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6.5《垂直关系》同步练习
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在直四棱柱中，四边形是菱形，，，是棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
2.如图，点，，分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，平面的法向量为，设二面角的大小为，则( )
A. B. C. D.
3.已知，是不重合的直线，是不重合的平面，正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，，则
4.设、是两条不重合的直线，、、是三个不重合的平面，则下列命题中错误的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
5.设，是两个不重合平面，，是两条不重合直线，则( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，，则 D. 若，，，则
6.已知，为空间中不重合的直线，、、为不重合的平面，下列命题正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
7.在空间中，设，，为三条不同的直线，为一平面现有：
命题：若，，且，则；
命题：若，，且，，则．
则下列判断正确的是( )
A. ，都是真命题 B. ，都是假命题
C. 是真命题，是假命题 D. 是假命题，是真命题
8.若，为空间直线，，为平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. ，，，则
D. 若，是异面直线，则，在内的射影为两条相交直线
二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.三棱锥中，，是斜边的等腰直角三角形，则以下结论中，其中正确结论的序号是( )
A. 异面直线与所成的角为 B. 直线平面
C. 面面 D. 点到平面的距离是
10.下列说法中正确的是( )
A. 若直线与平面内的一条直线垂直，则
B. 若直线与平面内的两条直线垂直，则
C. 若直线与平面内的两条相交直线垂直，则
D. 若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
11.已知一个各棱均相等的四面体为，则棱与平面的夹角的余弦值为 ．
12.如图，长方体中，，，若是的中点，则与平面所成角的正弦值是 ．
13.若圆锥轴截面面积为，母线与底面所成角为，则体积为 ．
四、解答题：本题共8小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
已知圆台上底面半径为，下底面半径为，高为．
求该圆台的体积
求该圆台母线与下底面所成角的余弦值．
15.本小题分
如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，平面底面．
求证：平面；
求平面与平面所成的二面角的正切值．
16.本小题分
如图，四棱锥底面为正方形，已知平面，，点为线段上任意一点不含端点，点在线段上，且．
求证：直线平面；
若为线段中点，求直线与平面所成的角的余弦值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形是正方形，平面，，，，分别是，，的中点．
求证：
求证：平面平面．
18.本小题分
如图，四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，，点在棱上．
若为的中点，证明：；
若两条异面直线，所成角的余弦值为，求的值．
19.本小题分
如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，为的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ若，求证：面．
20.本小题分
如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求证：平面；
Ⅲ求直线与平面所成角的大小．
21.本小题分
在四面体中，，，且，分别是，的中点，
求证：直线；
．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：
取棱的中点，连接，，又是棱的中点，所以，
因为平面，所以平面，则是直线与平面所成的角．
设，则，，．
在中，由余弦定理可得，
则，所以．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用法向量求二面角的余弦值的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
利用直接求解，注意为锐角．
【解答】
解：点，，分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，
，平面的法向量为，
二面角的大小为，且为锐角，
．
故选C．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查面面平行的判定，线面垂直的判定，线面垂直的性质，面面平行的性质，属于基础题．
利用面面平行，线面垂直的判定和性质，对个选项一一判断，即可求解．
【解答】
解：对于，两个不重合的平面都与一条直线垂直，则两个平面平行，故A正确；
对于，若，则直线也可能在平面或平面内，故B错误；
对于，若，则直线与平面可能平行也可能相交，故C错误；
若，则或在内，故D错误．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：若，，则或与互为异面直线，故A错误
若，，，由面面平行的性质定理，可得，故B正确
若，，由线面垂直的性质，可得，故C正确
若，，则，又因为，，是两个不同的平面，、是两条不重合的直线，则，故D正确．
故选A．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间中直线与直线的位置关系、空间中直线与平面的位置关系、空间中平面与平面的位置关系，属于基础题．
根据题意，对各选项逐项判定，即可求出结果．
【解答】
解：对于，和也可能是异面直线，故A错误；
对于，若，，则或或或与斜交，故B错误；
对于，若，，则，又 ，则，故C正确；
对于，若，，，则与平行、相交或异面，故D错误．
故选C．
6.【答案】
【解析】解：选项：当在外且平行于时，交线在内，与可能异面；故A错误；
选项：面面平行时，内直线与无交点，故平行，故B正确；
选项：两面均垂直于第三面，可能相交，故C错误；
选项：两平面可能交于一条与、平行的直线，故D错误。
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了直线与平面平行、垂直的判断定理，属于基础题．
根据直线与平面平行的判断定理和直线与平面垂直的判断定理即可得出答案．
【解答】
解：根据直线与平面平行的判断定理：
平面外一条直线与平面内一条直线平行，
则此直线与该平面平行，
可得命题为真命题；
根据直线与平面垂直的判断定理：
平面外一条直线与平面内的两条相交直线垂直，
则此直线与该平面垂直，
命题为假命题．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：对于，，，则可能在内，可能平行于，也可能与相交，A错误；
对于，，，则可能在内，可能平行于，B错误；
对于，由，，得，而，因此，C正确；
对于，，是异面直线，，在内的射影可能是两条平行直线，可能是两条相交直线，也可能是一条直线和一个点，D错误．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查异面直线所成的角，直线和平面垂直的判定定理、性质定理，平面和平面垂直的判定定理的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．
由条件根据异面直线所成的角，直线和平面垂直的判定定理、性质定理，平面和平面垂直的判定定理，判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】
解：解：由题意三棱锥中，，知，，
又是斜边的等腰直角三角形可得，
又，、面，
故有面，
又面，故有，故A正确；
由，，，、平面，
得到平面，故B正确；
由面，面得面面，故C正确；
由平面，面得到面平面，
又是斜边的等腰直角三角形，
故点到平面的距离即点到斜边的中点的距离，即，故D不正确．
故选ABC．
10.【答案】
【解析】由线面垂直的判定定理知，若直线与平面内的两条相交直线垂直，则，故 C正确；由线面垂直的定义知，若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则，故 D正确；易知，B错误故选CD．
11.【答案】
【解析】解：如图所示，
在正四面体中，点在等边的投影为的中心，
则与平面所成角为，
因为正四面体的棱长为，
所以，，
所以，
故答案为：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用空间向量求解线面角的问题，属于中档题．
在空间直角坐标系中，求出平面的一个法向量为以及，根据，即可求解．
【解答】
解：如图建立空间直角坐标系，
因此，，，，，
于是，，，．
设平面的一个法向量为．
由得：，取得．
设与平面所成角为，
则．
所以与平面所成角的正弦值是．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆锥的体积的计算，涉及到圆锥的定义，属于基础题．
设圆锥底面圆的半径为，由轴截面面积为可得半径，再利用圆锥体积公式计算即可．
【解答】
解：根据题意可得，设圆锥底面圆的半径为，则，
故 ，解得，
所以圆锥的体积．
故答案为： ．
14.【答案】解：设上底面半径为，下底面半径为，
上底面面积：，
下底面面积：，
则，
；
设圆台母线与下底面所成角为，
母线，
．
【解析】本题考查了圆台的体积和直线与平面所成的角，是基础题．
根据圆台的体积计算即可；
根据圆台的结构特征和直线与平面所成的角求解即可．
15.【答案】证明：底面是正方形，
．
又平面底面，平面底面，底面，
平面．
取的中点，连接，，
是正三角形，
，．
平面，平面，
，
又，，平面，
平面
平面，
，
就是平面与平面所成的二面角的平面角．
在中，．
平面与平面所成的二面角的正切值为．
【解析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，面面垂直的性质，二面角的求法，考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于基础题．
由面面垂直的性质可得结论；
设的中点为，连，，，证明，可知是面与面所成的二面角的平面角，在中求解即可．
16.【答案】证明：延长，交于点，
由易知，
又，所以，
由，易知，可得，
于是有，可得：，
平面，平面，
则直线平面；
解：由题意易知，，两两垂直，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
设，则，，，，
则
设平面的法向量为，
所以由
令，得，
，设向量与的夹角为，易知为锐角，
，
则与平面夹角的余弦值为．
【解析】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查计算能力以及空间想象能力．
延长，交于点，由相似知，推出，然后证明直线平面；
以，，为，，轴建立空间直角坐标系，设，求出相关点的坐标，
，平面的法向量，利用向量的数量积求解与平面夹角的余弦值．
17.【答案】证明：因为平面，平面，
所以，
因为四边形是正方形，所以，
因为，平面，
所以平面，又平面，
所以；
因为分别是线段的中点，所以，
又四边形为正方形，则，
所以，又平面，平面，
所以平面，
因为分别是线段的中点，
所以，又平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面．

【解析】本题考查线面垂直的判定与性质，面面平行的判定，属于基础题．
由平面，得，由四边形是正方形得，再根据线面垂直的判定定理和性质定理得证；
由证明平面，由证明平面，再由面面平行的判定定理证明即可．
18.【答案】证明见解析；
．
【解析】证明：因为平面，平面，所以，
由，，可得，
因为、是平面内的相交直线，
所以平面，结合平面，可得，
因为，为的中点，所以，
又因为、平面，，
所以平面，结合平面，可得．
如图，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设，则．
设异面直线与所成角为，
则，，
整理得，解得或舍去，可得，所以．
根据线面垂直的判定定理证出平面，可得，结合条件证出，进而可证出平面；
分别以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，设，求出的坐标，根据空间向量的夹角公式列式求解，可求出的值．
本题主要考查线面垂直的判定与性质、空间向量的夹角公式、运用空间坐标系研究异面直线所成角等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题．
19.【答案】Ⅰ证明过程见详解；
Ⅱ证明过程见详解．
【解析】证明：Ⅰ连接，设，连接，
由题意可得为的中点，而为的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
Ⅱ因为，，，且，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
而侧面为正方形，可得，
而，且，平面，
所以平面．
Ⅰ连接，设，连接，由题意可证得，再由线面平行的判定定理，可证得结论；
Ⅱ由线面垂直的性质定理及判定定理可证得结论．
本题考查线面平行的判定定理的应用及线面垂直的判定定理的应用，属于中档题．
20.【答案】Ⅰ证明过程见详解；
Ⅱ证明过程见详解；
Ⅲ．
【解析】Ⅰ证明：连接，设，连接，
由题意可得为的中点，而为的中点，
所以，
而平面，平面，
所以平面；
Ⅱ证明：因为侧棱底面，
可得平面平面，平面平面，
又因为，为的中点，所以，
平面，
所以平面；
Ⅲ解：由Ⅱ可得为直线与平面所成角，
可得，
因为，，
所以，，
所以，
又因为，
可得．
Ⅰ连接，设，连接，由题意可证得，再由线面平行的判定定理，可证得结论；
Ⅱ易证得，再由面面垂直的性质定理可证得结论；
Ⅲ由Ⅱ为直线与平面所成角，再由棱长的关系，可求得的值，再求出的大小．
本题考查线面平行的判定定理的应用及线面所成的角的求法，属于中档题．
21.【答案】证明：，分别是，的中点．是的中位线，
，面，面，
直线面
，，，，是的中点，
，又，，面，面，
面，面面．
【解析】本题考查线面平行的判定和面面垂直的判定，属于基础题．
根据线面平行关系的判定定理，在面内找一条直线和直线平行即可
需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直，根据线面垂直的判定定理可知面，而面，满足定理所需条件．

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