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6.1《基本立体图形》同步练习
一、单选题：本题共11小题，每小题5分，共55分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是( )
A. 三棱锥 B. 四棱锥 C. 三棱柱 D. 组合体
2.某圆锥的体积为，底面半径为，则该圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角为( )
A. B. C. D.
3.一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得的截面图形是( )
A. B. C. D.
4.若圆台下底半径为，上底半径为，母线长为，则其体积为( )
A. B. C. D.
5.把和的图象围成的封闭平面图形绕轴旋转一周，所得几何体的体积为( )
A. B. C. D.
6.如图，在棱长为的正方体中，、分别为、的中点，则过点、、的平面与侧面的交线长为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，某校教学楼可看作由一个半球与两个长方体拼接而成的几何体，若半球的半径为米，米，米，米，米，米，由于该楼年久失修，需要用涂料刷满其外表面不计地面，则需要刷涂料( )
A. 平方米 B. 平方米
C. 平方米 D. 平方米
8.如图，用小刀切一块长方体橡皮的一个角，在棱、、上的截点分别是、、，则截面( )
A. 一定是等边三角形 B. 一定是钝角三角形 C. 一定是锐角三角形 D. 一定是直角三角形
9.下列命题中为真命题的是( )
A. 圆台的侧面展开图是一个扇形
B. 用任意一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台
C. 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体是棱柱
D. 五棱锥共有个顶点，条棱
10.在正方体中，相互平行的面不会是( )
A. 前后侧面 B. 上下底面 C. 左右侧面 D. 相邻的侧面
11.底面是菱形的棱柱的侧棱垂直于底面，且侧棱长为，底面菱形的对角线的长分别是和，则这个棱柱的侧面积是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
12.下列说法正确的是( )
A. 一个棱柱至少有个面
B. 直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
C. 若平面内任意直线和平面平行，则平面平面
D. 若直线平行于平面，则直线与平面内的无数条直线垂直
13.正三棱锥底面边长为，侧棱长为，则下列叙述正确的是( )
A. 正三棱锥高为 B. 正三棱锥的斜高为
C. 正三棱锥的体积为 D. 正三棱锥侧面积为
14.下列选项中，正确的是( )
A. 以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台
B. 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆
C. 以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所得的旋转体是圆锥
D. 用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面
15.下列说法错误的是( )
A. 圆柱的母线和它的轴可以不平行
B. 底面是正方形的棱柱一定是正四棱柱
C. 正四面体一定是正三棱锥
D. 两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
16.已知三棱锥的各顶点都在一个半径为的球面上，且，，则球的表面积为
17.已知一个圆锥的底面半径为，其体积为，则该圆锥的侧面积为__________．
18.已知某棱锥的顶点个数为，棱的条数为，则 用含的式子表示
19.体积为的正方体的内切球的体积是 ．
20.在棱长为的正四面体中，，分别是，的中点，则 ．
四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题分
如图，在正方形中，，分别为，的中点，沿图中虚线将个三角形折起，使点，，重合，重合后记为点．
问：折起后形成的几何体是什么几何体
若正方形边长为，则每个面的三角形面积为多少
22.本小题分
试从正方体的八个顶点中任取若干个，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来．

只有一个面是等边三角形的三棱锥；
四个面都是等边三角形的三棱锥；
三棱柱．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：三棱台中，沿平面截去三棱锥，
剩余的部分是以为顶点，四边形为底面的四棱锥．
故选：．
2.【答案】
【解析】设圆锥的高为，则，解得，母线长为，
所以圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角为．
故选D．
3.【答案】
【解析】解：由组合体的结构特征可知球与正方体的各面相切，而与各棱相离，所以截面图形中的圆与上下底面的对角线相切，与两侧棱相离，只有符合．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆台的体积计算问题，属于基础题．
根据题意求出圆台的高，再计算圆台的体积．
【解答】
解：圆台下底半径为，上底半径为，母线长为，
则圆台的高为；
所以圆台的体积为．
故本题选B．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆锥的结构特征，考查计算能力，作图能力，逻辑思维能力，属于基础题．
画出曲线和围成的图形，推得旋转体的形状，求出底面面积，再求体积．
【解答】
解：由题意，和围成图中阴影部分的图形，
旋转体为一个圆柱挖去两个相同的共顶点的圆锥．
，
所求几何体体积为．
故本题选A．
6.【答案】
【解析】解：在棱长为的正方体中，、分别为、的中点，
设平面分别交棱、于点、，
如下图所示：
因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，
又因为，由等角定理及图形可知，
则，即，故，
故，
因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，
又因为，由等角定理及图形可得，
所以，即，所以，
所以，故．
因此，平面与侧面的交线长为．
故选：．
设平面分别交棱、于点、，利用面面平行的性质得出、，结合等角定理得出、，进而可求得、、、的长，再利用勾股定理可求出的长，即为所求．
本题考查棱柱的结构特征相关知识，属于中档题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查简单组合体的表面积与体积，棱柱的侧面积和表面积，球的表面积，属于较易题．
根据长方体的表面积，球的表面积，结合简单组合体的结构特征，分别计算各部分需要刷涂料的面积，求和即可得出外表面一共需要刷涂料的面积．
【解答】
解：前面和后面需涂料的面积皆为平方米，
左侧和右侧需刷涂料的面积皆为平方米，
上面除去球面需刷涂料的面积为平方米，
半球面需刷涂料的面积为平方米，
故外表面一共需要刷涂料的面积为平方米．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角形形状的判断，属于基础题．
由已知得，，，从而截面是锐角三角形．
【解答】
解：用小刀切一块长方体橡皮的一个角，
在棱、、上的截点分别是、、，
则，
同理，，
截面是锐角三角形．
故选C．
9.【答案】
【解析】解：圆台的侧面展开图是圆环的一部分，通常称为“扇环”，不是扇形，故A错误
根据棱台的定义，用一个平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台，故B错误
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，
由这些面所围成的多面体叫做棱柱，故C正确
易得五棱锥共有个顶点，条棱，故D错误．
故选：．
10.【答案】
【解析】由正方体的模型知，前后面、上下面、左右面都相互平行，故选D．
11.【答案】
【解析】设直四棱柱中，对角线，，四边形为菱形，可得，互相垂直平分，所以，即菱形的边长等于因此，这个棱柱的侧面积故选D．
12.【答案】
【解析】解；对于选项，一个棱柱最少有个面，且此棱柱为三棱柱，A正确
对于选项，直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是由两个同底的两个圆锥拼接而成的组合体，B错误
对于选项，若平面内任意直线和平面平行，则，C正确
对于选项，若直线平行于平面，则直线与平面内的无数条直线异面垂直，D正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】如图，设为等边三角形的中心，为的中点，连接，，，
则为正三棱锥的高， 为斜高，
又 ，
，
故，故 A，B正确．
正三棱锥的体积为，
侧面积为，
故C错误，D正确．
14.【答案】
【解析】解：对于，以直角梯形不垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体不是圆台，故A错误；
对于，圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，故B错误；
对于，根据圆锥的定义易得C正确；
对于，由球的截面圆的性质可得，故D正确．
故选：．
15.【答案】
【解析】解：对于，根据圆柱母线的定义，可知圆柱的母线和它的轴一定平行，故A项错误；
对于，底面是正方形，且侧棱与底面不垂直的棱柱不是正四棱柱，
因此底面是正方形的棱柱不一定是正四棱柱，故项B错误；
对于，正四面体是侧棱与底面边长相等的正三棱锥，故C项正确；
对于，棱台指一个棱锥被平行于它的底面的一个平面所截后，截面与底面之间的几何体，
棱台的侧棱延长线必定交于同一点，其上底面与下底面相似，
而两个面平行，其余各面都是梯形的多面体不满足上述定义，故D项错误．
故选：．
根据圆柱的结构特征，判断出项的正误；根据正四棱柱的定义，判断出项的正误；根据正四面体与正三棱锥的定义，判断出项的正误；根据棱台的定义与结构特征，判断出项的正误．
本题主要考查圆柱、正四面体与棱台的定义与结构特征，考查了概念的理解能力、逻辑推理能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：三棱锥中，由及，
得侧棱两两垂直且等长，
则三棱锥的外接球与以为共点棱的正方体的外接球相同，
而此正方体的外接球直径为其体对角线长为，因此三棱锥的外接球半径为，
所以所求外接球的表面积为：．
故答案为：
17.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆锥的侧面积公式和圆锥的体积公式，考查了方程思想，属于基础题．
由题意，设圆锥的高为，根据圆锥的底面半径为，其体积为求出，再求得母线的长度，然后确定圆锥的侧面积即可．
【解答】
解：由圆锥的底面半径为，其体积为，
设圆锥的高为，则，解得，
所以圆锥的母线长，
所以圆锥的侧面积．
故答案为：．
18.【答案】
【解析】解：设该棱锥为棱锥，则，，
则，即，
故答案为：．
19.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了球的体积，先得出正方体的内切球的半径，可得球的体积．
【解答】
解：体积为的正方体的棱长为，
则正方体的内切球的半径为，
所以体积为的正方体的内切球的体积是，
故答案为．
20.【答案】
【解析】解：如图：
连接，，
由题意知，，
所以
又，为的中点，
则．
故答案为．
21.【答案】解如图，折起后形成的几何体是三棱锥．
，，．

22.【答案】解如图所示，三棱锥答案不唯一．
如图所示，三棱锥答案不唯一．
如图所示，三棱柱答案不唯一．

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