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第五章《复数》同步练习
一、单选题：本题共13小题，每小题5分，共65分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，为纯虚数，则( )
A. B. C. D.
2.已知是虚数单位是实系数一元二次方程的一个根，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.设复数，则( )
A. B. C. D.
5.复数( )
A. B. C. D.
6.复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
7.已知复数满足，则的共轭复数在复平面中的对应点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
8.在复平面内，复数对应的点所在的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
9.若，则( )
A. B. C. D.
10.已知为虚数单位，则复数对应的复平面上的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
11.复数 ( )
A. B. C. D.
12.已知复数满足为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
13.已知，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
14.设为非零复数是虚数单位，下列命题正确的是( )
A. 若，则为正实数 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则为纯虚数
15.已知复数满足，下列结论正确的是( )
A. B. 的最大值为
C. D.
16.已知复数，是的共轭复数，则下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
17.已知复数，满足，，则( )
A. B. 在复平面内对应的点位于第一象限
C. 的虚部为 D. 的共轭复数为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
18.已知复数，集合所构成区域的面积是______．
19.已知复数满足为虚数单位，则的虚部为 ．
20.设，为虚数单位，若为纯虚数，则 ．
四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题分
根据要求完成下列问题：
已知复数在复平面内对应的点在第四象限，，且，求；
已知复数为纯虚数，求实数的值．
22.本小题分
已知复数满足，．
求；
设复数，，在复平面内对应的点分别为，，，求．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解： ，
因为 ，为纯虚数，
所以 ，解得 ，
故选：
2.【答案】
【解析】解：因为 是实系数一元二次方程 的一个虚根，
则该方程的另一个虚根为 ，
由韦达定理可得 ，所以 ．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：由，
可得，
所以复数在复平而内对由的点的坐标为，位于第四象限．
4.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的定义得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数的运算，属于基础题．
利用复数的运算法则即可求解．
【解答】
解：
故选C
6.【答案】
【解析】由，
得复数在复平面内对应的点为，位于第四象限．
故选D．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数的运算及复数模的求法，同时考查复数的几何意义及共轭复数的概念，是基础题．
把给出的等式化为，利用复数代数形式的运算法则化简，求出，进一步求得，则答案可求．
【解答】
解：由，
得，
，
则的共轭复数对应的点的坐标为，位于第四象限．
故选D．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数的代数表示及其几何意义，属于基础题．
先将化简复数，再找到复平面上对应的点即可．
【解答】
解：因为，
所以在复平面内对应的点是，位于第三象限．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：由，可得，
所以
故选D．
10.【答案】
【解析】解：由题意得，复数对应的复平面上的点为，所以在第一象限．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
【解答】
解：
故选A．
12.【答案】
【解析】解：，
，
故选：．
13.【答案】
【解析】解：由题意得，，
复数在复平面内对应的点为，位于第四象限．
故选D．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查复数的概念与分类，复数的模与运算，属于基础题．
利用复数的模的计算可判断选项；取可判断选项；解方程，可判断选项；利用共轭复数的定义可判断选项．
【解答】
解：对于选项，设，，且，不同时为，若，则，解得，，所以，A正确；
对于选项，不妨取，则，显然不是实数，B错误；
对于选项，若，则，可得或，C正确；
对于选项，由知，若，则，则，且，D正确．
故选：．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数的模及几何意义，复数的运算，共轭复数，属于基础题．
设，，由模长可得，利用共轭复数与复数乘法运算可判断，利用复数模的几何意义可判断，利用复数四则运算判断，取，，可得不正确．
【解答】
解：设，，由，可得，
，则，A正确；
设复数在复平面所对应的点为，则的轨迹为以原点为圆心的单位圆，
则表示的是到的距离，故的最大值为，B正确；
，故C正确，
当，时，，故D不正确．
故选ABC
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查知识点为复数的相关概念，考查复数的几何意义，属于基础题．
根据复数的几何意义以及复数的模，复数相等相关概念即可求解．
【解答】
解：对于复数，在复平面内对应的点，，
所以当时，，在复平面对应的点关于对称，
所以，A正确；
当时，，在复平面对应的点关于实轴对称，
所以，B正确；
当时，设，，
所以，
所以
，故C正确；
对于，取，，所以，
但，故D错误．
故答案选：．
17.【答案】
【解析】解：由，得
可知A正确，
对于，在复平面内对应的点位于第二象限，B错误，
对于，的虚部为，C正确，
对于，的共轭复数为，D错误，
故选：．
18.【答案】
【解析】解：因为复数，集合所构成区域是复平面内以为圆心，为半径的圆及内部，
因此该区域面积为．
故答案为：．
利用复数模的几何意义即可求解．
本题主要考查复数模的几何意义，属于基础题．
19.【答案】
【解析】解：设，
因为，所以，
可得，解得，
则的虚部为．
故答案为：．
20.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了复数四则运算及复数的基本概念，属于基础题．
先进行四则运算，然后结合纯虚数概念即可求解．
【解答】
解：若为纯虚数，
则，，
故．
故答案为：．
21.【答案】解：设，则，
由题意得，解得，，
复数在复平面内对应的点在第四象限，，
；
，
依题意得，解得或，
又，且，
．

【解析】本题主要考查复数的四则运算，复数的基本概念，复数的代数表示及其几何意义，共轭复数以及复数的模，属于基础题．
设，，，则由题意可得关于，的方程组，结合复数在复平面内对应的点在第四象限，解得、的值．
化简复数，根据是纯虚数，可得关于的方程，由此求得的值．
22.【答案】解：可设，，，
又因为复数满足，，
所以，，
所以，
所以，
故；
由得，
则，
，则，
，则，
所以，，
故．
【解析】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题．
根据已知条件，结合共轭复数的定义，复数模公式，即可求解；
根据已知条件，结合复数的四则运算，复数的几何意义，求出，，，再结合向量的夹角公式，即可求解．

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