结果有1种，
∴抽到B卡片的概率为．故答案为：．
（2）列表如下：
A B C D
A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D）
共有16种等可能的结果，其中两次抽取到相同卡片的结果有4种，
∴两次抽取到相同卡片的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
22．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（50，1000），（60，800）代入y＝kx+b得：，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣20x+2000（x≥50）；
（2）根据题意得：（x﹣50）（﹣20x+2000）＝12000，
整理得：x2﹣150x+5600＝0，解得：x1＝70，x2＝80．
答：该纪念品当月的销售单价为70或80元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据图中点的坐标，利用待定系数法求出y与x之间的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23．【解答】解：（1）由题意，当x＝1时，y＝m﹣2m+m﹣3＝﹣3．
（2）由题意，∵二次函数为y＝mx2﹣2mx+m﹣3，且m＞0，∴对称轴是直线x1．
又∵抛物线的开口向上，∴当x＞1时，y随x的增大而增大．又∵2＜3，∴y1＜y2．
（3）由题意，∵二次函数为y＝mx2﹣2mx+m﹣3＝m（x﹣1）2﹣3，且m＞0，
∴当x＝1时，y取最小值为﹣3．又∵当n≤x≤2时，﹣3≤y≤m﹣3，∴n≤1．
又∵当x＝2时，y＝m×22﹣2m×2+m﹣3＝m﹣3，且当n≤x≤2时，﹣3≤y≤m﹣3，
∴当x＝n时，y＝m×n2﹣2m×n+m﹣3＝mn2﹣2mn+m﹣3≤m﹣3．
∴n2﹣2n≤0，即n（n﹣2）≤0．∴0≤n≤2．又∵n≤1，∴0≤n≤1．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
24．【解答】解：（1）①根据题意可知AB＝6，∵BC是⊙O的直径，且BC＝10，∴∠BAC＝90°，
根据勾股定理，得；
②∵AC＝CD＝8，∴，∴∠CAD＝∠B．
∵∠BAC＝90°，∴∠CAD+∠BAP＝90°，∴∠B+∠BAP＝90°，∴∠APB＝90°；
（2）不变，理由如下：
如图1所示，连接CO，并延长交⊙O于点F，连接DF，
根据勾股定理，得，∴AB＝DF，∴，∴，即∠ADF＝∠BCD．
∵∠CDF＝∠CDA+∠ADF＝90°，∴∠CDF＝∠CDA+∠BCD＝90°，
∴∠CPD＝90°，∴∠APB＝90°；
图1图2图3
（3）过点O作OG⊥AB，OH⊥CD，交AB，CD于点G，H，图2，
∴，，
根据勾股定理，得，，
∴，，
∴S四边形ABDC＞S△AOB+S△COD，即S四边形ABDC＞12，
当点H，O，G三点共线时，S四边形ABDC最大，∴∠CHO＝∠AGO＝90°，∴AB∥CD，
∴，∴24＜S≤49．
【点评】本题主要考查了“弧，弦，圆心角的关系”，圆周角定理的推论，勾股定理，垂径定理，准确作出辅助线是解题的关键．
25．【解答】解：（1）∵点A，B的横坐标分别为m﹣1，m+2，点A，B分别在第三、一象限，
∴，解得：﹣2＜m＜1；
（2）①当k＝3时，点A、B的坐标分别为A（m﹣1，），AB（m+2，），
在（1）的条件下，AC＝1﹣m，BD＝m+2，CD，
∴d＝1﹣m+m+233，
∵﹣2＜m＜1，∴（m+2）（1﹣m）＞0，∴当（m+2）（1﹣m）最大时，d的值最小，
∵，∴当m时，（m+2）（1﹣m）有最大值为，
∴d的最小值为，
②∵m＞0，∴m+2＞0，又∵k＝am（m﹣1）（m+2）＞0，∴a（m﹣1）＞0，∴a与m﹣1同号，
第一种情况：当a＞0，m﹣1＞0，即：a＞0，m＞1时，A、B都在第一象限，
此
＝2m+1+am（m+2）﹣am（m﹣1）＝2m+1+3am＝（3a+2）m+1，
若要使d不随m的变化而变化，则要3a+2＝0，，与a＞0矛盾，所以这种情况不存在；
第二种情况：当a＜0，m﹣1＜0，即：a＜0，0＜m＜1时，A、B分别在第三、一象限，
此时
＝3+am（m﹣1）﹣am（m+2）＝3﹣3am，
若要使d不随m的变化而变化，则要a＝0，与a＜0矛盾，所以这种情况也不存在，
综合上所述，不存在a的值，使d不随m的变化而变化．
【点评】本题考查了反比例函数的性质、二次函数的性质、解一元一次不等式组等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
26．【解答】解：（1）设购进甲款机器人2m件，购进乙款机器人3m件．
根据题意，得1.5，解得m＝20，经检验，m＝20是所列分式方程的解，
2×20＝40（件），3×20＝60（件）．答：购进甲款机器人40件，购进乙款机器人60件．
（2）甲款机器人进价为4（万元），乙款机器人进价为4﹣1.5＝2.5（万元），
设甲款机器人减小x件，则乙款机器人增加3x件，
根据题意，得4（40﹣x）+2.5（60+3x）≤360，解得x，
设总利润为W元，则W＝10%×4（40﹣x）+20%×2.5（60+3x）＝1.1x+46，
∵1.1＞0，∴W随x的增大而增大，∵x且x为非负整数，
∴当x＝14时W值最大，W最大＝1.1×14+46＝61.4，
40﹣14＝26（件），60+3×14＝102（件）．
答：购进甲款机器人26件、乙款机器人102件可使全部销售后获得的总利润最大，最大总利润为61.4万元．
【点评】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用，掌握分式方程、一元一次不等式的解法和一次函数的增减性是解题的关键．
27．【解答】（1）解：∵二次函数与x轴交于（﹣2，0）和（2，0），
∴对称轴为直线x＝0，即y轴，∴0，∴b＝0，
∵二次函数y＝ax2+bx+c的最小值为﹣1，∴顶点坐标为（0，1），∴y＝ax2﹣1，
将（2，0）代入得a，∴二次函数的表达式为；
（2）证明：设，∴.，
，∴AO2＝AD2，∴AO＝AD；
（3）解：AB＝4OG，理由如下：
令x2﹣1＝kx，整理得x2﹣4kx﹣4＝0，
∴xA+xB＝4k，xA xB＝﹣4，
∴AB2＝（xA﹣xB）2+（yA﹣yB）2
＝（k2+1）（xA﹣xB）2＝（k2+1）[（xA+xB）2﹣4xA xB]
＝（k2+1）（16k2+16）＝16（k2+1）2，
∴AB＝4（k2+1），∵xA+xB＝4k，∴xC2k，
∴C（2k，2k2），G（2k，k2﹣1），
∴OG2＝（2k﹣0）2+（k2﹣1﹣0）2＝（k2+1）2，
∴OG＝k2+1，∴AB＝4OG．
【点评】本题主要考查了二次函数的对称性，顶点坐标，两点距离公式等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
28．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是筝形，∴AB＝AD，BC＝CD，∴AC垂直平分BD；
（2）四边形ADPE是筝形，理由如下：
如图2，设AB与DP交于点H，∵折叠，∴AD＝AP＝AE，AB垂直平分DP，AC垂直平分PE，
∴PH＝DH，PC＝CE，AB⊥DP，AC⊥PE，∵AP⊥DE，∴AP垂直平分DE，∴DP＝PE，
∴四边形ADPE是筝形，∵DP＝PE，PH＝DH，PC＝CE，∴PH＝PC，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB5，
∵S△ABPAC BPAB PH，∴3（4﹣CP）＝5CP，∴CP；
（3）如图3，将△ABE沿AE翻折得△AGE，将△CDE沿DE翻折得△HDE，在GE上截取KE＝HE，连接KH，GH，∵BC＝6，BE＝4，∴EC＝2，∵折叠，
∴AB＝AG＝4，BE＝GE＝4，CE＝EH＝2，CD＝DH＝2，∠BEA＝∠GEA，∠CED＝∠HED，
∵∠AED＝120°，∴∠AEB+∠CED＝60°，∴∠AEG+∠DEH＝60°，∴∠GEH＝60°，
∵KE＝HE，∴△KEH是等边三角形，∴KE＝HE＝KH＝2，∠EKH＝60°，
∴GK＝2，∠GKH＝120°，∴GK＝KH＝2，∴∠KGH＝30°＝∠KHG，∴∠GHE＝90°，
∴GH2，∵AG+GH+HD≥AD，
∴当点A，点G，点H，点D共线时，AD有最大值，
∴AD的最大值＝4228．
【点评】本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，等边三角形的性质，勾股定理等性质，添加恰当辅助线是解题的关键．
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