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1.3《不等式》课堂训练
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
2.已知，，且，则的最小值是( )
A. B. C. D.
3.已知，且，则的最小值是( )
A. B. C. D.
4.若，，则，的大小关系是( )
A. B. C. 或 D.
5.已知，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.若集合，，则( )
A. B.
C. 或 D.
7.已知克糖水中含有克糖，再添加克糖，假设全部溶解，糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式( )
A. B. C. D.
8.若，，且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
9.已知扇形的周长是，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是( )
A. B. C. D.
10.已知，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
11.已知，，则使得“”成立的一个充分条件可以是( )
A. B.
C. D.
12.如果，，那么下面结论一定成立的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
13.实数，满足，则的最小值为__________．
14.已知，，且，则的最小值是 ．
15.已知，，则的取值范围为 ．
16.已知，则的最小值为 ．
17.已知全集，实数满足，集合，，则__________．
四、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
已知复数在复平面内对应的点在第四象限，且是方程的根．
求复数
复数为虚数单位满足，求的取值范围．
19.本小题分
已知集合，．
若全集，求、；
若全集，求．
20.本小题分
已知，求的最大值．
点在直线上移动，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：取，，则，A错误
取，，，，则，故B错误
当时，，C错误
因为，且，所以，D正确．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查基本不等式的性质以及应用，注意“”的代换，属于基础题．
根据题意，分析可得，结合基本不等式的性质分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，若，，且，
则
，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值是；
故选：．
3.【答案】
【解析】解：因为，
当且仅当，时，等号成立．
所以的最小值是．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了作差法的应用，属于基础题．
根据给定条件，作差比较大小即得．
【解答】
解：由，，
则，
所以．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．
，根据基本不等式求解最值．
【解答】
解：由题意得，
当且仅当时取等号，故的最小值为．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：因为或，
所以．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查不等式的应用，属于基础题．
由糖水变甜即糖的浓度增大即可判断．
【解答】
解：由题意糖水变甜即糖的浓度增大，
因此正确．
8.【答案】
【解析】解：因为，，且，所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最大值为．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了扇形的面积与弧长公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
【解答】
解：设扇形的圆心角弧度数为，半径为，
则，
，，
，
当且仅当，解得时，扇形面积最大．
此时．
故选B．
10.【答案】
【解析】解：由题设，
当且仅当时等号成立，故的最小值为．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：对于，因为，，由得，故，故A正确；
对于，取，，满足，但，故B错误；
对于，由可得，即，
当，时，可得，
而推不出，故C错误；
对于，由可知，，所以，故D正确．
故选：．
对于由不等式的性质可判断；对于取特殊值可判断；对于不等式可化为，由即可判断；对于根据的单调性以及不等式的性质可判断
本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查不等式的基本性质，属于基础题．
根据不等式的性质逐一判断即可．
【解答】
解：对于，当，时，
，，故AD错误；
对于，因为，，所以，，故BC正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了对数的运算，以及基本不等式，需要学生熟练掌握公式，属于中档题．
根据条件，运用对数的性质，可得，再结合基本不等式，即可求解．
【解答】
解：因为，
所以，且，，
所以
故，当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为．
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：因为，，且，所以，
所以
，
当，即，时，取等号．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
由已知结合不等式性质即可求解．
【解答】
解：因为，，
所以，
所以，
因为，
所以的范围为．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【解析】由，得，
当且仅当，即时等号成立，故的最小值为．
17.【答案】
【解析】解：由，可得，，
由基本不等式可得，，故等号不可取，
由补集的运算可得或，
由交集的意义，可得
故答案为
18.【答案】解：设复数，，，因为是方程的根；
所以整理得，
由复数相等可得，解得且或且，
故方程得两根为或
因为复数在复平面内对应的点在第四象限，故；
由得，故，
因为，
所以，
所以．
【解析】本题主要考查了复数相等的充要条件和复数范围内方程的根与分解因式和复数的模和复数的四则运算以及不等式求解，属于基础题．
根据题意，因为是方程方程的根，故先设复数，然后利用复数范围内方程的根相关知识和复数在复平面内对应的点在第四象限求解即可；
利用复数的四则运算和复数的模，求解不等式即可．
19.【答案】解：集合，
或．
所以或，
又全集，所以或，
所以或；
若全集，又由可得，，
则，
由可得，或，
则，
所以．
【解析】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
化简集合、，根据集合的运算法则求出和；
根据全集，求出集合、，再求．
20.【答案】解：已知，．
，
当且仅当，即时“”成立．
当时，取最大值．
已知点在直线上移动，所以．
．
当且仅当 即时“”成立．
当时，取最小值为．

【解析】本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题．
合理的凑系数得到，再利用基本不等式求最值即可．
依据题意得到，又，利用基本不等式即可求出答案．

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